Непрекинатост на функција

Во математиката, концепт, или поточно, својство кое ги опишува функциите и нивното однесување во точка или околина. Тесно поврзан со поимот на непрекинатост е поимот гранична вредност на функција (лимес).

Структурно, концептот на непрекинатост на функција претставува своевиден вовед во Предлошка:Уникод-Предлошка:Уникод (ипсилон-делта) излагањето на математичката анализа, практика која понатаму се обопштува на широка палета поими.

Изучувањето на непрекинатоста и непрекинатите пресликувања е од клучно значење за природните и техиничките науки зашто процесите во природата се одвиваат непрекнато.

Дефиниција

Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар Огистен Луј Коши. Неговата дефиниција е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:

Нека е даден интервал $[a,b]$ и функција $f:[a,b]\to ℝ$ определена (дефинирана) на него. Да избереме точка $u\in [a,b]$. Тогаш:

Фунцијата $f$ е непрекината во точката $u\in [a,b]$ ако $\mathrm{\forall }ϵ>0,$ $\mathrm{\exists }\delta >0$ така што за секој $x\in [a,b]$ за кој важи:

$|x-u|<\delta$ важи и $|f(x)-f(u)|<ϵ$

Со строга математичка нотација:

$f$ е непрекината во $u\in [a,b]$ ако $(\mathrm{\forall }ϵ>0),(\mathrm{\exists }\delta >0)$ така што
$|x-u|\Rightarrow |f(x)-f(u)|<ϵ$

Визуелизација на концептот на непрекинатост

Визуелизација на концептот на непрекинатост

Практично, тоа е следново: имаме интервал - $[a,b]$, функција дефинирана на тој интервал - $f$ и произволна точка од тој интервал - $u\in [a,b]$. Фунцијата $f$ ќе биде непрекината во избраната точка ако: за секоја позитивна вредност - $ϵ>0$, постои друга позитивна вредност $\delta >0,\delta =\delta (ϵ)$ - зависна од првата таква што сликата на интервалот $(u-\delta ,u+\delta )$ е подмножество од интервалот $(f(u)-ϵ,f(u)+ϵ)$, т.е.

$f((u-\delta ,u+\delta ))\subseteq (f(u)-ϵ,f(u)+ϵ)$

Ако функција не е непрекината во точка, тогаш велиме дека функцијата има прекин во таа точка.

Алтернативна дефиниција на непрекинатоста, со помош на лимеси, дал Хајне: функцијата $f$ е непрекината во точката $x_0$ ако за секоја низа $(x_n)$ од $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x_0$ следи:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x_0)$

Оваа дефиниција е далеку попрактична од Кошиевата, но сепак зависи од дефиницијата и својствата на друг поим: низа реални броеви.

Примери

Ќе се послужиме со дефиницијата на непрекинатост за да испитаме непрекинатост на функција во точка.

• Пример 1: да се испита непрекинатоста на функцијата $f(x)=\sqrt{x}$
  

За функцијата да е непрекината во точката $u$ мора за секој $ϵ>0$ да постои вредност $\delta >0$, која зависи од изборот на $ϵ$ и точката $u$, таква што за секој $x\in (u-\delta ,u+\delta )\iff |x-u|<\delta$ истовремено важи $f(x)\in (f(u)-ϵ,f(u)+ϵ)\iff |f(x)-f(u)|<ϵ$.

Нека $ϵ>0$ го избереме произволно и нека за некое $\delta >0$ (чија зависност од $ϵ$ и $u$ треба да ја определиме!!!) е исполнето:

$|x-u|<\delta$

Тогаш следи:

$|f(x)-f(u)|=|\sqrt{x}-\sqrt{u}|=|\frac{\sqrt{x}-\sqrt{u}}{1}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{u}}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}|=$

$\left|\frac{x-u}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}\right|=\frac{|x-u|}{|\sqrt{x}+\sqrt{u}|}\le \frac{|x-u|}{\sqrt{u}}<\frac{\delta }{\sqrt{u}}$

Ако сега, бидејќи $ϵ$ е произволен, вредноста на $\delta$ ја определиме како: $\delta =ϵ\sqrt{u}$ тогаш важи:

$|x-u|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(u)|<\frac{\delta }{\sqrt{u}}=\frac{ϵ\sqrt{u}}{\sqrt{u}}=ϵ$

од каде следи дека функцијата $f(x)=\sqrt{x}$ е непрекината во сите точки во кои е дефинирана, освен, можеби, во нулата.

