Преглед на кодот на Логичка операција

'''Логички оператор''' или '''логички сврзник''' — логичка константа која означува синтаксна операција на [[реченица (математичка логика)|реченици]], или пак симбол за таква операција, кој соодветствува на операција на [[логичка вредност|логичките вредности]] на тие реченици.

На пример двете реченици: „Врне“ и „Внатре сум“, може да се комбинираат со разни сврзници за да се добијат следниве сложени реченици:

:* Не врне, па внатре сум.
:* Врне и внатре сум.
:* Ако врне, тогаш внатре сум.

{{columns
|width=270px
|col1 =
Основните логички оператори се :

* [[негација|Негација (не)]] (¬ или ~)
* [[логичка конјункција|Конјукнција (и)]] (<math>\wedge</math> или &)
* [[логичка дисјункција|Дисјункција (или)]] (<math>\vee</math>)
* [[материјална импликација|Материјална импликација (ако...тогаш)]] (<math>\rightarrow</math>, <math>\Rightarrow</math> или <math>\supset</math>)
* [[логички двоуслов|Двоуслов (ЕКСНИЛИ)]] (<math>\equiv</math> или <math>\leftrightarrow</math>)

|col2 =
Еве некои други:
* [[Исклучителна дисјункција|Исклучителна дисјункција (илли)]] (<math>\not\equiv</math>)
* [[Заедничка негација|Заедничка негација (акко)]] (↓)
* [[Шеферова црта|Алтернативна негација (ни)]] (↑)
* [[Материјална неимпликација]] (⊅)
* [[Спротивна неимпликација]] (⊄)
* [[Спротивна импликација]] (⊂)
* [[Тавтологија (логика)|Тавтологија]] (<math>\top</math>)
* [[Контрадикција]] (<math>\bot</math>)
}}

== Дефиниции ==

=== Таблици ===

<center>
{| border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="text-align:center;"
|+ '''16-те бинарни логички оператори можат да се дефинираат со [[вистинитосна таблица|вистинитосни таблици]] вака:'''
! style="width:35px;background:#aaaaaa;" | p
! style="width:35px;background:#aaaaaa;" | q
! style="width:35px" | т
! style="width:35px" | ↑
! style="width:35px" | →
! style="width:35px" | ~p
! style="width:35px" | ←
! style="width:35px" | ~q
! style="width:35px" | <math>\equiv</math>
! style="width:35px" | ↓
! style="width:35px" | ∨
! style="width:35px" | <math>\not\equiv</math>
! style="width:35px" | q
! style="width:35px" | ⊄
! style="width:35px" | p
! style="width:35px" | ⊅
! style="width:35px" | &
! style="width:35px" | ⊥
|-
| т || т || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥ || т || ⊥
|-
| т || ⊥ || т || т || ⊥ || ⊥ || т || т || ⊥ || ⊥ || т || т || ⊥ || ⊥ || т || т || ⊥ || ⊥
|-
| ⊥ || т || т || т || т || т || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥ || т || т || т || т || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥  
|-
| ⊥ || ⊥ || т || т || т || т || т || т || т || т || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥ || ⊥
|}
</center>

=== Множества ===

Логичките оператори можат да се изразат преку множества (каде '''∅''' е [[празно множество]]):

{| border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="text-align:center"
|+ '''Можествени дефиниции за логички оператори [http://commons.wikimedia.org/w/thumb.php?f=Logical%20connectives%20Hasse%20diagram.svg&width=1000px *]'''
! style="width:700px" | 
! style="width:700px" | 
|-
| '''∅''' - Контрадикција (<math>\bot</math>) || '''{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } }''' - Тавтологија (<math>\top</math>) || 
|-
|-
| '''{''' '''∅''' '''}''' - НИЛИ (↓) || '''{ { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } }''' - ИЛИ (<math>\vee</math>) ||
|-
|-
| '''{ { ∅ } }''' - Материјална неимпликација (⊅) || '''{ ∅ , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } }''' - Материјална импликација (⊃) ||
|-
|-
| '''{''' '''∅''', '''{''' '''∅''' '''}''' '''}''' - Не q || '''{ { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } }''' - q ||
|-
|-
| '''{ { { ∅ } } }''' - Спротивна неимпликација (⊄) || '''{ ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } }''' - Спротивна импликација (⊂) ||
|-
|-
| '''{ ∅ , { { ∅ } } }''' - Не p || '''{ { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } }''' - p  ||
|-
|-
| '''{ { ∅ } , { { ∅ } } }''' - Исклучителна дисјункција (<math>\not\equiv</math>) || '''{ ∅ , { ∅ , { ∅ } } }''' - Двоуслов (<math>\equiv</math>) ||
|-
|-
| '''{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } }'''  - НИ (↑ или <nowiki>|</nowiki>) || '''{ { ∅ , { ∅ } } }''' - Конјункција  (<math>\land</math>) ||
|-
|}

