Преглед на кодот на Допуштени вредности (математичко образование)

=Допуштени вредности=
<table border='1' cellpadding='5' width='845' >
  <tr >
    <td  valign='top' >

<span style='color: #0000ff;'>Дефиниција</span>: За израз со променлива <em>х</em>, множеството на <span style='color: red;'><strong>допуштени вредности</strong></span> D се сите <strong>реални броеви <em>х</em></strong> за кои постои изразот.

<strong>Основен пример:</strong> За изразот {{Дропка|1|х}} <strong>не</strong> се допуштува вредноста <em>х</em>=0. Ако во дигитрон типниме: <strong>1 / 0 = </strong> ќе излезе дека е неможно, т.е. грешка (error). Сите други вредности можат да влегуваат во изразот наместо <em>х</em>. Значи, сите други вредности се допуштени вредности.

 <div style="margin-left:15px">

Следува: Множеството на допуштени вредности на изразот {{Дропка|1|х}} се сите реални броеви освен 0.

      <p style="margin-left:10px">Пишиме: <big>За</big> &nbsp; <math>\frac{1}{x}</math><big>, </big> &nbsp;<math> D=\{x| \, x \ne 0 \}</math></p>
      </div>
 <div style="margin-left:15px">

Означување и говор

      <ul>
        <li> Множеството: {<em>x</em>|<em>x</em> &ne; 0} се чита „множеството на сите <em>х</em> такви што <em>х</em> не е еднакво на 0“.</li>
        <li> Еквивалентно имаме: <math> \Re \setminus \{ 0 \} </math> кој се чита „сите реални броеви освен 0“.</li>
        <li> Еквивалентно имаме: <em>x</em>&isin;(-&infin;,0)(0,&infin;) кој се чита „х е реален број во интервалот од негативна бесконечност до нула <strong>унија</strong> интервалот од 0 до позитивна бесконечност“.</li>
      </ul>
  </div></td>
  <td>[[Податотека: wiki_dopusteni_vrednosti3.gif]]</td></tr></table>

Ист е принципот и кај изрази со други променливи покрај или освен <em>х</em>.

<strong>Заклучок 1:</strong> Треба да се отстранат вредности на променливата (променливите) за кои именител би станал 0.

Други примери за допуштени вредности кај изрази со именители<sup>1</sup>.

      <div style="margin-left:15px" >
        <table border='1' cellpadding='5' width="830px" >
          <tr >
            <td align='center'><strong>Израз </strong></td>
            <td align='center'><strong>Услов за допуштени вредности </strong></td>
            <td align='center'><strong>Допуштени вредности</strong></td>
            <td align='center'><strong>Множеството на допуштени вредности </strong></td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{2x^2-1}{x+1} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> x+1\ne 0 </math></td>
            <td align='center'><math> x \ne -1 </math></td>
            <td align='center'><math> \Re \setminus \{ -1 \} </math> или <math> \{ x| \,\,  x \ne -1 \}</math></td>
          </tr>
          <tr >
            <td align='center'><big><math>\frac{x(7x^2-3y+2xz)}{-5y^2z}</math></big> </td>
            <td align='center'><math> -5y^2z \ne 0</math></td>
            <td align='center'><math> y \ne 0 </math> и <math> z \ne 0 </math></td>
            <td align='center'><math> \{ y, \,z| \,\,  y \ne 0 \wedge  z \ne 0 \}</math>           </td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{7x^5-4x^3+2x^2-1}{x^2+3} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> x^2+3 \ne 0</math></td>
            <td align='center'>нема недопуштена вредност, т.е. x<sup>2</sup>+3 никогаш не е 0 </td>
            <td align='center'><math> \Re </math> или <math> ( -\infty,\, \infty)</math></td>
          </tr>
          <tr >
            <td align='center'><big><math>\frac{-32x}{4x-3} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> 4x-3 \ne 0 </math></td>
            <td align='center'><math> x \ne 0,75 </math></td>
            <td align='center'><math> \Re \setminus \{ 0,75 \} </math></td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{a+b}{4} </math></big> </td>
            <td align='center'> нема променлива во именителот </td>
            <td align='center'>нема недопуштена вредност </td>
            <td align='center'><math> \Re </math> </td>
          </tr>
          <tr >
            <td align='center'><big><math>\frac{3x^2-7xy+y^2}{y(1-x)} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> y(1-x) \ne 0</math></td>
            <td align='center'><math> y \ne 0 </math> и <math> x \ne 1 </math></td>
            <td align='center'><math> \{ x,\, y \,|\, x \neq 1 \,\wedge\, y \neq 0 \} </math>            </td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{a^2-b^2}{a-b} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> a-b \ne 0 </math> </td>
            <td align='center'><math> a \ne b </math></td>
            <td align='center'><math> \{ a,\, b  \,|\, a \neq b \}</math> </td>
          </tr>
          <tr >
            <td align='center'><big><math>\frac{a^2-b^2}{4(a+b)} </math></big> </td>
            <td align='center'><math> 4(a+b) \ne 0 </math></td>
            <td align='center'><math> a \ne -b </math></td>
            <td align='center'><math> \{ a,\, b \,|\, a \neq -b \}</math> </td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{3x+7}{2x^2-x-3} </math> </big></td>
            <td align='center'><math> 2x^2-x-3 \ne 0 </math> </td>
            <td align='center'><math> x \ne 1,5 </math> и <math> x \ne -1 </math> </td>
            <td align='center'><math> \{ x  \,|\, x \neq 1,5 \,\wedge\, x \neq -1 \} </math> или <br>
            <big>(-&infin;,-1)(-1,1.5)(1.5,&infin;)</big> </td>
          </tr>
          <tr>
            <td align='center'><big><math>\frac{3x}{x^2-2}+\frac{1}{2x} </math> </big></td>
            <td align='center'><math> x^2-2 \ne 0 </math> и <math> 2x \ne 0 </math></td>
            <td align='center'><math> x \ne \pm\sqrt{2} </math> и <math> x \ne 0  </math> </td>
            <td align='center'><math> (-\infty,-\sqrt{2})(-\sqrt{2},0)(0,\sqrt{2})(\sqrt{2},\infty) </math> </td>
          </tr>
        </table>
      </div>

