Преглед на кодот на Извод

[[Податотека:Tangent_to_a_curve.svg|мини|200x200пкс| Графиконот на функцијата, нацртан со црно, и тангентната црта на таа функција, нацртана со црвено. Наклонот на тангентата на -оската е еднаков на изводот на функцијата во означената точка.]]
Во [[Математичка анализа|математичката анализа]], гранка на [[математика]]та, '''изводот''' е мерка за тоа како (колку брзо) [[Функција (математика)|функцијата]] ги менува своите вредности кога се менуваат нејзините влезни вредности. Изводот на крива во точка го претставува коефициентот на насоката на [[допирка]]та/тангентата на дадената крива во таа точка.

Изводот на [[Функција (математика)|функцијата]] во точката „a“ се дефинира како:

<math>f'(x)|_{x=a}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math>

ако постои [[гранична вредност]]. Во спротивно, можеме да го разбереме изводот како [[Линеарно пресликување|линеарен оператор]].

Постапката на пронаоѓање на изводот на функцијата се нарекува диференцирање. Диференцирањето е спротивно на [[Интегрално сметање|интегрирањето]].

== Запис на изводот ==

=== Лајбницово обележување ===
Симболите <math>dx</math>, <math>dy</math> и <math>\frac{dy}{dx}</math> ги смислил [[Готфрид Вилхелм Лајбниц]] во 1675 година. Сè уште често се користи кога функцијата {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x'')}} се гледа као однос на зависни и независни промениви. Во тој случај првиот извод се обележува како:

: <math>\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}, \text{ или }\frac{d}{dx}f,</math>

и некогаш се гледал како [[инфинитезимала|инфинитезимален]] количник. Изводите од повисок ред се обележуваат со следната нотација:

: <math>\frac{d^ny}{dx^n},
\quad\frac{d^n f}{dx^n},
\text{ или }
\frac{d^n}{dx^n}f</math>

за ''n-тиот'' извод на функцијата <math>y = f(x)</math>. Тие претставуваат скратен запис за повторување на операторот извод, на пример:

: <math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

Со Лајбницовата нотација можеме да запишеме извод на функција <math>y</math> во точка <math>x = a</math> на два начина:

: <math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>

Лајбницовата нотација дозволува прецизирање на променливата по која се врши извод, што е важно кај [[Парцијален извод|парцијалните изводи]]. Исто така, го олеснува помнењето на формулата за изводот на сложена функција:

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>

=== Лагранжово обележување ===
Најчестиот начин за запишување на изводот е со [[Жозеф Луј Лагранж|Лагранжова]] нотација која ја користи ознаката прим ('), така што изводот на функцијата <math>f</math> се запишува како <math>f'</math>. Слично на тоа, вториот и третиот извод се обележуваат како:

: <math>(f')'=f''</math>&#x2003;и&#x2003;<math>(f'')'=f'''.</math>

За да се означи редот на изводот над 3, некои автори користат римски бројки во натписот, а некои арапски бројки во загради:

: <math>f^{\mathrm{iv}}</math>&#x2003;или&#x2003;<math>f^{(4)}.</math>

''n-тиот'' извод се означува како <math>f^{(n)}</math>, оваа нотација се користи кога се однесува на изводот како за сопствена функција.

=== Њутново обележување ===
Њутновата нотација обично се користи кога независната променлива означува [[време]]. Ако локацијата {{Мат|''y''}} е функција од ''t'', тогаш i <math>\dot y</math> означува [[брзина]],<ref>Weisstein, Eric W. "Overdot." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/Overdot.html|title=Архивиран примерок|archive-url=https://web.archive.org/web/20150905171914/http://mathworld.wolfram.com/Overdot.html|archive-date=2015-09-05|accessdate=2016-02-05}}</ref> a <math>\ddot y</math> укажува на забрзување.<ref>Weisstein, Eric W. "Double Dot." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource. {{Наведена мрежна страница|url=http://mathworld.wolfram.com/DoubleDot.html|title=Архивиран примерок|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303174226/http://mathworld.wolfram.com/DoubleDot.html|archive-date=2016-03-03|accessdate=2016-02-05}}</ref>