=== Венови дијаграми ===

Бинарните логички оператори можат да се изразат по пат на [[Венов дијаграм|Венови дијаграми]].

{| style="margin: 0 auto;"
|-
|<imagemap>
Image:Logical connectives table.svg|380px
rect 399 2 542 39 [[вистинитосна таблица|влез A]]
rect 400 39 540 73 [[вистинитосна таблица|влез B]]
rect 400 128 542 706 [[вистинитосна таблица|излез f(A,B)]]
rect 3 128 398 163 [[Контрадикција|X и ¬X]]
rect 3 162 398 199 [[Логичка конјункција|A и B]]
rect 3 198 398 235 [[Обратна неимпликација|¬A и B]]
rect 4 234 399 273 [[Исказ|B]]
rect 3 273 398 309 [[Материјална неимпликација|A и ¬B]]
rect 2 308 397 344 [[Исказ|A]]
rect 2 344 396 379 [[Исклучителна дисјункција|A илли B]]
rect 2 379 397 415 [[Логичка дисјункција|A или B]]
rect 3 419 396 454 [[Заедничка негација|¬A и ¬B]]
rect 3 453 395 489 [[Материјално двоуслов|A екснили B]]
rect 3 489 396 525 [[Негација|¬A]]
rect 3 525 396 560 [[Материјална импликација|¬A или B]]
rect 3 563 397 601 [[Негација|¬B]]
rect 2 600 395 636 [[Обратна импликација|A или ¬B]]
rect 2 634 398 671 [[Шеферова црта|¬A или ¬B]]
rect 3 670 397 706 [[Тавтологија (логика)|X или ¬X]]
desc none
</imagemap>
|width="50pt"|
|<imagemap>
Image:Logical connectives Hasse diagram.svg|350px
rect 326 28 416 200 [[Тавтологија (логика)|X или ¬X]]
rect 81 233 166 409 [[Шеферова црта|¬A или ¬B]]
rect 260 231 349 409 [[Обратна импликација|A или ¬B]]
rect 393 230 481 409 [[Материјална импликација|¬A или B]]
rect 574 232 663 408 [[Логичка дисјункција|A или B]]
rect 13 436 103 617 [[Негација|¬B]]
rect 147 438 235 617 [[Негација|¬A]]
rect 279 440 368 616 [[Исклучителна дисјункција|A илли B]]
rect 375 440 464 617 [[Логички двоуслов|A xnor B]]
rect 507 439 595 617 [[Исказ|A]]
rect 639 438 732 617 [[Исказ|B]]
rect 79 647 168 826 [[Заедничка негација|¬A и ¬B]]
rect 260 647 349 826 [[Материјална неимпликација|A и ¬B]]
rect 392 646 482 826 [[Обратна неимпликација|¬A и B]]
rect 574 646 663 826 [[Логичка конјункција|A и B]]
rect 327 853 417 1035 [[Контрадикција|X и ¬X]]
desc none
</imagemap>
|-
| align="left"|<small>[[:Податотека:Logical connectives table.svg|<span style="color:#aaaaaa;">(слика)</span>]]</small>  ||   ||  align="right"| <small>[[:Податотека:Logical connectives Hasse diagram.svg|<span style="color:#aaaaaa;">(слика)</span>]] [http://commons.wikimedia.org/w/thumb.php?f=Logical%20connectives%20Hasse%20diagram.svg&width=1000px <span style="color:#aaaaaa;">(приближи)</span>]</small>
|}
{{clear}}

Забележете ја сличноста помеѓу знаците „и“ (<math>\wedge</math>) и [[пресек (теорија на множествата)|пресек на множество]] (<math>\cap</math>); така е и за „или“ (<math>\vee</math>) и [[унија (теорија на множества)|унија на множества]] (<math>\cup</math>). Ова не е случајно: дефиницијата на пресекот користи „и“, а дефиницијата на унијата користи „или“.