----

<strong>Основен пример 2:</strong> За изразот <math>\sqrt{x}</math>, <strong>не</strong> се допуштуваат негативни вредности, т.е. <strong>не</strong> се допуштуваат <em>х</em> &lt; 0, односно <strong>се</strong> допуштуваат <strong>само ненегативни вредности </strong>(т.е. позитивни вредности и 0, <em>х</em> &ge; 0).

      <div style="margin-left:15px">

Значи: Множеството на допуштени вредности на изразот <math>\sqrt{x}</math> се сите реални броеви x&ge;0.

      <p style="margin-left:10px">Пишиме: <big>За</big> &nbsp; <math>\sqrt{x}</math><big>, &nbsp;</big> <math> D=\{x| \, x \ge 0 \}</math></p>
</div>

<strong>Заклучок 2:</strong> Треба да се отстранат вредности на променливата (променливите) за кои подкорениот израз би станал негативен.

Други примери за допуштени вредности кај изрази со квадратен корен.

<div style="margin-left:15px" >
  <table border='1' cellpadding='5' width="830px" >
        <tr >
          <td align='center'><strong>Израз </strong></td>
          <td align='center'><strong>Услов за допуштени вредности </strong></td>
          <td align='center'><strong>Допуштени вредности</strong></td>
          <td align='center'><strong>Множеството на допуштени вредности </strong></td>
        </tr>
        <tr>
          <td align='center'><big> <math> \sqrt{2x-6}</math></big> </td>
          <td align='center'><math>2x-6 \ge 0 </math> </td>
          <td align='center'><math>x \ge 3 </math> </td>
          <td align='center'><math>x \in [3, \infty ) </math> </td>
        </tr>
        <tr >
          <td align='center' ><big><math>\sqrt{5(3-z)} </math></big> </td>
          <td align='center'><math>5(7-z) \ge 0 </math> </td>
          <td align='center'><math> z \le 7 </math> </td>
          <td align='center'><math>z \in (- \infty,7]</math> </td>
        </tr>
        <tr>
          <td align='center'><big><math>\frac{-2x^4-1}{\sqrt{x-4}} </math> </big></td>
          <td align='center'><math> x-4 \ge 0 </math> и <math> x-4 \neq 0 </math> </td>
          <td align='center'><math> x > 4 </math> </td>
          <td align='center'><math>(4,\infty) </math> </td>
        </tr>
        <tr >
          <td align='center'><big><math>\frac{1-2x^4}{\sqrt{17,7}} </math></big> </td>
          <td align='center'>нема променлива под корен, нуту во именител </td>
          <td align='center'>нема недопуштена вредност </td>
          <td align='center'><math> \Re </math> </td>
        </tr>
        <tr>
          <td align='center'><big><math>\sqrt{x^2+1} </math></big> </td>
          <td align='center'><math> x^2+1 \ge 0 </math> </td>
          <td align='center'>нема недопуштена вредност, т.е. x<sup>2</sup>+1 е секогаш позитивен број </td>
          <td align='center'><math>\Re </math> </td>
        </tr>
        <tr >
          <td align='center'><big> <math>\sqrt{2x^2-x-3)}</math></big> </td>
          <td align='center'><math> 2x^2-x-3 \ge 0 </math> </td>
          <td align='center'><math> x \le -1 </math> или <math>x \ge 1.5 </math> </td>
          <td align='center'><math> x \in (- \infty\,;\,-1] \, [1.5, \infty ) </math> </td>
        </tr>
        <tr>
          <td align='center'><big><math> \frac{1}{\sqrt{3+2x-2x^2}} </math> </big></td>
          <td align='center'><math> 3+x-2x^2 > 0 </math> <br /> или еквивалентно <br /> <math>2x^2-x-3 < 0 </math> </td>
          <td align='center'><math> x > -1 </math> и <math> x < 1.5 </math> </td>
          <td align='center'><math> x \in (-1 \,;\, 1,5) </math> </td>
        </tr>
  </table>
</div>   
 
