Гаврилова хорна

Тридимензионален приказ на Гавриловата хорна.

Гаврилова хорна или Торичилиева труба — геометриска фигура што има бесконечна плоштина на површината, но конечна зафатнина. Поимот е поврзан со христијанствохристијанската традиција која го наведува архангел архангел ГаврилГаврил како ангелот кој со свирење во хорна го најавува Судниот ден, асоцирајќи на божественото, или бесконечното со конечното. Особините на фигурата првично биле проучувани од италијанскиот физичар и математичар Еванџелиста Торичели во 17 век.

Математичка дефиниција

Графикон на $y=1/x$.

Гавриловата хорна се формира со графиконот на

$y=\frac{1}{x},$

во дефиниционата област $x\ge 1$ со негово тридимензионално вртење околу Предлошка:Mvar-оската. Откритието било направено користејќи го Кавалиеровиот принцип пред изумот на диференцијалното и интегралното сметање, а денес истите може да се користат за пресметување на зафатнината и плоштината на хорната меѓу Предлошка:Math и Предлошка:Math, каде Предлошка:Math. Користејќи интегрирање (за детали види Вртежно тело и Вртежна површина), можно е да се најдат зафатнината Предлошка:Mvar и плоштината Предлошка:Mvar:

$V=\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\mathrm{d}x=\pi (1-\frac{1}{a})$

$A=2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}\sqrt{1+{(-\frac{1}{x^2})}^2}\mathrm{d}x>2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi \ln (a).$

Вредноста Предлошка:Mvar може да биде голема колку што се бара, но од равенката може да се види дека зафатнината на делот од хорната меѓу Предлошка:Math и Предлошка:Math никогаш нема да надмине Предлошка:Pi; истата постепено се приближува до Предлошка:Pi како што Предлошка:Mvar расте. Математички, зафатнината тежи кон Предлошка:Pi како што Предлошка:Mvar тежи кон бесконечност. Користејќи го бележењето за лимес од математичката анализа:

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (1-\frac{1}{a})=\pi \cdot \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{a})=\pi .$

Горната формула за плоштина на површина дава пониска граница за површината за 2Предлошка:Pi пати од природниот логаритам од Предлошка:Mvar. Нема горна граница за природниот логаритам од Предлошка:Mvar, бидејќи Предлошка:Mvar тежи кон бесконечност. Ова значи, во овој случај, дека хорната има бесконечна плоштина. Математички изразено,

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }A\ge \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }2\pi \ln (a)=\mathrm{\infty }.$

Очигледен парадокс

Кога биле откриени својствата на Гавриловата хорна, фактот што ротација на бесконечно голем дел од рамнината Предлошка:Mvar генерира тело со конечна зафатнина бил сметан како парадокс. Додека делот што лежи во рамнината Предлошка:Mvar има неограничена површина, кој било друг дел паралелен со него има конечна површина. Значи зафатнината пресметана од „пондерирана сума“ од делови, е конечна.

Друг пристап е хорната да се третира како низа од дискови чии полупречници се намалуваат. Сумата од полупречници дава хармониски ред кој оди во бесконечност. Сепак, правилната пресметка е сума од нивните квадрати. Секој диск има полупречник Предлошка:Math и површина Предлошка:Math или Предлошка:Math. Редот Предлошка:Math дивергира но Предлошка:Math конвергира. Обопштено, за секое реално Предлошка:Math, Предлошка:Math конвергира.

Очигледниот парадокс бил дел од спор за природата на бесконечноста во кој биле вклучени бројни големи мислители од тоа време како Томас Хобс, Џон Валис и Галилео Галилеј.

Постои сличен феномен кој се однесува на должините и површините во рамнина. Површината меѓу кривите Предлошка:Math и Предлошка:Math од 1 до бесконечност е конечна, но должината на двете криви е бесконечна.

Парадоксот на сликарот

Бидејќи хорната има конечна зафатнина, но бесконечна плоштина, постои очигледен парадокс дека хорната може да се наполни со конечно количество боја и пак таа боја нема да биде доволна да ја покрие цела внатрешна површина. Парадоксот е решен со објаснувањето дека конечна количина на боја може всушност да прекрие бесконечна плоштина - едноставно потребно е да биден потенка со доволно брза стапка (слично како што редот Предлошка:Sfrac станува доволно брзо помал така што неговата сума е конечна). Во овој случај кога хорната се полни со боја, ова танчење како што се намалува пречникот на грлото на хорната.

Обратно

Обратното на Гавриловата хорна – плоштина од ротација која има конечна плоштина, но бесконечна зафатнина – не може да постои кога се ротира континуирана функција на затворен сет:

Теорема

Нека Предлошка:Math е континуирано диференцијабилна функција. Предлошка:Mvar е вртежното тело на графот Предлошка:Math околу Предлошка:Mvar-оската. Ако плоштината на Предлошка:Mvar е конечна, тогаш таква е и зафатнината.

Доказ

Бидејќи страничната плоштина Предлошка:Mvar е конечна, горниот лимес:

$\begin{array}{cc}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\ge t}{\sup }f(x{)}^2-f(1{)}^2& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{1}{\overset{t}{\int }}(f(x{)}^2)\mathrm{d}x\\ & \le \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|(f(x{)}^2)\right|\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2f(x)|f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x\\ & \le \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{A}{\pi }\\ & <\mathrm{\infty }.\end{array}$

Значи, постои Предлошка:Math такво што супремумот Предлошка:Math} е конечен. Оттука,

Предлошка:Math} мора да биде конечна бидејќи Предлошка:Mvar е непрекината функција, што имплицира дека Предлошка:Mvar е ограничена на интервалот Предлошка:Math.

Конечно, зафатнината:

$\begin{array}{cc}V& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\cdot \pi f(x)\mathrm{d}x\\ & \le \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M}{2}\cdot 2\pi f(x)\mathrm{d}x\\ & \le \frac{M}{2}\cdot \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\pi f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{M}{2}\cdot A.\end{array}$

Значи: ако површината Предлошка:Mvar е конечна, тогаш зафатнината Предлошка:Mvar исто така мора да биде конечна.

Поврзано

• Хипербола
• Кохова снегулка
• Пикардова хорна
• Псевдосфера
• Облик на вселената
• Парадоксите на Зенон

Литература

• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Нмс
• Предлошка:Нмс
• Предлошка:Наведено списание

Надворешни врски

• Torricelli's trumpet at PlanetMath
• Предлошка:MathWorld
• "Gabriel's Horn" by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area by Jean S. Joseph.