== Функционална потполност ==

{{mainarticle|Функционална потполност}}

Не сите овие оператори се неопходни за [[функционална потполност|функционално потполна]] логичка анализа. Извесни сложени искази се [[логичка еквиваленција|логички еквивалентни]].
На пример, ¬''P'' ∨ ''Q'' е логички еквивалентно на ''P'' → ''Q'';.
Така, кондиционалниот оператор "→" не е потребен ако имаме "¬" (не) и "∨" (или).

најмалото множество на оператори кое сепа го искажува секој исказ кој може да се изрази во [[исказна анализа|исказната анализа]] се нарекува минимално функционално потполно множество. Минимално потполно множество од оператори се постогнува само со НИ '''{'''&nbsp;'''↓'''&nbsp;'''}''' и само со НИЛИ '''{'''&nbsp;'''↑'''&nbsp;'''}'''.

Сите и само следниве се функционално потполни множества на оператори:

'''{'''&nbsp;'''↓'''&nbsp;'''}''', '''{'''&nbsp;'''↑'''&nbsp;'''}''', '''{'''&nbsp;'''<math>\rightarrow</math>''',&nbsp;'''<math>\neg</math>'''&nbsp;'''}''', '''{'''&nbsp;'''<math>\rightarrow</math>''',&nbsp;'''<math>\not\equiv</math>'''&nbsp;'''}''', '''{'''&nbsp;'''<math>\neg</math>''',&nbsp;'''⊂'''&nbsp;'''}''', 
'''{'''&nbsp;'''<math>\rightarrow</math>''',&nbsp;'''⊄'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''<math>\vee</math>''',&nbsp;'''<math>\neg</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''<math>\rightarrow</math>''',&nbsp;'''⊅'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊄''',&nbsp;'''<math>\neg</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊂''',&nbsp;'''<math>\not\equiv</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊅''',&nbsp;'''<math>\neg</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊂''',&nbsp;'''⊄'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''<math>\wedge</math>''',&nbsp;'''<math>\neg</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊂''',&nbsp;'''⊅'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''<math>\bot</math>''',&nbsp;'''<math>\rightarrow</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊄''',&nbsp;'''<math>\equiv</math>'''&nbsp;'''}''',
'''{'''&nbsp;'''⊅''',&nbsp;'''<math>\equiv</math>'''&nbsp;'''}'''

== Својства ==
Секој логички оператор (сврзник) има свој збир својства кои можат да се изразат преку теоремите кои ги содржат операторите. Некои од овие може да бидат:

* [[Асоцијативност]]: Во рамките на еден израз кој содржи два или повеќе исти асоцијативни оператори во низа, редот на оперирање не е важен сѐ додека редот на операндите е непроменет.
* [[Комутативност]]: Секој пар променливи сврзан со операторот може да се размени меѓусебно без да ја погоди вистинитоста на изразот.
* [[Дистрибутивност]]:
* [[Идемпотенција]]:
* [[Апсорпција]]:

[[Функционална потполност|Функционално потполно]] множество на оператори содржи барем еден член кому му недостасуваат следниве пет својства:

