Преглед на кодот на Непрекинатост на функција

{{Анализа}}

Во [[математика]]та, концепт, или поточно, својство кое ги опишува [[Пресликување|функциите]] и нивното однесување во [[точка]] или [[Интервал|околина]]. Тесно поврзан со поимот на непрекинатост е поимот [[гранична вредност на функција]] (лимес).

Структурно, концептот на непрекинатост на функција претставува своевиден вовед во {{Уникод|ε}}-{{Уникод|δ}} ('''''ипсилон-делта''''') излагањето на [[Математичка анализа|математичката анализа]], практика која понатаму се обопштува на широка палета поими.

Изучувањето на непрекинатоста и непрекинатите пресликувања е од клучно значење за природните и техиничките науки зашто процесите во природата се одвиваат непрекнато.

== Дефиниција ==
Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар [[Огистен Луј Коши]]. Неговата [[дефиниција]] е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:

Нека е даден [[интервал]] <math>\ [a,b]</math> и функција <math>\ f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> определена (дефинирана) на него. Да избереме точка <math>\ u \in [a,b]</math>. Тогаш:

Фунцијата <math>\ f</math> е непрекината во точката <math>\ u \in [a,b]</math> ако <math>\forall \epsilon >0, \,\,\ </math> <math>\exists \delta >0</math> така што за секој <math>\ x \in [a,b]</math> за кој важи:


: <math>\left| x-u \right| < \delta </math> важи и <math> \left| f(x)-f(u) \right| < \epsilon </math>


Со строга [[математичка нотација]]:


{|
<div class="messagebox" style="text-align:center"><math>\ f</math> е непрекината во <math>\ u \in [a,b]</math> ако <math>\left( \forall \epsilon >0 \right), \left( \exists \delta >0 \right)</math> така што <br /> <math>\ \left| x-u \right| \Rightarrow \left| f(x)-f(u) \right| < \epsilon</math></div>
|}


[[Податотека:Neprekinatost01.PNG|right|250px|Визуелизација на концептот на непрекинатост]]
Практично, тоа е следново: имаме интервал - <math>\ [a,b]</math>, функција дефинирана на тој интервал - <math>\ f</math> и произволна точка од тој интервал - <math>\ u \in [a,b]</math>. Фунцијата <math>\ f</math> ќе биде непрекината во избраната точка ако: за секоја позитивна вредност - <math>\epsilon >0</math>, постои друга позитивна вредност <math>\delta >0, \delta=\delta(\epsilon)</math> - зависна од првата таква што сликата на интервалот <math>\ (u-\delta,u+\delta)</math> е подмножество од интервалот <math>\ (f(u)-\epsilon,f(u)+\epsilon)</math>, т.е.
: <math>f\left( (u-\delta,u+\delta) \right) \subseteq \left( f(u)-\epsilon,f(u)+\epsilon \right)</math>

Ако функција '''не е непрекината''' во точка, тогаш велиме дека функцијата '''има прекин''' во таа точка.

Алтернативна дефиниција на непрекинатоста, со помош на лимеси, дал [[Едуард Хајне|Хајне]]: функцијата <math>\ f</math> е непрекината во точката <math>\ x_0</math> ако за секоја [[низа]] <math>(x_n)</math> од <math>\lim_{n \to \infty} x_n=x_0</math> следи:

: <math> \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)</math>

Оваа дефиниција е далеку попрактична од Кошиевата, но сепак зависи од [[дефиниција]]та и својствата на друг поим: [[низа]] реални броеви.

== Примери ==
Ќе се послужиме со дефиницијата на непрекинатост за да испитаме непрекинатост на функција во точка.

* '''Пример 1:''' да се испита непрекинатоста на функцијата <math>\ f(x)=\sqrt{x}</math><br />
За функцијата да е непрекината во точката <math>\ u</math> мора за секој <math>\epsilon>0</math> да постои вредност <math>\delta>0</math>, која зависи од изборот на <math>\epsilon</math> и точката <math>\ u</math>, таква што за секој <math>\ x \in (u-\delta,u+\delta) \Leftrightarrow |x-u|<\delta</math> истовремено важи <math>\ f(x) \in (f(u)-\epsilon,f(u)+\epsilon) \Leftrightarrow |f(x)-f(u)|<\epsilon</math>.

Нека <math>\epsilon>0</math> го избереме произволно и нека за некое <math>\delta>0</math> (чија зависност од <math>\epsilon</math> и <math>\ u</math> треба да ја определиме!!!) е исполнето:

: <math>\ |x-u|<\delta</math>

Тогаш следи:

: <math>\ |f(x)-f(u)|=|\sqrt{x}-\sqrt{u}|= \left| \frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{1} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{u}}{\sqrt{x}+\sqrt{u}} \right| = </math>

:: <math>\left| \frac{x-u}{\sqrt{x}+\sqrt{u}} \right| = \frac{|x-u|}{|\sqrt{x}+\sqrt{u}|} \le \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta}{\sqrt{u}}</math>

Ако сега, бидејќи <math>\epsilon</math> е произволен, вредноста на <math>\delta</math> ја определиме како: <math>\delta=\epsilon\sqrt{u}</math> тогаш важи:

: <math>\ |x-u|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(u)|<\frac{\delta}{\sqrt{u}}=\frac{\epsilon\sqrt{u}}{\sqrt{u}}=\epsilon</math>

од каде следи дека функцијата <math>f(x)=\sqrt{x}</math> е непрекината во сите точки во кои е дефинирана, освен, можеби, во нулата.