Њутновата нотација за диференцирање (исто така наречена '''точкеста нотација''' за диференцирање) става точка над зависната променлива. Односно, ако ''y'' е функција од ''t'', тогаш изводот на ''y'' е во однос на

: <math>\dot y</math>

Равенката на нормалата во дадената точка Т ќе биде:

: <math>\ddot y, \overset{...}{y}</math>

== Користење на изводи за цртање графикони на функции ==
[[Податотека:Graph_of_sliding_derivative_line.gif|десно|рамка| Во секоја точка, изводот е наклонот на тангентата на кривата. Црвената линија е секогаш тангента на сината крива; неговиот наклон е извод.]]
Изводите се корисна алатка за испитување на графикони на функции. Сите точки во доменот на реалните функции кои претставуваат локални [[Екстремум|екстреми]] имаат нула како свој прв извод. Сепак, не сите критични точки се локални екстреми; на пример има критична точка во, но нема ниту локален максимум ниту локален минимум во оваа точка.

Вториот извод на функцијата може да се користи за тестирање [[Конвексна функција|на конвексноста на функцијата]]. Превојните точки (точките каде функцијата се менува од конвексен во конкавен облик) имаат нула како втор извод.

== Геометриска интерпретација на изводот ==
Ако функцијата ''f'' е диференцијабилна во точката, тогаш коефициентот на насоката на [[Допирка|тангентата]] на кривата во точката ќе биде еднаков на, каде &#x3B1; е аголот кој тангентата го склопува со позитивниот дел од -оската, а равенката на истата тангента ќе гласи:

:''y''&nbsp;-&nbsp;''y''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;''f'' '&nbsp;(''x''<sub>0</sub>)&nbsp;&middot;&nbsp;(&nbsp;''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sub>0</sub>&nbsp;),
каде ''y''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;''f''&nbsp;(''x''<sub>0</sub>).

Равенката на нормала во дадена точка Т ќе биде:

:''y''&nbsp;&minus;''y''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;&minus;1/''f'' '&nbsp;(''x''<sub>0</sub>)&nbsp;&middot;&nbsp;(&nbsp;''x''&minus;''x''<sub>0</sub>&nbsp;)

==Пресметување на извод==
Изводите може теоретски да се пресметуваат по дефиниција во секој пример, но во пракса често се користат готови пресметки на попознати, поедноставни функции. Изводите на посложени функции се пресметуваат со користење на одредени правила.

=== Изводи на едноставни функции ===
<math>\bigl(x^n\bigr) ' =\lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\Bigr)</math> ; <math>a^n - b^n = \bigl(a-b\bigr) \bigl(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+ \ldots+a^2 b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr)</math>

<math>(x+\Delta x)^n - x^n = \bigl((x+\Delta x)-x\bigr) \bigl((x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2} x+(x+\Delta x)^{n-3} x^2+ \ldots+(x+\Delta x)^2 x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}\bigr)</math><math>(x+\Delta x)^n - x^n \thickapprox n\Delta x x^{n-1}</math>

<math>\bigl(x^n\bigr) ' = \lim_{\Delta x \to 0}\Bigl(\frac{ n\Delta x x^{n-1}}{\Delta x}\Bigr) = nx^{n-1}</math> ; n - кој било број

<math>\Bigl(e^x\Bigr) ^, = \ lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{e^ {(x+\Delta x)} -e^x}{\Delta x}\Bigr)</math> ; <math>e=\lim_{n \to \infty}\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr) ^n=\lim_{h \to 0}\bigl(1+h\bigr) ^{\frac{1}{h}}</math>

<math>\frac{e^ {(x+\Delta x)} -e^x}{\Delta x} = e^x \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}</math> ; <math>e^{\Delta x}-1=h \xrightarrow[\Delta x\rightarrow 0]{ } 0</math> => <math>\Delta x =ln(1+h)</math>