* '''[[Монотона функција|монотоност]]''': Ако f(a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub>) ≤ f(b<sub>1</sub>, ... , b<sub>n</sub>) за сите a<sub>1</sub>, ... , a<sub>n</sub> <math>\in</math> {0,1} така што a<sub>1</sub> ≤ b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> ≤ b<sub>2</sub>, ... , a<sub>n</sub> ≤ b<sub>n</sub> '''{''' '''<math>\vee</math>''', '''<math>\wedge</math>''', '''<math>\top</math>''', '''<math>\bot</math>''' '''}'''
* '''[[Линеарна логика|линеарност]]''': Секоја променлива секогаш ја менува точноста ([[вистинитост]]а) на операцијата или никогаш не прави разлика '''{''' '''<math>\neg</math>''', '''<math>\equiv</math>''',  '''<math>\not\equiv</math>''', '''<math>\top</math>''', '''<math>\bot</math>''' '''}'''
* '''самодвојност''': За читање на дадените точности на операцијата од горе надолу на нејзината [[вистинитосна таблица]] е исто што и земање на комплиментот читајќи ги од долу нагоре. '''{''' '''<math>\neg</math>''' '''}'''
* '''запазување на точност''': Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена [[логичка вредност|логички вредности]] како 'точно' дава логичка вредност 'точно' како резултат на овие операции. '''{''' '''<math>\vee</math>''', '''<math>\wedge</math>''', '''<math>\top</math>''', '''<math>\rightarrow</math>''', '''<math>\equiv</math>''', '''⊂''' '''}'''
* '''запазување на неточност''': Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена [[логичка вредност|логички вредности]] како 'неточно' дава логичка вредност 'неточно' како резултат на овие операции. '''{''' '''<math>\vee</math>''', '''<math>\wedge</math>''', '''<math>\not\equiv</math>''', '''<math>\bot</math>''', '''⊄''', '''⊅''' '''}'''

== Арност ==

{{mainarticle|Арност}}

Во двовредносната логика постојат 4 [[унарна операција|унарни оператори]], 16 [[бинарна операција|бинарни оператори]] и 256 [[тројна операција|тројни оператори]]. Во тровреднсната логика постојат 9 [[унарна операција|унарни оператори]], 19683 [[бинарна операција|бинарни оператори]] и 7625597484987 [[тројна операција|тројни оператори]].

[[Негација|„Не“]] е [[унардна операција|унарен оператор]] и се состои од еден поим (¬''P''). Остатокот се [[бинарна операција|бинарни оператори]], кои се состојат од два поима (''P'' <math>\wedge</math> ''Q'', ''P'' <math>\vee</math> ''Q'', ''P'' → ''Q'', ''P'' ↔ ''Q'').

Множеството логички оператори <math>\Omega\!</math> може да се [[поделба|раздели]] на раздвоени подмножества вака:

::: <math>\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m \,.</math>

Оваа разделба, <math>\Omega_j\!</math> има множество од операциони знаци на ''[[арност]]'' <math>j\!</math>.

Во исказните анализи, <math>\Omega\!</math> обично серазделува вака:

:::нуларни оператори: <math>\Omega_0 = \{\bot, \top \} \,</math>

:::унарни оператори: <math>\Omega_1 = \{ \lnot \} \,</math>

:::бинарни оператори: <math>\Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \} \,</math>

== Првенствен ред ==
За намалување на бројот на неопходни загради можеме да воведеме правила за првенство (предност): ¬ има предност над ∧, ∧ има предност над ∨ а ∨ има предност над →. На пример, ''P'' ∨ ''Q'' ∧ ¬''R'' → ''S'' е скратено од (''P'' ∨ (''Q'' ∧ (¬''R''))) → ''S''.

Еве таблица на која е прикажано првенството на логичките оператори.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! ''Оператор'' !! ''Првенство'' 
|-
| '''¬''' || '''1''' 
|-
| '''<math>\wedge</math>''' || '''2''' 
|-
| '''<math>\vee</math>''' || '''3''' 
|-
| '''→''' || '''4''' 
|-
| '''↔''' || '''5''' 
|}

Редот на првенство одредува кој „главен сврзник“ при толкување на молекуларна формула.

== Наводи ==
* [http://plato.stanford.edu/entries/logical-constants/ Статија за логичките константи] на [[Стенфордска енциклопедија на филозофијата|Стенфордската енциклопедија на филозофијата]] {{en}}

== Поврзано ==

{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[Модален оператор]]
* [[Закони на логиката]]
* [[Логичка вредност]]
* [[Булов домен]]
* [[Булова функција]]
* [[Булово-вреднувана функција]]
* [[Битова операција]]
{{col-break}}
* [[Теми во Буловата алгебра]]
* [[Исказна анализа]]
* [[Логички знаци]]
{{col-end}}

{{Портал|Логика}}
{{Logical Operators}}
{{Logic}}

[[Категорија:Логички сврзници| ]]
[[Категорија:Булова алгебра]]
[[Категорија:Логика|Операција]]