Преглед на кодот на Паралелограм

{{Инфокутија Многуаголник
| name        = Паралелограм
| image       = Romboid_std.svg
| caption     = Во паралелограм спротивните страни се исти
| type        = [[Четириаголник]]
| edges       = 4
| schläfli    = 
| symmetry    = C<sub>2</sub>
| perimeter   = ''2a''+''2b''
| area        = ''a''&middot;''h'' 
| angle       = 
| properties  = [[испакнато множество|испакнат]]
}}
<div style="line-height:2em">
Во [[геометрија]]та, '''паралелограм''' е [[четириаголник]] со два пара [[паралелност|паралелни страни]].

*'''Основна регулатива:''' Еден паралелограм е [[потполна определеност|потполно определен]] со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив. 
</div>

{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
|Четириаголник е паралелограм ако и само ако спротивните страни се исти ([[складност|складни]]).<ref name=algebra1>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.algebra.com/algebra/homework/Parallelograms/Opposite-sides-of-a-parallelogram-are-equal.lesson|DUPLICATE_title=Opposite sides of a parallelogram are equal|title=Спротивните страни на паралелограм се еднакви| publisher=algebra.com| last1=Kleyn| first1=I.|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>
|}

Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.<ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher=Addison-Wesley | year =2009|pages=581–582 |language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/parallelogram.html| DUPLICATE_title =Parallelogram |title=Паралелограм|publisher=Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref>
* '''[[Ромбоид]]''': паралелограм каде што соседните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* '''[[Ромб]]''': паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина. 
* '''[[Правоаголник]]''': паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
* '''[[Квадрат]]''': паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°. 
 
{| class="wikitable"
|- align="center" height=95px
|[[Податотека:Romboid_std.svg|156п]]
|[[Податотека:Romb_std.svg|130п]]
|[[Податотека:Pravoagolnik_std.svg|156п]]
|[[Податотека:Square standard.svg|105п]]
|- align="center"
|[[Ромбоид]]
|[[Ромб]]
|[[Правоаголник]]
|[[Квадрат]]
|}

==Формули и особини за паралелограм==
<div style="line-height:2em">
*Едниот пар на паралелни страни се „земаат“ за '''основи''' и (обично) се означуваат со ''a''. Вообичаено е да се земат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Честопати се користи зборот '''должина'''.
*Другиот пар на паралелни страни се викаат '''краци''' и (обично) се означуваат со ''b''.  
*Растојанието помеѓу основите се вика '''висина''' и (обично) се означува со ''h'' (или ''h''<sub>a</sub> за да се разликува од другата висина ''h''<sub>b</sub> меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со ''h''<sub>b</sub>.  
</div>

Нека е даден паралелограм со основа ''a'', крак ''b'', висина ''h'' (меѓу основите) и агол &alpha; помеѓу а и b.

{| class="wikitable" style="float:right;"
|- style="font-size:86%; border:1px solid black"
|[[Податотека:Romboid_vis.svg|156п]]<br/>Висина ''h'' меѓу основите
|}

'''Периметар''' 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>L = 2a + 2b </math>
|}
</div>

'''Плоштина''' е: '''должина по висина'''  односно '''основа по висина'''<ref>Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, ''Математика за II година гимназиско образование''. Скопје: Алби, 2009, стр. 119.</ref>
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>P = a \cdot h </math>. &nbsp;&nbsp;&nbsp;Попрецизно: <math>P = a \cdot h_a </math>  &nbsp;и&nbsp;  <math>P = b \cdot h_b </math>
|}</div>