* '''Пример 2:''' да се испита непрекинатост на функцијата на [[Петер Густав Лежен Дирихле|Дирихле]] која е зададена како:
: <math>
D(x) = 
\begin{cases} 
  1,  & x \in \mathbb{Q} \\
  -1, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
</math>

Ќе разгледаме два случаја. Од [[Математичка логика|математичката логика]] го имаме следново:

За функција да '''не е''' непрекината во точка <math>\ u</math> треба '''да постои''' <math>\epsilon>0</math> таков што '''за секој''' <math>\delta>0</math> за кој важи <math>\ |x-u|<\delta</math>, важи и <math>\ |D(x)-D(u)|\ge \epsilon</math>

'''Прв случај:''' нека <math>\ u \in \mathbb{Q}</math>, нека избереме <math>\epsilon=1</math> и нека <math>\delta>0</math> e произволно. Тогаш постои ирационална точка <math>x \in (u-\delta,u+\delta)</math> т.е. [[ирационален број]] <math>\ x</math> за кој е исполнето <math>\ |x-u|<\delta</math>. Но тогаш следи:

: <math>\ |D(x)-D(u)|=|1-(-1)|=2>\epsilon</math>

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки

'''Втор случај:''' постапката е слична како претходната: нека <math>\ u \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math>, нека избереме <math>\epsilon=1</math> и нека <math>\delta>0</math> e произволно. Тогаш постои рационална точка <math>x \in (u-\delta,u+\delta)</math> т.е. рационален број <math>\ x</math> за кој е исполнето <math>\ |x-u|<\delta</math>. Но тогаш следи:

: <math>\ |D(x)-D(u)|=|-1-1|=2>\epsilon</math>

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) и во сите ирационални точки. 
Тогаш можеме да заклучиме дека '''функцијата на Дирихле има прекин во сите точки од својата дефинициона област.'''

== Рамномерна непрекинатост ==
{{главна|Рамномерна непрекинатост}}
Во [[Математичка анализа|математичката анализа]] се јавува уште еден поим: ''рамномерна непрекинатост на функција''. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.

Нека <math>\ f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>. За функцијата <math>\ f</math> се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако: за секој <math>\epsilon>0</math>, постои <math>\delta>0</math> така што за сите точки <math>x^\prime, x^{\prime\prime}</math> за кои важи <math>\ |x^\prime - x^{\prime\prime}|<\delta</math> важи и <math>\ |f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|<\epsilon</math>.

Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:
* непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
* при разгледување на непрекинатост, изборот на величината <math>\delta</math> зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот <math>\epsilon</math>. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова <math>\delta</math> треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од <math>\epsilon</math>, односно да е фиксно за сите можни избори на точките <math>x^\prime, x^{\prime\prime}</math>;

Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:
* Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
* Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.

== Пример ==

* Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата <math>\ f(x)=x^2</math> на симетричен интервал <math>(-M,M)</math>

Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека <math>\epsilon>0</math> е произволен и нека <math>\delta>0</math> величина чија зависност од <math>\epsilon</math> треба да ја утврдиме. Нека за точките <math>\ x,y \in (-M,M)</math> важи: <math>\ |x-y|<\delta</math>. Тогаш:

: <math>\ |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|(x-y)(x+y)|=|x-y||x+y|<\delta|M+M|=2M\delta</math>

Ако сега за <math>\delta</math> избереме вредност: <math>\delta=\frac{\epsilon}{2M}</math>, тогаш важи: <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>

што значи дека функцијата <math>\ f(x)=x^2</math> е рамномерно непрекината на интервалот <math>\ (-M,M)</math>.

Забелешка: величината <math>\delta </math> зависи само од изборот на <math>\epsilon</math> и (полу)должината на интервалот - <math>\ M</math>.

== Својства на непрекинатите функции ==

* Непрекината функција на затворен интервал е рамномерно непрекината на тој интервал;
* Непрекината функција на затворен интервал е ограничена на тој интервал;
* Збир, разлика, производ, количник и состав (композиција) од непрекинати функции, доколку постојат, се исто така непрекинати функции;
* Слика на (затворен) интервал при непрекинато пресликување е исто така (затворен) интервал;
* Слика на затворена крива при непрекинато пресликување е затворена крива

== Поврзано ==
* [[Гранична вредност на функција]]


{{Избрана}}

[[Категорија:Видови функции]]
[[Категорија:Математичка анализа]]