Интегрирање по делови

Графичко толкување на теоремата. Нацртаната крива е параметризирана од променливата t.

Интегрирање по делови, или уште парцијална интеграција, во математиката еден од основните методи за решавање на интеграли. Се применува, во слични облици, и кај определените и кај неопределените интеграли. Правилото всушност ги дава потребните услови за постоење на интегралот од производот на две функции, како и начинот на негово пресметување, доколку тој секако постои.

Парцијална интеграција кај неопределен интеграл

Формално тврдењето е следново: нека $f$ и $g$ се диференцијабилни функции на некој интервал. Ако функцијата $f^{\prime }(x)g(x)$ има примитивна функција на интервалот, тогаш и функцијата $f(x)g^{\prime }(x)$ има примитивна функција на истиот интервал и важи:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

Ќе ја покажеме точноста: за изводот од производот на функциите $f$ и $g$ имаме:

${(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

односно:

$f(x)g^{\prime }(x)={(f(x)g(x))}^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)$

Ако го интегрираме равенството, заради својствата на интегрирањето имаме:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=\int [{(f(x)g(x))}^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)]dx$

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=\int {(f(x)g(x))}^{\prime }dx-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

Конечно:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

Примери

Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање.

Парцијална интеграција кај определен интеграл

Формално тврдењето е следново: нека функциите $f$ и $g$ се глатки (имаат непрекинат прв извод) на интервалот $[a,b]$. Тогаш точно е следново равенство:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

Доказот на ова тврдење е ист како кај неопределениот интеграл, со таа разлика што сега се земени предвид границите на интеграција.

Примери

Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање.