Преглед на кодот на Квадратен корен од 3

{| class="infobox bordered" cellpadding="5"
| colspan="2" align="center" |<nowiki>Список на природни броеви | </nowiki>[[Ирационален број]]<div class="hlist">
* [[:en:Apéry's constant|( <span class="texhtml mvar">3</span> )]]
* [[:en:Square root of 2|<span class="nowrap">&#x221A; 2</span>]]
* [[:en:Square root of 3|<span class="nowrap">&#x221A; 3</span>]]
* [[:en:Square root of 5|<span class="nowrap">&#x221A; 5</span>]]
* [[:en:Golden ratio|<span class="texhtml mvar">φ</span>]]
* [[:en:E (mathematical constant)|<span class="texhtml mvar">д</span>]]
* [[:en:Pi|<span class="texhtml mvar">π</span>]]
</div>
|-
| [[Двоичен броен систем|Бинарен систем]]
| {{Празнини|1.1011|1011|0110|0111|1010|…}}
|-
| [[Десетичен броен систем|Децимален систем]]
| {{Празнини|1.73205|08075|68877|2935…}}
|-
| [[Шеснаесетеречен броен систем|Хексадецимален систем]]
| {{Празнини|1.BB67|AE85|84CA|A73B|…}}
|-
| Верижна дропка
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>
|}
'''Квадратен корен од 3''' — позитивен [[реален број]] кој, кога ќе се помножи со себе, го дава бројот [[3 (број)|3]]. Поточно, тој се нарекува '''главен квадратен корен од 3''', за да се разликува од негативниот број со исто својство. Се означува со '''{{Корен|3}}'''.

Квадратниот корен од 3 е [[ирационален број]]. Познат е и како '''Теодорова константа''', именувана по [[Теодор Киренски]], кој ја докажал неговата ирационалност.

Првите шеесет цифри од неговото децимално проширување се:
: {{Празнини|1,73205|08075|68877|29352|74463|41505|87236|69428|05253|81038|06280|5580…}} {{OEIS|id=A002194}}

Од декември 2013 година, нејзината бројна вредност во децимални броеви е пресметана најмалку на десет милијарди цифри.<ref>{{нмс|url=http://www.komsta.net/computations|title=Computations &#124; Łukasz Komsta|last=Łukasz Komsta|date=|website=komsta.net|access-date=24 септември 2016|archive-date=2016-11-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20161104012857/https://www.komsta.net/computations|url-status=dead}}</ref>

Дропката {{Ндроп|97|56}} ( {{Вред|1,732142857}}...) за [[квадратен корен]] од три може да се користи како приближна вредност. И покрај тоа што има [[Дропка|именител]] од само 56, тој се разликува од точната вредност за помалку од{{Ндроп|1|10.000}} (приближно {{val|9.2|e=-5}}). Заокружената вредност 1,732 е точна до 0,01% од стварната вредност.

[[Архимед]] пријавил {{Мат|<big><big>(</big></big>{{sfrac|1351|780}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}} > 3 > <big><big>(</big></big>{{sfrac|265|153}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}}}}<ref>{{Citation|last=Knorr|first=Wilbur R.|author-link=Wilbur Knorr|number=2|journal=Archive for History of Exact Sciences|jstor=41133444|mr=0497462|pages=115–140|title=Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|volume=15|year=1976|doi=10.1007/bf00348496}}.</ref> со точност од {{sfrac|1|608400}} (шест децимални места) и {{sfrac|2|23409}} (четири децимални места) соодветно.

Може да се изрази како [[верижна дропка]] {{Безпрелом|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} (низа [[А040001|A040001]] во Енциклопедија на низи цели броеви на мрежата), проширена на десната страна. Значи, точно е да се каже:

: <math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

тогаш кога <math>n\to\infty</math>:

: <math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

Може да се изрази преку обопштена верижна дропка како

: <math> [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}</math>

што е {{Безпрелом|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} оценето на секој друг член.

Следниве вгнездени низи квадратни изрази конвергираат кон {{Корен|3}}:

: <math> \!\ \sqrt{3} =2 - 2 \left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}- \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2= \frac{7}{4} - 4 \left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+\left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+ \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2. </math>

== Доказ на ирационалноста ==
Овој доказ за ирационалност за {{Корен|3}} го користи методот на [[Пјер де Ферма]] за бесконечно потекло:

Да претпоставиме дека {{Корен|3}} е рационален и да се изрази во најнизок можен начин (т.е. како целосно намалена дропка) како {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} за природните броеви {{Math|''m''}} и {{Math|''n''}}.

Затоа, множењето со 1 ќе даде израз еднаков на:

: <math>\frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}</math>

каде што {{Мпром|q}} е најголемиот цел број помал од {{Корен|3}}. Треба да се има на ум дека и броителот и именителот се множат со број помал од 1.

Користејќи го ова и множејќи ги и броителот и именителот, добиваме:

: <math>\frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

Следи дека {{Мат|''m''}} може да се замени со {{Мат|{{sqrt|3}}''n''}}:

: <math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

Потоа {{Корен|3}} може да се замени со {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} во именителот:

: <math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}</math>

Квадратот од {{Корен|3}} може да се замени со 3. Како {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} се множи со {{Math|''n''}}, нивниот производ еднаков е на {{Math|''m''}}:

: <math>\frac{3n-mq}{m-nq}</math>

Тогаш {{Корен|3}} може да се изрази со пониски изрази од {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} (бидејќи првиот чекор ги смали големините на броителот и именителот, а следните чекори не ги променија) како {{Math|{{sfrac|3''n'' − ''mq''|''m'' − ''nq''}}}}, што е спротивно на хипотезата дека {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} е најнизок.<ref name="Grant">{{Cite journal|last=Grant|first=M.|last2=Perella|first2=M.|date=јул 1999|title=Descending to the irrational|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/263|journal=Mathematical Gazette|volume=83|issue=497|pages=263–267|doi=10.2307/3619054}}</ref>

