Квадратен корен од 3

	Список на природни броеви \| Ирационален број ( 3 ); √ 2; √ 3; √ 5; φ; д; π;
Бинарен систем	Предлошка:Празнини
Децимален систем	Предлошка:Празнини
Хексадецимален систем	Предлошка:Празнини
Верижна дропка	1+11+12+11+12+11+⋱

Квадратен корен од 3 — позитивен реален број кој, кога ќе се помножи со себе, го дава бројот 3. Поточно, тој се нарекува главен квадратен корен од 3, за да се разликува од негативниот број со исто својство. Се означува со Предлошка:Корен.

Квадратниот корен од 3 е ирационален број. Познат е и како Теодорова константа, именувана по Теодор Киренски, кој ја докажал неговата ирационалност.

Првите шеесет цифри од неговото децимално проширување се:

Предлошка:Празнини Предлошка:OEIS

Од декември 2013 година, нејзината бројна вредност во децимални броеви е пресметана најмалку на десет милијарди цифри.^[1]

Дропката Предлошка:Ндроп ( Предлошка:Вред...) за квадратен корен од три може да се користи како приближна вредност. И покрај тоа што има именител од само 56, тој се разликува од точната вредност за помалку одПредлошка:Ндроп (приближно Предлошка:Val). Заокружената вредност 1,732 е точна до 0,01% од стварната вредност.

Архимед пријавил Предлошка:Мат^[2] со точност од Предлошка:Sfrac (шест децимални места) и Предлошка:Sfrac (четири децимални места) соодветно.

Може да се изрази како верижна дропка Предлошка:Безпрелом (низа A040001 во Енциклопедија на низи цели броеви на мрежата), проширена на десната страна. Значи, точно е да се каже:

\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} - 1

тогаш кога $n \to \infty$ :

\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} - 1

Може да се изрази преку обопштена верижна дропка како

[2; - 4, - 4, - 4, . . .] = 2 - \frac{1}{4 - \frac{1}{4 - \frac{1}{4 - ⋱}}}

што е Предлошка:Безпрелом оценето на секој друг член.

Следниве вгнездени низи квадратни изрази конвергираат кон Предлошка:Корен:

\sqrt{3} = 2 - 2 {(\frac{1}{2} - {(\frac{1}{2} - {(\frac{1}{2} - {(\frac{1}{2} - \dots)}^{2})}^{2})}^{2})}^{2} = \frac{7}{4} - 4 {(\frac{1}{16} + {(\frac{1}{16} + {(\frac{1}{16} + {(\frac{1}{16} + \dots)}^{2})}^{2})}^{2})}^{2} .

Доказ на ирационалноста

Овој доказ за ирационалност за Предлошка:Корен го користи методот на Пјер де Ферма за бесконечно потекло:

Да претпоставиме дека Предлошка:Корен е рационален и да се изрази во најнизок можен начин (т.е. како целосно намалена дропка) како Предлошка:Math за природните броеви Предлошка:Math и Предлошка:Math.

Затоа, множењето со 1 ќе даде израз еднаков на:

\frac{m (\sqrt{3} - q)}{n (\sqrt{3} - q)}

каде што Предлошка:Мпром е најголемиот цел број помал од Предлошка:Корен. Треба да се има на ум дека и броителот и именителот се множат со број помал од 1.

Користејќи го ова и множејќи ги и броителот и именителот, добиваме:

\frac{m \sqrt{3} - m q}{n \sqrt{3} - n q}

Следи дека Предлошка:Мат може да се замени со Предлошка:Мат:

\frac{n {\sqrt{3}}^{2} - m q}{n \sqrt{3} - n q}

Потоа Предлошка:Корен може да се замени со Предлошка:Math во именителот:

\frac{n {\sqrt{3}}^{2} - m q}{n \frac{m}{n} - n q}

Квадратот од Предлошка:Корен може да се замени со 3. Како Предлошка:Math се множи со Предлошка:Math, нивниот производ еднаков е на Предлошка:Math:

\frac{3 n - m q}{m - n q}

Тогаш Предлошка:Корен може да се изрази со пониски изрази од Предлошка:Math (бидејќи првиот чекор ги смали големините на броителот и именителот, а следните чекори не ги променија) како Предлошка:Math, што е спротивно на хипотезата дека Предлошка:Math е најнизок.^[3]

Алтернативен доказ за ова е претпоставката дека Предлошка:Мат со Предлошка:Math потполно сведена дропка:

Со множење со Предлошка:Мат на двете страни, а потоа со квадрирање се добива:

3 n^{2} = m^{2} .

Бидејќи левата страна е делива со 3, така е и десната страна, што изискува Предлошка:Мат да се дели со 3. Тогаш Предлошка:Мат може да се изрази како Предлошка:Мат:

3 n^{2} = (3 k)^{2} = 9 k^{2}

Според тоа, со делење на двете страни со 3 се добива:

n^{2} = 3 k^{2}

Бидејќи десната страна е делива со 3, таква е и левата страна, така што и Предлошка:Мат е делив со 3. Значи, бидејќи и Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се делат со 3, тие имаат заеднички делител, и Предлошка:Math не е потполно сведена дропка, што е спротивно на изворната премиса.

Геометрија и тригонометрија

Предлошка:Multiple image

Квадратен корен од 3 може да се најде како должина на висината на рамностран триаголник со страна 2.

Должината на просторната дијагонала на единична коцка е Предлошка:Корен.

Ако рамностран триаголник со страни со должина 1 се подели на два еднакви дела со делење на внатрешниот агол за да се направи прав агол со едната страна, правиот агол на хипотенузата на триаголникот е со должина еден, а страните се со должина Предлошка:Ндроп и Предлошка:Ндроп Од ова, тригонометриската функција на тангентата од 60° е еднаква на Предлошка:Корен, а синусот од 60° и косинусот од 30° се еднаквиПредлошка:Ндроп

Квадратниот корен од 3 се појавува и во алгебарските изрази за разни други тригонометриски константи, вклучувајќи го^[4] синусот од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° и 87°.

Тоа е растојанието помеѓу паралелните страни на правилен шестаголник со страни со должина 1. На комплексна рамнина, тоа растојание е изразено како Предлошка:Мат споменато подолу.

Vesica piscis има однос на главната оска со помалата оска еднаков на 1: Предлошка:Корен, што може да се покаже со изградба на два рамнострани триаголници во неа.