Преглед на кодот на Извод на имплицитна функција

{{Без извори|датум=ноември 2009}}
<div class="plainlinks messagebox cleanup metadata"></span>Оваа статија подетално се занимава со поимот '''''Извод на имплицитна функција'''''. <br /> Околу [[дефиниција]]та на поимот извод на [[Пресликување|функција]], видете ја статијата [[Диференцијално сметање]].<br /> Препорачуваме да ја консултирате и статијата [[Имплицитна функција]]</div>
{{Анализа}}
[[Имплицитна функција|Имплицитните функции]] се [[Пресликување|функции]] зададени во вид на [[равенка]] во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:

: <math>\ F(x,y)=0</math>

при што со <math>x</math> е означен аргументот (независно-променливата), а со <math>y</math>-сликата (зависно-променливата)

Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:

Нека <math>\ A\subseteq \mathbb{R}^2</math> е [[Бројни множества|отворено множество]], нека <math>(a,b) \in A</math> и нека важи:

* <math>F:A \to \mathbb{R}</math> е [[Непрекинатост на функција|непрекината]] функција;

* <math>F(a,b) = 0</math>;

* постојат [[Парцијален извод|парцијалните изводи]]: <math>\frac{\partial F}{\partial y}</math> и <math>\frac{\partial F}{\partial x}</math> истите се [[Непрекинатост на функција|непрекинати]] на целото <math>A</math>;

* <math>\frac{\partial F}{\partial y} (a,b) \neq 0</math>

Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката <math>(a,b)</math> на која е дефинирана и еднозначно определена функција <math>f</math> која е непрекината и е таква што важи: <math>f(a)=b</math> и (што е поважно) <math>F(x,f(x))=0</math> за секој <math>x</math> од таа околина. Поинаку кажано таквата функција <math>f</math> претставува ''експлицитна'' (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција <math>F</math> на таа околина.

Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:

:: <math>f^\prime(x) = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) }{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) }</math>
[[Image:Implicit circle.svg|thumb|right|200px|Кружната единица може да се наведе како крива на ниво f (x, y) = 1 од функцијата f (x, y) = x2 + y2. Околу точката А, y може да се изрази како функција y (x). Во овој пример оваа функција може да биде напишана експлицитно како g1(x)=1=+\sqrt{1-x^2}</math>, во многу случаи не постои таков експлицитен израз, но сепак може да се повика на имплицитната функција y (x). Не постои таква функција околу точката Б]]
== Пример ==
Нека е зададена имплицитна функција:

: <math>F(x,y):x^2+y^2-1=0</math>

Тогаш:

* функцијата е непрекината за сите вредности на <math>x</math> и <math>y</math>;

* постојат парцијалните изводи:
:: <math>\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x</math>

:: <math>\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2y</math>

и тие се непрекинати за сите <math>x</math> и <math>y</math> и уште повеќе <math>\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0</math> за <math>y \neq 0</math>. Значи функцијата <math>F</math> ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со <math>y</math>. Тогаш за изводот имаме:

: <math>f^\prime(x) = y^\prime =  - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}</math>


Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи <math>F(x,y)=0</math> имаме:

: <math>x^2+y^2-1=0</math>, односно: <math>y=\pm \sqrt{1-x^2}</math>

каде

:: <math>y_1=+\sqrt{1-x^2}</math> и

:: <math>y_2=-\sqrt{1-x^2}</math>

се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.

Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:

* <math>y_1^\prime = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y_1}</math>

* <math>y_2^\prime = (-\sqrt{1-x^2})' = -\frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y_2}</math>

Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: ''нејзините'') експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.

== Поврзано ==

* [[Диференцијално сметање#Извод од имплицитно зададена функција|Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)]]

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]