Преглед на кодот на Гаврилова хорна

[[Податотека:GabrielHorn.png|мини|Тридимензионален приказ на Гавриловата хорна.]]

'''Гаврилова хорна''' или '''Торичилиева труба''' — [[геометриска фигура]] што има бесконечна [[плоштина]] на [[површина (математика)|површината]], но конечна [[зафатнина]]. Поимот е поврзан со христијанствохристијанската традиција која го наведува архангел архангел ГаврилГаврил како ангелот кој со свирење во хорна го најавува [[Судниот ден]], асоцирајќи на божественото, или [[бесконечност|бесконечното]] со конечното. Особините на фигурата првично биле проучувани од [[италија]]нскиот [[физичар]] и [[математичар]] [[Еванџелиста Торичели]] во 17 век.
 
==Математичка дефиниција==
[[Податотека:Rectangular hyperbola.svg|мини|Графикон на <math>y={1}/{x}</math>.]]
Гавриловата хорна се формира со [[графикон на функција|графиконот]] на
:<math>y = \frac{1} {x},</math>
во [[област на определеност на функција|дефиниционата област]] <math>x \ge 1</math> со негово [[димензија|тридимензионално]] [[вртежна површина|вртење]] околу {{mvar|x}}-оската. 
Откритието било направено користејќи го [[Принцип на Кавалиери|Кавалиеровиот принцип]] пред изумот на [[диференцијално сметање|диференцијалното]] и [[интегрално сметање|интегралното сметање]], а денес истите може да се користат за пресметување на [[зафатнина]]та и [[плоштина]]та на хорната меѓу {{math|1=''x'' = 1}} и {{math|1=''x'' = ''a''}}, каде {{math|''a'' > 1}}. Користејќи интегрирање (за детали види [[Вртежно тело]] и [[Вртежна површина]]), можно е да се најдат зафатнината {{mvar|V}} и плоштината {{mvar|A}}:

:<math>V=\pi\int\limits_1^a\left(\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x=\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)</math>

:<math>A=2\pi\int\limits_1^a {\frac{1}{x}}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\mathrm{d}x > 2\pi\int\limits_1^a \frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi\ln(a).</math>

Вредноста {{mvar|a}} може да биде голема колку што се бара, но од равенката може да се види дека зафатнината на делот од хорната меѓу {{math|1=''x'' = 1}} и {{math|1=''x'' = ''a''}} никогаш нема да надмине {{pi}}; истата постепено се приближува до {{pi}} како што {{mvar|a}} расте. Математички, зафатнината ''тежи'' кон {{pi}} како што {{mvar|a}} ''тежи'' кон бесконечност. Користејќи го бележењето за [[Гранична вредност|лимес]] од [[математичка анализа|математичката анализа]]:

:<math>\lim_{a\to\infty}V=\lim_{a\to\infty}\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi\cdot\lim_{a\to\infty}\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi.</math>

Горната формула за плоштина на површина дава пониска граница за површината за 2{{pi}} пати од [[природен логаритам|природниот логаритам]] од {{mvar|a}}. Нема горна граница за природниот логаритам од {{mvar|a}}, бидејќи {{mvar|a}} тежи кон бесконечност. Ова значи, во овој случај, дека хорната има бесконечна плоштина. Математички изразено,

:<math>\lim_{a\to\infty}A\ge\lim_{a\to\infty}2\pi\ln(a)=\infty.</math>

==Очигледен парадокс==
Кога биле откриени својствата на Гавриловата хорна, фактот што ротација на бесконечно голем дел од рамнината {{mvar|xy}} генерира тело со конечна зафатнина бил сметан како [[парадокс]]. Додека делот што лежи во рамнината {{mvar|xy}} има неограничена површина, кој било друг дел паралелен со него има конечна површина. Значи зафатнината пресметана од „пондерирана сума“ од делови, е конечна.

Друг пристап е хорната да се третира како низа од дискови чии [[полупречник|полупречници]] се намалуваат. Сумата од полупречници дава [[хармониски ред]] кој оди во бесконечност. Сепак, правилната пресметка е сума од нивните квадрати. Секој диск има полупречник {{math|1=''r'' = {{sfrac|1|''x''}}}} и површина {{math|π''r''<sup>2</sup>}} или {{math|{{sfrac|π|''x''<sup>2</sup>}}}}. Редот {{math|{{sfrac|1|''x''}}}} дивергира но {{math|{{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}}}} конвергира. Обопштено, за секое реално {{math|''ε'' > 0}}, {{math|{{sfrac|1|''x''<sup>1+''ε''</sup>}}}} конвергира.

Очигледниот парадокс бил дел од спор за природата на бесконечноста во кој биле вклучени бројни големи мислители од тоа време како [[Томас Хобс]], [[Џон Валис]] и [[Галилео Галилеј]].<ref>{{наведена книга|title=Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas|first=Julian|last=Havil|publisher=Princeton University Press|year=2007|isbn=0-691-12056-0|pages=[https://archive.org/details/nonplussedmathem00havi/page/82 82–91]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/nonplussedmathem00havi/page/82}}</ref>

Постои сличен феномен кој се однесува на должините и површините во рамнина. Површината меѓу кривите {{math|{{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}}}} и {{math|{{sfrac|-1|''x''<sup>2</sup>}}}} од 1 до бесконечност е конечна, но должината на двете криви е бесконечна.