<math>\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = \frac{h}{ln(1+h)}= \frac{1}{ln(1+h) ^{\frac{1}{h}}}</math> = 1, ln(e) = 1

Конечно: <math>\Bigl(e^x\Bigr) ^, = e^x</math>

<math>\Bigl(ln(x)\Bigr) ^, =\lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}\Bigr)</math> ; <math>ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln\bigl(\frac{x+\Delta x}{x}\bigr) = ln\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)</math>

<math>\frac{ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x} = \frac{1}{x}\frac{ ln\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)}{\frac{\Delta x}{x}}</math> ; <math>\lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{ ln\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)}{\frac{\Delta x}{x}}\Bigr)=1</math>

<math>\Bigl(ln(x)\Bigr) ^, =\frac{1}{x}</math>

<math>\Bigl(a^x\Bigr) ^, = \ lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{a^ {(x+\Delta x)} -a^x}{\Delta x}\Bigr)</math> ; <math>\frac{a^ {(x+\Delta x)} -a^x}{\Delta x} = a^x \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}</math>

<math>a^{\Delta x}-1=h</math> => <math>\Delta x=log_a(1+h)=\frac{ln(1+h)}{lna}</math>

'''<math>\Bigl(a^x\Bigr) ^, = a^x ln(a)</math>'''

<math>\Bigl(log_a(x)\Bigr) ^, =\lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{log_a(x+\Delta x)-log_a(x)}{\Delta x}\Bigr)</math> ; <math>log_a(x+\Delta x)-log_a(x)=log_a\bigl(\frac{x+\Delta x}{x}\bigr) = log_a\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)</math>

<math>log_a\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)=\frac{ln\Bigl(1+\frac{\Delta x}{x}\Bigr)}{lna}</math>

<math>\Bigl(log_a(x)\Bigr) ^, =\frac{1}{xlna}</math>

<math>\Bigl(sin(x)\Bigr) ^, = \lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{ sin(x+\Delta x)-\sin{x}}{\Delta x}\Bigr)</math>

<math>sin(\alpha)-sin(\beta)=2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})</math> => <math>\frac{ sin(x+\Delta x)-\sin{x}}{\Delta x}=2\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}cos(x+\frac{\Delta x}{2})</math> . Како <math>\frac{\sin x}{x} \xrightarrow[x \rightarrow 0]{ } 1\Rightarrow</math>

<math>\Bigl(sin(x)\Bigr) ^, = \cos x</math>

<math>\Bigl(cos(x)\Bigr) ^, = \lim_{\Delta x \to 0} \Bigl(\frac{ cos(x+\Delta x)-\cos{x}}{\Delta x}\Bigr)</math>

<math>cos(\alpha)-cos(\beta)=-2sin(\frac{\alpha-\beta}{2}sin(\frac{\alpha+\beta}{2})</math> =>

<math>\frac{ cos(x+\Delta x)-\cos{x}}{\Delta x}=-2\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}sin(x+\frac{\Delta x}{2})</math> =>

<math>\Bigl(cos(x)\Bigr) ^, = -\sin x</math>

<math>\Bigl(tan(x)\Bigr) ^, =\Bigl(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\Bigr) ^,</math> [[Таблица на изводи|=]] <math>\frac{\Bigl(\sin{x}\Bigr) ^, \cos{x}-\sin{x}\Bigl(\cos{x}\Bigr) ^, }{\cos{x}^2}</math> = <math>\frac{\sin{x}^2+\cos{x}^2}{\cos{x}^2}=\frac{1}{\cos{x}^2}</math>

<math>\Bigl(cot(x)\Bigr) ^, =\Bigl(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\Bigr) ^,</math> [[Таблица на изводи|=]] <math>\frac{\Bigl(\cos{x}\Bigr) ^, \sin{x}-\cos{x}\Bigl(\sin{x}\Bigr) ^, }{\sin{x}^2}</math> = <math>\frac{-\sin{x}^2-\cos{x}^2}{\sin{x}^2}=\frac{-1}{\sin{x}^2}</math>

