Извод на имплицитна функција

Предлошка:Анализа Имплицитните функции се функции зададени во вид на равенка во која фигурираат и аргументот и сликата (т.е. и независно- и зависно-променливата). Најчесто се запишуваат како:

$F(x,y)=0$

при што со $x$ е означен аргументот (независно-променливата), а со $y$-сликата (зависно-променливата)

Пред да дадеме начин на кој се пресметува првиот извод на имплицитната функција, да го дадеме следново важно тврдење:

Нека $A\subseteq {ℝ}^2$ е отворено множество, нека $(a,b)\in A$ и нека важи:

• $F:A\to ℝ$ е непрекината функција;

• $F(a,b)=0$;

• постојат парцијалните изводи: $\frac{\partial F}{\partial y}$ и $\frac{\partial F}{\partial x}$ истите се непрекинати на целото $A$;

• $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\ne 0$

Ако сите услови се исполнети, тогаш постои околина на точката $(a,b)$ на која е дефинирана и еднозначно определена функција $f$ која е непрекината и е таква што важи: $f(a)=b$ и (што е поважно) $F(x,f(x))=0$ за секој $x$ од таа околина. Поинаку кажано таквата функција $f$ претставува експлицитна (директна, очигледна, неприкриена) репрезентција на имплицитната функција $F$ на таа околина.

Сега, кога знаеме дека имплицитна функција може да се претстави преку експлицитна, барем на некоја околина, за изводот ќе имаме:

$f^{\prime }(x)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}$

Кружната единица може да се наведе како крива на ниво f (x, y) = 1 од функцијата f (x, y) = x2 + y2. Околу точката А, y може да се изрази како функција y (x). Во овој пример оваа функција може да биде напишана експлицитно како g1(x)=1=+\sqrt{1-x^2}</math>, во многу случаи не постои таков експлицитен израз, но сепак може да се повика на имплицитната функција y (x). Не постои таква функција околу точката Б

Пример

Нека е зададена имплицитна функција:

$F(x,y):x^2+y^2-1=0$

Тогаш:

• функцијата е непрекината за сите вредности на $x$ и $y$;

• постојат парцијалните изводи:

$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2x$

$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2y$

и тие се непрекинати за сите $x$ и $y$ и уште повеќе $\frac{\partial F}{\partial y}\ne 0$ за $y\ne 0$. Значи функцијата $F$ ги исполнува условите од претходното тврдење, па значи дека таа може експлицитно да се репрезентира. Нека оваа репрезентација ја означиме со зависно-променливата, т.е. со $y$. Тогаш за изводот имаме:

$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$

Од друга страна, пак, можеме да го направиме следново: бидејќи $F(x,y)=0$ имаме:

$x^2+y^2-1=0$, односно: $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

каде

$y_1=+\sqrt{1-x^2}$ и

$y_2=-\sqrt{1-x^2}$

се двете можни експлицитни репрезентации на имплицитната функција.

Тогаш изводот може да го пресметаме дирекно, како за експлицитна функција. Имаме:

• $y_1^{\prime }=(\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_1}$

• $y_2^{\prime }=(-\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=-\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{y_2}$

Значи, доколку може да ја утврдиме експлицитната репрезентација, изводот на имплицитната функција може да го пресметаме како извод на нејзината (или: нејзините) експлицитна репрезентација. Во пракса, кога експлицитната репрезентација е очигледна, почесто се употребува последниов начин.

Поврзано

• Уште примери (од статијата Диференцијално сметање)