Преглед на кодот на Делител

{{Основно сметање}}
'''Делител''' на еден [[цел број]] <math>n</math>, наречен и '''[[фактор (математика)|фактор]]''' на <math>n</math>, е цел број кој го дели <math>n</math> без да има [[остаток (математика)|остаток]].

==Објаснување==
Поимот „делител“ е изведен од [[аритметика|аритметичката]] операција [[делење]]: ако <math>a/b = c</math> тогаш <math>a</math> е [[делење|деленик]], <math>b</math> е '''делител''', а <math>c</math> е [[количник]].
[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|Делителите на 10 илустрирани со кујнски стапчиња : 1, 2, 5, и 10]]
Општо земено, за сите ненуларни цели броеви <math>m</math> и <math>n</math>, <math>m</math> го дели <math>n</math>, што се пишува:
:<math>m \mid n,</math>
ако постои цел број <math>k</math> така што <math>n = km</math>. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и [[негативен број|негативен]], иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, &minus;1, &minus;2, &minus;4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и &minus;1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат [[парни и непарни броеви|парни]], а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат [[парни и непарни броеви|непарни]].

1, &minus;1, ''n'' и &minus;''n'' се нарекуваат '''тривијални делители''' на ''n''. Делителот на ''n'' кој не е тривијален делител се нарекува '''нетривијален делител'''. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува [[сложен број]], додека [[единица (теорија на прстените)|единиците]] -1 и 1 и [[прост број|простите броеви]] немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.

==Примери==
*7 е делител на 42 бидејќи <math>42/7 = 6</math>, па така велиме дека <math>7 \mid 42</math>. Ова значи дека бројот 42 е '''делив''' со 7, 42 е [[содржател]] на 7, 7 '''го дели''' 42, или дека 7 е '''фактор''' на 42.
*Нетривијалните делители на 6 се 2, &minus;2, 3, &minus;3.
*Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
*[[Множество]]то од сите позитивни делители на 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов [[Хасеов дијаграм]]:

[[Податотека:Lattice of the divisibility of 60.svg|центар|250п]]

==Други поимувања и факти==

Постојат извесни елементарни правила: 
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>b \mid c</math>, тогаш <math>a \mid c</math>. Ова е [[транзитивност|транзитивна релација]].
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>b \mid a</math>, тогаш <math>a = b</math> или <math>a = -b</math>.
* Ако <math>a \mid b</math> и <math>c \mid b</math>, тогаш НЕ е секогаш точно дека <math>(a + c) \mid b</math> (на пр. <math>2\mid6</math> и <math>3 \mid 6</math> но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога <math>a \mid b</math> и <math>a \mid c</math>, тогаш <math> a \mid (b + c)</math> е точно, како и <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>
Така имаме и <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref>

Вертикалната црта што се користи во [[уникод]]ниот знак „дели“, [[кодно место]] U+2223 во [[TeX]] се пишува како <code>\mid</code>: <math>\mid</math>. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX <code>\nmid</code>: <math>\nmid</math>. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако <math>a \mid bc</math>, а [[најголем заеднички делител|НЗД]]<math>(a, b) = 1</math>, тогаш <math>a \mid c</math>. Ова се нарекува [[Евклидова лема]].

Ако <math>p</math> е прост број и <math>p \mid ab</math> тогаш <math>p \mid a</math> или <math>p \mid b</math> (или обете).

Еден позитивен делител на <math>n</math> што е различен од <math>n</math> се нарекува '''вистински делител''' или '''аликвотен дел''' на <math>n</math>. Бројот кој не може рамномерно да го подели <math>n</math>, туку има остаток, се нарекува '''аликвантен дел''' на <math>n</math>.

Еден цел број <math>n > 1</math> чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува [[прост број]]. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни [[факторизација|фактори]]: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на <math>n</math> е производ од [[примфактор|прости делители]] на <math>n</math> дигнати на некој степен. Ова е последица од [[фундаментална теорема на аритметиката|фундаменталната теорема на аритметиката]].

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува [[совршен број]]. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува [[обилен број|обилен]], а бројот поголем од збирот се нарекуваат [[недостаточен број|недостаточен]].

Вкупниот број на позитивни делители на <math>n</math> е [[мултипликативна функција]] <math>d(n)</math>, што значи кога два броја <math>m</math> и <math>n</math> се [[заемно прости броеви|односно прости]], тогаш <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. На пример, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја <math>m</math> и <math>n</math> имаат заеднички делител, тогаш <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math> може да не е точно. Збирот на позитивните делити на <math>n</math> е друга мултипликативна функција <math>\sigma (n)</math> (на пр. <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). Обете функции се примери за [[делителна функција|делителни функции]].

Ако простата факторизација на <math>n</math> е дадена со

:<math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>

тогаш бројот на позитивни делители на <math>n</math> изнесува

:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>
и секој од делителите го има обликот

:<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>

каде <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> за секој <math>1 \le i \le k.</math>

Може да се види дека за секој природен број <math>n</math> важи неравенството <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.

Можеме и да покажеме
<ref>
{{Наведена книга
  | last = Hardy
  | first = G. H. 
  |author2=E. M. Wright
  | title = An Introduction to the Theory of Numbers
  | publisher = Oxford University Press
  | date = 17 април 1980
  | location =
  | page = 264
  | url =
  | doi =
  | id =  
  | isbn = 0-19-853171-0}}
</ref>
дека
:<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број ''n'' има очекуван
околу <math>\ln n</math> очекувани делители.

==Деливост на броевите==
Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви <math>N</math> во [[делумно подредено множество]], впрочем во [[решетка (математика)|целосна дистрибутивна решетка]]. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со [[најголем заеднички делител|најголемиот заеднички делител]] а операцијата на сврзување v е дадена со [[најмал заеднички содржател|најмалиот заеднички содржател]]. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната [[циклична група]] [[цел број|<math>Z</math>]].

== Поврзано ==
* [[Аритметичка функција]]
* [[Евклидов алгоритам]]
* [[Дропка]]

==Наводи==
{{наводи}}

==Литература==
* Richard K. Guy, ''Unsolved Problems in Number Theory'' (III изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; дел B.
* Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, NY, 1944.

== Надворешни врски ==
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Delitel Делител] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20110317024443/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Delitel |date=2011-03-17 }} - Математика за сите {{mk}}

[[Категорија:Аритметика]]
[[Категорија:Делење]]