== Таблица на изводи на елементарни функции ==
{| class="wikitable"
!Функција <math>f(x)</math>
!Извод <math>f'(x)</math>
!
!
!Функција <math>f(x)</math>
!Извод <math>f'(x)</math>
|-
|<math>\sin x</math>
|<math>\cos x</math>
|
|
|<math>\text{sh}\,x</math>
|<math>\text{ch}\,x</math>
|-
|<math>\cos x</math>
|<math>-\sin x</math>
|
|
|<math>\text{ch}\,x</math>
|<math>\text{sh}\,x</math>
|-
|<math>\text{tg}\,x</math>
|<math>\frac{1}{\cos^2 x}</math>
|
|
|<math>\text{th}\,x</math>
|<math>\frac{1}{\text{ch}^2 x}</math>
|-
|<math>\text{ctg}\,x</math>
|<math>-\frac{1}{\sin^2 x}</math>
|
|
|<math>\text{cth}\,x</math>
|<math>-\frac{1}{\text{sh}^2 x}</math>
|-
|<math>\arcsin x</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|
|
|<math>\text{Arsh}\,x</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|-
|<math>\arccos x</math>
|<math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|
|
|<math>\text{Arch}\,x</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
|<math>\text{arctg}\,x</math>
|<math>\frac{1}{1+x^2}</math>
|
|
|<math>\text{Arth}\,x</math>
|<math>\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
|<math> \text{arcctg}\,x </math>
|<math>-\frac{1}{1+x^2}</math>
|
|
|<math>\text{Arcth}\,x</math>
|<math>\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
|<math>e^x</math>
|<math>e^x</math>
|
|
|<math>a^x</math>
|<math>a^x \ln a</math>
|-
|<math> \ln(x) </math>
|<math>\frac{1}{x}</math>
|
|
|<math>\frac{1}{x}</math>
|<math>-\frac{1}{x^2}</math>
|-
|<math>\log_{a} x</math>
|<math>\frac{1}{x \ln a}</math>
|
|
|<math>|x|</math>
|<math>\frac{x}{|x|}</math>
|-
|<math>\sqrt{x}</math>
|<math>\frac{1}{2 \sqrt{x}}</math>
|
|
|<math>x^n</math>
|<math>n x^{n-1}</math>
|}

=== Извод на сложена функција ===
Дадена е сложена функција <math>y = f(u)
</math>, при што <math>u = g(x)</math>

Изводот е еднаков на производот на изводите на поединечните делови:
<math>(f \circ g)'(x) = (f(g(x))' = f'(u)g'(x)</math>

Пример:

<math>[sin(x^2)]' = sin'(x^2) * (x^2)' = 2xcos(x^2)</math>

=== Особини на изводот ===
Збир на изводи е извод на збирот:

<math>u'(x) \plusmn v'(x) = [u(x) \plusmn v(x)]'</math>

Извод на производ:

<math>[u(x) v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)</math>

Посебен случај е извод на функција помножена со константа:

<math>[cu(x)]' = c'u(x) + cu'(x) = 0*u(x) + cu'(x) = cu'(x)</math>

Извод на количник:

<math>\bigl[\frac {u(x)} {v(x)} \bigr]' = \frac {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {[v(x)]^2}</math>

== Втор извод и изводи од повисок ред ==
Вториот извод се дефинира како извод на првиот извод:

: <math>f''(x)|_{x=a}= (f'(x)|_{x=a})'\, </math>

Истото важи и за секој нареден извод:

: <math>f'''(x)|_{x=a}= (f''(x)|_{x=a})'\, </math>
: <math>f^{(n)} (x)|_{x=a}= (f^{(n-1)} (x)|_{x=a})'\, </math>