<div style="line-height:1.5em">
*Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни паралелограми со иста основа и висина. Истите ја имаат истата плоштина, а различни периметри.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Paralelogram|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Паралелограм|year=2010|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2013-09-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20130915125828/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Paralelogram|url-status=dead}} интерактивен</ref>
*Бидејќи секоја страна на паралелограм е и [[Трансверзала (геометрија)|трансверзала]] на другите паралелните страни, според ''Претпоставката за паралелност'' секој пар соседни внатрешни агли се [[суплементни агли|суплементни]], т.е. нивниот збир е 180&deg;.<ref name=Oxford />
*Бидејќи секој паралелограм е [[четириаголник]], збирот на внатрешните агли е 360&deg;.
*Од суплементност на соседни агли следува дека спротивните агли се исти (складни).
*Секоја дијагонала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два [[складност|складни]] [[триаголник|триаголници]]. Следува дека двата пара паралелни страни се складни (со иста должина).<ref name=algebra1 />
*Пресечната точка на дијагоналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.algebra.com/algebra/homework/Parallelograms/Properties-of-diagonals-of-parallelograms.lesson|DUPLICATE_title=Properties of the diagonals of parallelograms|title=Одлики на дијагоналите на паралелограм| publisher=algebra.com| last1=Kleyn| first1=I.|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>
|}
</div>
</div>

{| class="wikitable"
|-
|colspan=4 align="center"|'''Карактеристики на паралелограми'''
|- 
|align="center" width="207"|[[Податотека:romboid_paralelni.svg|197п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_agli_sup_w.svg|156п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_diag_prep.svg|156п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_ha.svg|156п]]
|-
|- style="line-height:.85em"
|align="center" width="207"|<small>Два пара паралелни страни.</small>
|align="center" width="166"|<small>Соседните агли се суплементни.</small>
|align="center" width="166"|<small>Дијагоналите меѓусебно се преполовуваат.</small>
|align="center" width="166"|<small>Висина h=h<sub>a</sub> меѓу основите.</small>
|- 
|align="center" width="207"|[[Податотека:romboid_def.svg|156п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_diag.svg|156п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_triagolnik8.svg|156п]]
|align="center" width="166"|[[Податотека:romboid_hb.svg|156п]]
|- style="line-height:.85em"
|align="center" width="207"|<small>Спротивните страни се складни. Спротивните агли се складни.</small>
|align="center" width="166"|<small>Дијагонали на паралелограм.</small>
|align="center" width="166"|<small>Дијагонали и средни линии на паралелограм.</small>
|align="center" width="166"|<small>Висина h=h<sub>b</sub> меѓу краците</small>
|}

'''Висина''' 
:<math>h_a= b \cdot \sin(\alpha)</math> &nbsp; и &nbsp; <math>h_b= a \cdot \sin(\alpha)</math>

'''Дијагонали''' (каде што дијагоналата d<sub>1</sub> минува низ аголот &alpha;)
:<math>d_1 = \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }</math> &nbsp; и &nbsp; <math>d_2 = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }</math> <ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.algebra.com/algebra/homework/word/geometry/The-length-of-diagonals-of-a-parallelogram.lesson|DUPLICATE_title=The length of diagonals of a parallelogram|title= Должина на дијагонали користејќи ја [[косинусова теорема]]| publisher=algebra.com| last1=Kleyn| first1=I.| language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref>

'''Пример:''' Нека е даден паралелограм со основа ''a''=5&nbsp;km, и крак ''b''=3&nbsp;km  и агол &alpha;=30&deg; помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2''a''+2''b''=16&nbsp;km, висина е h=b&middot;sin(&alpha;)=1,5&nbsp;km и плоштината е P=ah=7,5&nbsp;км<sup>2</sup>.

'''Пример:''' Нека е даден паралелограм со основа ''a''=5&nbsp;km, и крак ''b''=2.5&nbsp;km  и агол &alpha;=37&deg; помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2''a''+2''b''=15&nbsp;km, висина е h=b&middot;sin(&alpha;)≈1,5&nbsp;km и плоштината е P=ah≈7,5&nbsp;км<sup>2</sup>.

