Преглед на кодот на Интегрирање по делови

{{Без извори|датум=ноември 2009}}
{{Анализа}}
[[Image:Integration by parts v2.svg|thumb|280px |Графичко толкување на теоремата. Нацртаната крива е параметризирана од променливата t.]]
Интегрирање по делови, или уште '''парцијална интеграција''', во [[математика]]та еден од основните методи за решавање на [[Интегрално сметање|интеграли]]. Се применува, во слични облици, и кај определените и кај неопределените интеграли. Правилото всушност ги дава потребните услови за постоење на интегралот од производот на две [[Пресликување|функции]], како и начинот на негово пресметување, доколку тој секако постои.

== Парцијална интеграција кај неопределен интеграл ==
Формално тврдењето е следново: нека <math>\ f</math> и <math>\ g</math> се [[Диференцијално сметање|диференцијабилни функции]] на некој интервал. Ако функцијата <math>\ f^\prime(x)g(x)</math> има [[Интегрално сметање#Неопределен интеграл|примитивна функција]] на интервалот, тогаш и функцијата <math>\ f(x)g^\prime(x)</math> има примитивна функција на истиот интервал и важи:

: <math>\int f(x)g^\prime(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f^\prime(x)g(x)\,dx</math>

Ќе ја покажеме точноста: за [[Извод од производ|изводот од производот на функциите]] <math>\ f</math> и <math>\ g</math> имаме:
: <math>\left( f(x)g(x) \right)^\prime = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)</math>

односно:

: <math> f(x)g^\prime(x) = \left( f(x)g(x) \right)^\prime -  f^\prime(x)g(x)</math>

Ако го интегрираме равенството, заради својствата на интегрирањето имаме:

: <math>\int f(x)g^\prime(x)\,dx = \int \left[ \left( f(x)g(x) \right)^\prime -  f^\prime(x)g(x) \right]\,dx</math>

: <math>\int f(x)g^\prime(x)\,dx = \int \left( f(x)g(x) \right)^\prime\,dx -  \int f^\prime(x)g(x) \,dx</math>

Конечно:

: <math>\int f(x)g^\prime(x)\,dx = f(x)g(x) -  \int f^\prime(x)g(x) \,dx</math>

== Примери ==
: Видете ги примерите во статијата за [[Интегрално сметање#Неопределен интеграл#Примери|Интегрално сметање]].

== Парцијална интеграција кај определен интеграл ==
Формално тврдењето е следново: нека функциите <math>\ f</math> и <math>\ g</math> се глатки (имаат [[Непрекинатост на функција|непрекинат]] [[Диференцијално сметање|прв извод]]) на [[интервал]]от <math>[a,b]</math>. Тогаш точно е следново равенство:

: <math>\int_a^b f(x)g^\prime(x)\,dx = f(x)g(x)|_a^b - \int_a^b f^\prime(x)g(x)\,dx</math>

Доказот на ова тврдење е ист како кај неопределениот интеграл, со таа разлика што сега се земени предвид границите на интеграција.

== Примери ==
: Видете ги примерите во статијата за [[Интегрално сметање#Определен интеграл#Примери|Интегрално сметање]].

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]

[[es:Métodos de integración#Método de integración por partes]]