== Поврзано ==
* [[Таблица на изводи]]
* [[Извод на сложена функција]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Литература ==
{{refbegin|30em}}
*{{Citation
 | last1 = Anton
 | first1 = Howard
 | last2 = Bivens
 | first2 = Irl
 | last3 = Davis
 | first3 = Stephen
 |date=2 февруари 2005.
 | title = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
 | place = New York
 | publisher = Wiley
 | edition = 8th
 | isbn  = 978-0-471-47244-5
}}
*{{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | author-link = Tom M. Apostol
 | date = June 1967
 | title = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn = 978-0-471-00005-1
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | date = June 1969
 | title = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn = 978-0-471-00007-5
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{Citation
 | last1 = Courant
 | first1 = Richard
 | last2 = John
 | first2 = Fritz
 |date=22 декември 1998.
 | title = Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn  = 978-3-540-65058-4
}}
*{{Citation
 | last = Eves
 | first = Howard
 |date=2 јануари 1990.
 | title = An Introduction to the History of Mathematics
 | edition = 6th
 | publisher = Brooks Cole
 | isbn  = 978-0-03-029558-4
}}
*{{Citation
 | last1 = Larson
 | first1 = Ron
 | last2 = Hostetler
 | first2 = Robert P.
 | last3 = Edwards
 | first3 = Bruce H.
 |date=28 февруари 2006.
 | title = Calculus: Early Transcendental Functions
 | edition = 4th
 | publisher = Houghton Mifflin Company
 | isbn  = 978-0-618-60624-5
}}
*{{Citation
 | last = Spivak
 | first = Michael
 | author-link = Michael Spivak
 | date = September 1994
 | title = Calculus
 | publisher = Publish or Perish
 | edition = 3rd
 | isbn  = 978-0-914098-89-8
}}
*{{Citation
 | last = Stewart
 | first = James
 |date=24 декември 2002.
 | title = Calculus
 | publisher = Brooks Cole
 | edition = 5th
 | isbn = 978-0-534-39339-7
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus0000stew
 }}
*{{Citation
 | last = Thompson
 | first = Silvanus P.
 | authorlink = Silvanus P. Thompson
 |date=8 септември 1998.
 | title = [[Calculus Made Easy]]
 | edition = Revised, Updated, Expanded
 | place = New York
 | publisher = St. Martin's Press
 | isbn  = 978-0-312-18548-0
}}
*{{Citation
 | last = Crowell
 | first = Benjamin
 | title = Fundamentals of Calculus
 | year = 2017
 | url = http://www.lightandmatter.com/fund/
}}
*{{Citation
 | last = (Govt. of TN)
 | first = TamilNadu Textbook Corporation
 | title = Mathematics- vol.2
 | year = 2006
 | url = http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-EM-2.pdf
 | access-date = 2014-11-29
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160115180615/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-EM-2.pdf
 | archive-date = 2016-01-15
 | url-status = dead
 }}
*{{Citation
 | last = Garrett
 | first = Paul
 | year = 2004
 | title = Notes on First-Year Calculus
 | url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
 | publisher = [[University of Minnesota]]
}}
*{{Citation
 | last = Hussain
 | first = Faraz
 | year = 2006
 | title = Understanding Calculus
 | url = http://www.understandingcalculus.com/
}}
*{{Citation
 | last = Keisler
 | first = H. Jerome
 | year = 2000
 | title = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
 | url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
}}
*{{Citation
 |last        = Mauch
 |first       = Sean
 |year        = 2004
 |title       = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
 |url         = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 |url-status     = dead
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 |archivedate = 2006-04-15
}}
*{{Citation
 | last = Sloughter
 | first = Dan
 | year = 2000
 | title = Difference Equations to Differential Equations
 | url = http://synechism.org/drupal/de2de/
}}
*{{Citation
 | last = Strang
 | first = Gilbert
 | year = 1991
 | title = Calculus
 | url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
 | accessdate = 16. 10. 2020
 | archive-date = 25. 02. 2010
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20100225114644/http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
 | url-status = dead
 }}
*{{Citation
 | last = [[Keith Stroyan|Stroyan]]
 | first = Keith D.
 | year = 1997
 | title = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
 | url = http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/Site/Infinitesimals.html
}}
*{{Citation
 | last = Wikibooks
 | title = Calculus
 | url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
}}
{{refend}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Функции и пресликувања]]
[[Категорија:Диференцијално сметање]]
[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:CS1-одржување: датумски формат]]