Бретшнајдерова формула

Четириаголник

Бретшнајдерова формула – формула која во геометријата се користи за одредување на плоштината на четириаголник, и гласи

$P=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}},$

при што, a, b, c и d се страните на четириаголникот, s е полупериметар на четириаголникот, а $\alpha$ и $\gamma$ се два спротивни агла во четириаголникот.

Бретшнајдеровата формула ја дава плоштината на четириаголник без разлика дали е тој тетивен или не е.

Доказ

Ако плоштината на четириаголникот се означи со P, тогаш важи

$\begin{array}{cc}P& =\text{плоштина на}\mathrm{△}BDC+\text{плоштина на }\mathrm{△}ADB\\ & =\frac{1}{2}ab\sin \gamma +\frac{1}{2}cd\sin \alpha \end{array}$

од каде следува

$4P^2=(ab{)}^2{\sin }^2\gamma +(cd{)}^2{\sin }^2\alpha +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Според косинусната теорема, важи

$a^2+b^2-2ab\cos \gamma =c^2+d^2-2cd\cos \alpha ,$

бидејќи двете страни на изразот се еднакви на квадратот на должината на дијагоналата BD.

Ако собироците се прегрупираат и двете страни се квадрираат, равенката може да се напише на следниов начин:

$\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2{\cos }^2\gamma +(cd{)}^2{\cos }^2\alpha -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Додавајќи ги на двете страни од добиената равенка соодветните страни од горната формула за $4P^2$, се добива

$4P^2+\frac{1}{4}(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2=(ab{)}^2+(cd{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

По множење на равенката со 4 и по средување, се добива:

$16P^2=4(a^2{b}^2+c^2{d}^2)-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

Доколку првиот член на збирот од десната страна се дополни до квадрат на бином, се добива:

$16P^2=4(ab+cd{)}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2{)}^2-8abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )].$

Ако потоа разликата на квадрати од десната страна се разложи на множители и ако се примени формулата за половина агол на третиот собирок, се добива:

$16P^2=[2(ab+cd)-(c^2+d^2-a^2-b^2)][2(ab+cd)+(c^2+d^2-a^2-b^2)]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2},$

односно

$16P^2=[(a+b{)}^2-(c-d{)}^2][(c+d{)}^2-(a-b{)}^2]-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Претходната еднаквост може да се запише и како:

$16P^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}.$

Земајќи предвид дека попериметарот на четираголник е:

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

се добива

$16P^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}$

од што следи Бретшнајдеровата формула.

Поврзаност со други формули

Бретшнајдеровата формула е обопштување на Брамагуптината формула за плоштина на тетивен четириаголник, а таа пак е обопштување на Хероновата формула који се користи за пресметување на плоштина на триаголник.

Надворешни врски

• Бретшнајдеровата формула на семрежното место wolfram.com