Алтернативен доказ за ова е претпоставката дека {{Мат|{{sqrt|3}} {{=}} {{sfrac|''m''|''n''}}}} со {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} потполно сведена дропка:

Со множење со {{Мат|''n''}} на двете страни, а потоа со квадрирање се добива:

: <math>3n^2=m^2.</math>

Бидејќи левата страна е делива со 3, така е и десната страна, што изискува {{Мат|''m''}} да се дели со 3. Тогаш {{Мат|''m''}} може да се изрази како {{Мат|3''k''}}:

: <math>3n^2=(3k)^2=9k^2</math>

Според тоа, со делење на двете страни со 3 се добива:

: <math>n^2=3k^2</math>

Бидејќи десната страна е делива со 3, таква е и левата страна, така што и {{Мат|''n''}} е делив со 3. Значи, бидејќи и {{Мат|''n''}} и {{Мат|''m''}} се делат со 3, тие имаат заеднички делител, и {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} не е потполно сведена дропка, што е спротивно на изворната премиса.

== Геометрија и тригонометрија ==
{{multiple image
| align = right
| total_width = 420
| image1 = 30-60-90.svg
| image2 = Root 3 Hexagon.svg
| footer = [[Висина на триаголник|Висината]] на [[рамностран триаголник]] со раб со должина 2 еднаква е на {{sqrt|3}}. <small>(Еквивалентно со подолгата [[катета]] на [[правоаголен триаголник|30-60-90 триаголник]] со [[хипотенуза]] еднаква на 2.</small>)
| direction = 
| alt1 = 
| caption1 = 
| caption2 = 
}}
[[Податотека:Square_root_of_3_in_cube.svg|мини|Дијагоналата на единичната коцка е {{Корен|3}} .]]
[[Податотека:Bilinski_dodecahedron,_ortho_matrix.png|мини|Оваа проекција на Билински на додекаедар е ромб со дијагонален однос {{Корен|3}}.]]
Квадратен корен од 3 може да се најде како должина на висината на [[рамностран триаголник]] со страна 2.

Должината на просторната [[дијагонала]] на [[Коцка|единична коцка]] е {{Корен|3}}.

Ако [[рамностран триаголник]] со страни со должина 1 се подели на два еднакви дела со делење на внатрешниот агол за да се направи прав агол со едната страна, правиот агол на [[хипотенуза]]та на триаголникот е со должина еден, а страните се со должина {{Ндроп|1|2}} и {{Ндроп|{{sqrt|3}}|2}} Од ова, тригонометриската функција на тангентата од 60° е еднаква на {{Корен|3}}, а синусот од 60° и косинусот од 30° се еднакви{{Ндроп|{{sqrt|3}}|2}}

Квадратниот корен од 3 се појавува и во алгебарските изрази за разни други тригонометриски константи, вклучувајќи го<ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and Cos in Surds]</ref> синусот од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° и 87°.

Тоа е растојанието помеѓу паралелните страни на правилен [[шестаголник]] со страни со должина 1. На [[комплексна рамнина]], тоа растојание е изразено како {{Мат|''i''{{sqrt|3}}}} споменато подолу.

Vesica piscis има однос на главната оска со помалата оска еднаков на 1: {{Корен|3}}, што може да се покаже со изградба на два рамнострани триаголници во неа.

=== Квадратен корен од −3 ===
Со [[множење]] на {{Корен|3}} со [[имагинарна единица]] се добива квадратен корен од [[3 (број)|-3]], што е [[имагинарен број]]. Поточно,

: <math>\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3}i</math>

(види [[Имагинарен број|квадратен корен на негативни броеви]]). Тоа е цел Ајзенштајнов број. Имено, тој се изразува како разлика на два нереални кубни корени од 1 (кои се Ајзенштајнови цели броеви).

== Други намени ==

=== Енергетика ===
Во [[електроенергетика]]та, напонот помеѓу две фази во трифазен систем е еднаков на {{Корен|3}} пати од линискиот неутрален напон. Тоа е затоа што било кои две фази се оддалечени 120°, а две точки на круг од 120 степени се одделени со {{Корен|3}} пати од полупречникот (види примери од геометрија погоре).

== Поврзано ==
* [[Квадратен корен од 2]]
* [[Квадратен корен од 5]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Литература ==
* {{наведено списание|last=S.|first=D.|last2=Jones|first2=M. F.|year=1968|title=22900D approximations to the square roots of the primes less than 100|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1968-01_22_101/page/234|journal=Mathematics of Computation|volume=22|issue=101|pages=234–235|doi=10.2307/2004806|jstor=2004806}}
* {{наведено списание|last=Uhler|first=H. S.|year=1951|title=Approximations exceeding 1300 decimals for {{sqrt|3}}, {{sfrac|1|{{sqrt|3}}}}, sin({{sfrac|{{pi}}|3}}) and distribution of digits in them|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|issue=7|pages=443–447|doi=10.1073/pnas.37.7.443|pmc=1063398|pmid=16578382}}
* {{наведена книга|title=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|last=Wells|first=D.|publisher=Penguin Group|year=1997|edition=Revised|location=London|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/23 23]}}

== Надворешни врски ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html Теодорова константа] на Math World 
* [http://www.mathpages.com/home/kmath038/kmath038.htm] Кевин Браун 
* [http://www.mth.kcl.ac.uk/staff/eb_davies/PDFfiles/209.pdf] Е.Б. Давис

[[Категорија:Алгебарски броеви]]
[[Категорија:Математички константи]]
[[Категорија:Ирационални броеви]]