 
=Список основни изрази со ограничено множество на допуштени вредности=
<div style="margin-left:15px" >
<table border="1"  cellpadding="5" width="830">
    <tr>
    <td><strong>Израз </strong></td>
    <td><strong>Множество на допуштени вредности</strong></td>
    <td><strong>Коментар</strong></td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\frac{1}{x}</math></td>
    <td><big>{x| x&ne;0}</big></td>
    <td>именител на дропка не смее да е 0</td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\sqrt{x}</math></td>
    <td><big>{x| x&ge;0}</big></td>
    <td>изразот под корен треба да е ненегативен</td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\ln(x)</math></td>
    <td><big>{x| x&gt;0}</big></td>
    <td>(природен) логаритам постои само за позитивни броеви</td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\log(x)</math></td>
    <td><big>{x| x&gt;0}</big></td>
    <td>логаритам (со основа 10) постои само  за позитивни броеви</td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\tan(x)</math></td>
    <td><big>{x| x &ne; {{Дропка|(2k+1)&pi;|2}}, k=цел број}</big></td>
    <td>tan(x)={{Дропка|sin(x)|cos(x)}}. Значи tan(x) постои каде што cos(x)&ne;0, а<br>
cos(x)=0 за х=±{{Дропка|&pi;|2}}, ±{{Дропка|3&pi;|2}}, ...</td>
  </tr>
  <tr>
    <td><math>\operatorname{asin}(x)</math></td>
    <td><big>{x| -1 &le; x &le; 1}</big></td>
    <td>asin(x)=arcsin(x) e [[инверзна функција]] на sin(x)</td>
  </tr>
  
  <tr>
    <td><math>\operatorname{acos(x)}</math></td>
    <td><big>{x| -1 &le; x &le; 1}</big></td>
    <td>acos(x)=arccos(x) e [[инверзна функција]] на cos(x)</td>
  </tr>
</table>
</div>

=Област на дефинираност на функција=
<div style="margin-left:15px; " >

<span style='color: #0000ff;'>Дефиниција</span>: За [[Функција (математичко образование)|функција]] <em>y</em>=<em>f</em>(<em>x</em>), множеството на сите допуштени вредности на аргументот х се вика <strong>[[областа на дефинираност]] D на функцијата f(x)</strong>.

</div>
            
            
=Рестрикција на функција=
<div style="margin-left:15px; " >

<span style='color: #0000ff;'>Дефиниција</span>: <strong>[[Рестрикција на функција|Рестрикција]] </strong>на една функција <em>y</em>=<em>f</em>(<em>x</em>), е <strong>подмножеството</strong> на областа на дефинираност на функцијата на кое <strong>ние</strong>, како корисник на функцијата, ги ограничуваме можните влезни вредности (аргументи). Рестрикцијата може да биде било кое подмножество на D, но најчесто е поврзана со реалните можности на некоја конкретна задача.

</div>

<sup>1</sup>Да се потсетите од [[Логика (математичко образование)|логика]] или од теорија на [[Множество (математичко образование)|множеста]] дека:

<ul>
  <li>Зборот „и“ = &cap; пресек на две множества = &Lambda; конјункција на два изкази, а </li>
  <li>Зборот „или“ =  &cup; пресек на две множества = V дисјункција на два изкази.</li>
</ul>
    
    
=Литература=
* http://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_a_function
* http://www.purplemath.com/modules/rtnldefs.htm
    
    
=Други референции=
* [[Функција (математичко образование)]]
* [[Област на дефинираност (математика)]]
* [[Рестрикција на функција (математика)]]
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+1%2Fx
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+sqrt(x)
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+ln%28x%29

[[Категорија:Математичко образование]]
[[Категорија:Математика]]