Логичка операција

Логички оператор или логички сврзник — логичка константа која означува синтаксна операција на реченици, или пак симбол за таква операција, кој соодветствува на операција на логичките вредности на тие реченици.

На пример двете реченици: „Врне“ и „Внатре сум“, може да се комбинираат со разни сврзници за да се добијат следниве сложени реченици:

Не врне, па внатре сум.
Врне и внатре сум.
Ако врне, тогаш внатре сум.

Предлошка:Columns

Дефиниции

Таблици

**16-те бинарни логички оператори можат да се дефинираат со вистинитосни таблици вака:**
p	q	т	↑	→	~p	←	~q	$\equiv$	↓	∨	$\equiv̸$	q	⊄	p	⊅	&	⊥
т	т	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥
т	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥
⊥	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥
⊥	⊥	т	т	т	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥

Множества

Логичките оператори можат да се изразат преку множества (каде ∅ е празно множество):

Можествени дефиниции за логички оператори *

∅ - Контрадикција ( $⊥$ )	{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Тавтологија ( $⊤$ )
{ ∅ } - НИЛИ (↓)	{ { ∅ } , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - ИЛИ ( $\lor$ )
{ { ∅ } } - Материјална неимпликација (⊅)	{ ∅ , { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - Материјална импликација (⊃)
{ ∅, { ∅ } } - Не q	{ { { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } } } - q
{ { { ∅ } } } - Спротивна неимпликација (⊄)	{ ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - Спротивна импликација (⊂)
{ ∅ , { { ∅ } } } - Не p	{ { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } - p
{ { ∅ } , { { ∅ } } } - Исклучителна дисјункција ( $\equiv̸$ )	{ ∅ , { ∅ , { ∅ } } } - Двоуслов ( $\equiv$ )
{ ∅ , { ∅ } , { { ∅ } } } - НИ (↑ или \|)	{ { ∅ , { ∅ } } } - Конјункција ( $\land$ )

Венови дијаграми

Бинарните логички оператори можат да се изразат по пат на Венови дијаграми.

<imagemap> Image:Logical connectives table.svg\|380px rect 399 2 542 39 влез A rect 400 39 540 73 влез B rect 400 128 542 706 излез f(A,B) rect 3 128 398 163 X и ¬X rect 3 162 398 199 A и B rect 3 198 398 235 ¬A и B rect 4 234 399 273 B rect 3 273 398 309 A и ¬B rect 2 308 397 344 A rect 2 344 396 379 A илли B rect 2 379 397 415 A или B rect 3 419 396 454 ¬A и ¬B rect 3 453 395 489 A екснили B rect 3 489 396 525 ¬A rect 3 525 396 560 ¬A или B rect 3 563 397 601 ¬B rect 2 600 395 636 A или ¬B rect 2 634 398 671 ¬A или ¬B rect 3 670 397 706 X или ¬X desc none </imagemap>		<imagemap> Image:Logical connectives Hasse diagram.svg\|350px rect 326 28 416 200 X или ¬X rect 81 233 166 409 ¬A или ¬B rect 260 231 349 409 A или ¬B rect 393 230 481 409 ¬A или B rect 574 232 663 408 A или B rect 13 436 103 617 ¬B rect 147 438 235 617 ¬A rect 279 440 368 616 A илли B rect 375 440 464 617 A xnor B rect 507 439 595 617 A rect 639 438 732 617 B rect 79 647 168 826 ¬A и ¬B rect 260 647 349 826 A и ¬B rect 392 646 482 826 ¬A и B rect 574 646 663 826 A и B rect 327 853 417 1035 X и ¬X desc none </imagemap>
(слика)		(слика) (приближи)

Предлошка:Clear

Забележете ја сличноста помеѓу знаците „и“ ( $\land$ ) и пресек на множество ( $\cap$ ); така е и за „или“ ( $\lor$ ) и унија на множества ( $\cup$ ). Ова не е случајно: дефиницијата на пресекот користи „и“, а дефиницијата на унијата користи „или“.

Функционална потполност

Предлошка:Mainarticle

Не сите овие оператори се неопходни за функционално потполна логичка анализа. Извесни сложени искази се логички еквивалентни. На пример, ¬P ∨ Q е логички еквивалентно на P → Q;. Така, кондиционалниот оператор "→" не е потребен ако имаме "¬" (не) и "∨" (или).

најмалото множество на оператори кое сепа го искажува секој исказ кој може да се изрази во исказната анализа се нарекува минимално функционално потполно множество. Минимално потполно множество од оператори се постогнува само со НИ { ↓ } и само со НИЛИ { ↑ }.