===Парадоксот на сликарот===
Бидејќи хорната има конечна зафатнина, но бесконечна плоштина, постои очигледен парадокс дека хорната може да се наполни со конечно количество боја и пак таа боја нема да биде доволна да ја покрие цела внатрешна површина. Парадоксот е решен со објаснувањето дека конечна количина на боја може всушност да прекрие бесконечна плоштина  - едноставно потребно е да биден потенка со доволно брза стапка (слично како што редот {{sfrac|1|2<sup>N</sup>}} станува доволно брзо помал така што неговата сума е конечна). Во овој случај кога хорната се полни со боја, ова танчење како што се намалува пречникот на грлото на хорната.

==Обратно==
Обратното на Гавриловата хорна – плоштина од ротација која има ''конечна'' плоштина, но ''бесконечна'' зафатнина – не може да постои кога се ротира континуирана функција на затворен сет:

===Теорема===
Нека {{math|''f'' : [1,∞) → [0,∞)}} е континуирано диференцијабилна функција.  {{mvar|S}} е [[вртежно тело|вртежното тело]] на графот {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} околу {{mvar|x}}-оската. ''Ако плоштината на {{mvar|S}} е конечна, тогаш таква е и зафатнината.''

===Доказ===

Бидејќи страничната плоштина {{mvar|A}} е конечна, горниот лимес:
:<math>\begin{align}
\lim_{t\to\infty} \sup_{x\ge t} f(x)^2 ~-~ f(1)^2 &= \limsup_{t\to\infty} \int\limits_1^t \left(f(x)^2\right)'\mathrm{d}x \\
&\le\int\limits_1^{\infty} \left|\left(f(x)^2\right)'\right|\mathrm{d}x=\int\limits_1^{\infty} 2f(x)\left|f'(x)\right|\mathrm{d}x \\
&\le\int\limits_1^{\infty} 2f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm{d}x=\frac{A}{\pi} \\
&<\infty. \end{align}</math>
Значи, постои {{math|''t''<sub>0</sub>}} такво што супремумот {{math|sup{&thinsp;''f''(''x'') {{!}} ''x'' ≥ ''t''<sub>0</sub>}}} е конечен. Оттука,
:{{math|1=''M'' = sup{&thinsp;''f''(''x'') {{!}} ''x'' ≥ 1}}} мора да биде конечна бидејќи {{mvar|f}} е [[непрекината функција]], што имплицира дека {{mvar|f}} е ограничена на интервалот {{math|[1,∞)}}.
Конечно, зафатнината:
:<math>\begin{align}
V &=\int\limits_1^{\infty} f(x)\cdot\pi f(x)\mathrm{d}x \\
&\le\int\limits_1^{\infty} \frac{M}{2}\cdot 2\pi f(x)\mathrm{d}x \\
&\le\frac{M}{2}\cdot\int\limits_1^{\infty} 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm{d}x =\frac{M}{2}\cdot A.\end{align}</math>
Значи: ''ако површината {{mvar|A}} е конечна, тогаш зафатнината {{mvar|V}} исто така мора да биде конечна.''

== Поврзано ==
* [[Хипербола]]
* [[Кохова снегулка]]
* [[Пикардова хорна]]
* [[Псевдосфера]]
* [[Облик на вселената]]
* [[Парадоксите на Зенон]]

==Наводи==
{{наводи}}

== Литература ==
{{refbegin}}
*{{наведено списание |first=Melvin |last=Royer |title=Gabriel's Other Possessions |journal=PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies |volume=22 |issue=4 |pages=338–351 |year=2012 |doi=10.1080/10511970.2010.517601 }}
*{{нмс |first=Julian F. |last=Fleron |title=Gabriel's Wedding Cake |url=https://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20161213085806/https://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf |url-status=dead |archive-date=2016-12-13 }}''
*{{нмс |first=Mark |last=Lynch |title=A Paradoxical Paint Pail |url=http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail}}
*{{наведено списание |first=William P. |last=Love |title=Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces |journal=The Mathematics Teacher |volume=82 |issue=1 |pages=60–65 |date=January 1989 |jstor=27966098}}
{{refend}}

==Надворешни врски==
*[http://planetmath.org/torricellistrumpet Torricelli's trumpet at PlanetMath]
*{{MathWorld|title=Gabriel's Horn|urlname=GabrielsHorn}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GabrielsHorn/ "Gabriel's Horn"] by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* [http://www.palmbeachstate.edu/honors/Documents/jeansergejoseph.pdf Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area] by Jean S. Joseph.

[[Категорија:Математички парадокси]]
[[Категорија:Сметање]]
[[Категорија:Површини]]