• Пример 2: да се испита непрекинатост на функцијата на Дирихле која е зададена како:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ -1,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

Ќе разгледаме два случаја. Од математичката логика го имаме следново:

За функција да не е непрекината во точка $u$ треба да постои $ϵ>0$ таков што за секој $\delta >0$ за кој важи $|x-u|<\delta$, важи и $|D(x)-D(u)|\ge ϵ$

Прв случај: нека $u\in \mathbb{Q}$, нека избереме $ϵ=1$ и нека $\delta >0$ e произволно. Тогаш постои ирационална точка $x\in (u-\delta ,u+\delta )$ т.е. ирационален број $x$ за кој е исполнето $|x-u|<\delta$. Но тогаш следи:

$|D(x)-D(u)|=|1-(-1)|=2>ϵ$

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки

Втор случај: постапката е слична како претходната: нека $u\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$, нека избереме $ϵ=1$ и нека $\delta >0$ e произволно. Тогаш постои рационална точка $x\in (u-\delta ,u+\delta )$ т.е. рационален број $x$ за кој е исполнето $|x-u|<\delta$. Но тогаш следи:

$|D(x)-D(u)|=|-1-1|=2>ϵ$

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) и во сите ирационални точки. Тогаш можеме да заклучиме дека функцијата на Дирихле има прекин во сите точки од својата дефинициона област.

Рамномерна непрекинатост

Предлошка:Главна Во математичката анализа се јавува уште еден поим: рамномерна непрекинатост на функција. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.

Нека $f:[a,b]\to ℝ$ е реална функција определена на интервалот $[a,b]$. За функцијата $f$ се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот $[a,b]$ ако: за секој $ϵ>0$, постои $\delta >0$ така што за сите точки $x^{\prime },x^{\prime \prime }$ за кои важи $|x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ важи и $|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<ϵ$.

Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:

• непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
• при разгледување на непрекинатост, изборот на величината $\delta$ зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот $ϵ$. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова $\delta$ треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од $ϵ$, односно да е фиксно за сите можни избори на точките $x^{\prime },x^{\prime \prime }$;

Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:

• Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
• Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.

Пример

• Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата $f(x)=x^2$ на симетричен интервал $(-M,M)$

Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека $ϵ>0$ е произволен и нека $\delta >0$ величина чија зависност од $ϵ$ треба да ја утврдиме. Нека за точките $x,y\in (-M,M)$ важи: $|x-y|<\delta$. Тогаш:

$|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|(x-y)(x+y)|=|x-y||x+y|<\delta |M+M|=2M\delta$

Ако сега за $\delta$ избереме вредност: $\delta =\frac{ϵ}{2M}$, тогаш важи: $|f(x)-f(y)|<ϵ$

што значи дека функцијата $f(x)=x^2$ е рамномерно непрекината на интервалот $(-M,M)$.

Забелешка: величината $\delta$ зависи само од изборот на $ϵ$ и (полу)должината на интервалот - $M$.

Својства на непрекинатите функции

• Непрекината функција на затворен интервал е рамномерно непрекината на тој интервал;
• Непрекината функција на затворен интервал е ограничена на тој интервал;
• Збир, разлика, производ, количник и состав (композиција) од непрекинати функции, доколку постојат, се исто така непрекинати функции;
• Слика на (затворен) интервал при непрекинато пресликување е исто така (затворен) интервал;
• Слика на затворена крива при непрекинато пресликување е затворена крива

Поврзано

• Гранична вредност на функција

Предлошка:Избрана