Сите и само следниве се функционално потполни множества на оператори:

{ ↓ }, { ↑ }, { $\to$ , $\neg$ }, { $\to$ , $\equiv̸$ }, { $\neg$ , ⊂ }, { $\to$ , ⊄ }, { $\lor$ , $\neg$ }, { $\to$ , ⊅ }, { ⊄, $\neg$ }, { ⊂, $\equiv̸$ }, { ⊅, $\neg$ }, { ⊂, ⊄ }, { $\land$ , $\neg$ }, { ⊂, ⊅ }, { $⊥$ , $\to$ }, { ⊄, $\equiv$ }, { ⊅, $\equiv$ }

Својства

Секој логички оператор (сврзник) има свој збир својства кои можат да се изразат преку теоремите кои ги содржат операторите. Некои од овие може да бидат:

Асоцијативност: Во рамките на еден израз кој содржи два или повеќе исти асоцијативни оператори во низа, редот на оперирање не е важен сѐ додека редот на операндите е непроменет.
Комутативност: Секој пар променливи сврзан со операторот може да се размени меѓусебно без да ја погоди вистинитоста на изразот.
Дистрибутивност:
Идемпотенција:
Апсорпција:

Функционално потполно множество на оператори содржи барем еден член кому му недостасуваат следниве пет својства:

монотоност: Ако f(a₁, ... , a_n) ≤ f(b₁, ... , b_n) за сите a₁, ... , a_n $\in$ {0,1} така што a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ... , a_n ≤ b_n { $\lor$ , $\land$ , $⊤$ , $⊥$ }
линеарност: Секоја променлива секогаш ја менува точноста (вистинитоста) на операцијата или никогаш не прави разлика { $\neg$ , $\equiv$ , $\equiv̸$ , $⊤$ , $⊥$ }
самодвојност: За читање на дадените точности на операцијата од горе надолу на нејзината вистинитосна таблица е исто што и земање на комплиментот читајќи ги од долу нагоре. { $\neg$ }
запазување на точност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'точно' дава логичка вредност 'точно' како резултат на овие операции. { $\lor$ , $\land$ , $⊤$ , $\to$ , $\equiv$ , ⊂ }
запазување на неточност: Толкувањето кај кое сите променливи имаат зададена логички вредности како 'неточно' дава логичка вредност 'неточно' како резултат на овие операции. { $\lor$ , $\land$ , $\equiv̸$ , $⊥$ , ⊄, ⊅ }

Арност

Предлошка:Mainarticle

Во двовредносната логика постојат 4 унарни оператори, 16 бинарни оператори и 256 тројни оператори. Во тровреднсната логика постојат 9 унарни оператори, 19683 бинарни оператори и 7625597484987 тројни оператори.

„Не“ е унарен оператор и се состои од еден поим (¬P). Остатокот се бинарни оператори, кои се состојат од два поима (P $\land$ Q, P $\lor$ Q, P → Q, P ↔ Q).

Множеството логички оператори $Ω$ може да се раздели на раздвоени подмножества вака:

Ω = Ω_{0} \cup Ω_{1} \cup \dots \cup Ω_{j} \cup \dots \cup Ω_{m} .

Оваа разделба, $Ω_{j}$ има множество од операциони знаци на арност $j$ .

Во исказните анализи, $Ω$ обично серазделува вака:

нуларни оператори:

Ω_{0} = {⊥, ⊤}

унарни оператори:

Ω_{1} = {\neg}

бинарни оператори:

Ω_{2} \subseteq {\land, \lor, \to, \leftrightarrow}

Првенствен ред

За намалување на бројот на неопходни загради можеме да воведеме правила за првенство (предност): ¬ има предност над ∧, ∧ има предност над ∨ а ∨ има предност над →. На пример, P ∨ Q ∧ ¬R → S е скратено од (P ∨ (Q ∧ (¬R))) → S.

Еве таблица на која е прикажано првенството на логичките оператори.

Оператор	Првенство
¬	1
$\land$	2
$\lor$	3
→	4
↔	5

Редот на првенство одредува кој „главен сврзник“ при толкување на молекуларна формула.

Наводи

Статија за логичките константи на Стенфордската енциклопедија на филозофијата Предлошка:En

Поврзано

Предлошка:Col-begin Предлошка:Col-break

Предлошка:Col-break

Предлошка:Col-end

Предлошка:Портал Предлошка:Logical Operators Предлошка:Logic

Логичка операција

Содржина

Дефиниции

Таблици

Множества

Венови дијаграми

Функционална потполност

Својства

Арност

Првенствен ред

Наводи

Поврзано

Прегледник

p	q	т	↑	→	~p	←	~q	$\equiv$	↓	∨	$\equiv̸$	q	⊄	p	⊅	&	⊥
т	т	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥
т	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥
⊥	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥
⊥	⊥	т	т	т	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥

p	q	т	↑	→	~p	←	~q	$\equiv$	↓	∨	$\equiv̸$	q	⊄	p	⊅	&	⊥
т	т	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥
т	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥
⊥	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥
⊥	⊥	т	т	т	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥

Логичка операција

Дефиниции

Таблици

Множества

Венови дијаграми

Функционална потполност

Својства

Арност

Првенствен ред

Наводи

Поврзано

Прегледник

Пребарај

p	q	т	↑	→	~p	←	~q	$\equiv$	↓	∨	$\equiv̸$	q	⊄	p	⊅	&	⊥
т	т	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥	т	⊥
т	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥	т	т	⊥	⊥
⊥	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥
⊥	⊥	т	т	т	т	т	т	т	т	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥	⊥