==Одлики на паралелограм==
[[Испакнат многуаголник|испакнат]] четириаголник е паралелограм ако и само ако кој било од следните искази е вистинит<ref>{{Наведена книга|first1=Owen| last1=Byer|first2=Felix|last2=Lazebnik|first3=Deirdre|last3=Smeltzer|title=Methods for Euclidean Geometry|publisher=Mathematical Association of America|year=2010|pages=51–52}}</ref><ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |department=10. Cyclic quadrilaterals |url=https://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=22 |series=Research in mathematics education}}</ref>
*Двата пара на спротивни страни се еднакво долги.
*Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
*[[Дијагонала|Дијагоналите]] се сечат во нивните средни точки.
*Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво долги.
*[[Типови агли|Соседните агли]] се суплементни.
*Секоја дијагонала го дели четириаголникот на два складни триаголници.
*Збирот на квадратите на страните е еднаков на збирот на квадратите на дијагоналите ([[закон на паралелограм]]).

==Впишана и опишана кружница на паралелограм==
*Паралелограм нема [[впишана кружница]] освен ако е [[ромб]] (или [[квадрат]]).<ref name=Andreescu>{{Наведена книга|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan| title=Mathematical Olympiad Treasures| publisher=Birkhäuser|year=2006|pages=64–68|isbn=978-0817682521}}.</ref>
*Паралелограм нема [[опишана кружница]] освен ако е правоаголник (или квадрат).<ref name=Usiskin/>

==Симетрија==
===Осна симетрија===
Види ги поединечните типови на паралелограми.

===Вртежна симетрија===
При ротација на паралелограм <sup>360&deg;</sup>/<sub>2</sub>=180&deg; се добива истиот паралелограм.
*Ромбоидот, ромбот и правоаголникот имаат вртежна симетрија од 2-ри ред (180&deg;).
*Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред (90&deg;).

 
==Обопштување на паралелограм==
*Обопштување во 3Д: [[Паралелопипед]] е [[полиедар]] со 6 страни, секоја од нив е паралелограм.
<div style="line-height:1.2em">

{| style="float:right; border:1px solid #EEEEEE"
|- style="font-size:86%"
|[[Податотека:paralelogram_vektori.gif]]<br/>Пресметување плоштина на паралелограм со детерминанта
|}

==Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти ==
*Еден паралелограм е потполно определен со два [[вектор]]а со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)

Во [[линеарна алгебра|линеарната алгебра]], апсолутната вредност на [[детерминанта]]та на 2х2 [[матрица]] <strong>A</strong> е плоштината на паралелограмот формиран со соодветните [[полупречник-вектор]]и.
::<math>{{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}} & {{a_{12}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} \end{array}} \right]</math> 
:Соодветните полупречник-вектори се
::<math>{{\vec r}_1} =  < {a_{11}},{a_{12}} > , \,\,\,{{\vec r}_2} =  < {a_{21}},{a_{22}} > </math>
:Соодветните темиња на паралелограмот се
::<math>A=(0,0),\,\, B=(a_{11},a_{12}),\,\, C=(a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}),\,\, D=(a_{21},a_{22})</math>
:Плоштината Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)
::<math> det(A) = \left| {\begin{array} {*{20}{c}} {{a_{11}}} & {{a_{12}}} \\ {{a_{21}}} & {{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}} \cdot {a_{22}} - {a_{21}} \cdot {a_{12}}</math>

<div style="line-height:1.5em">
Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А&ne;(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со [[транслација (геометрија)|транслација]] -А така што Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресметува плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални [[геометриска фигура|геометриски фигури]] се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на [[паралелопипед]] преку [[мешан производ]] како и во повисоки димензии.
</div>

== Поврзани теми ==
*[[Четириаголник]] 
*[[Трапез]]
*[[Квадрат]], [[Правоаголник]], [[Ромб]], [[Ромбоид]] 
*[[Многуаголник]]
*[[Детерминанта]]

==Наводи==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Paralelogram|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Паралелограм|year=2010|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2013-09-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20130915125828/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Paralelogram|url-status=dead}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramk.pbworks.com/Конструкција-на-паралелограм-со-две-страни-и-агол|title=Конструкција на паралелограм со две страни и агол]|last1=Стојановска|first1=Л.|last2=Тромпеска|first2=М.|year=2010|language=македонски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramk.pbworks.com/Конструкција-на-паралелограм-со-две-страни-и-висина|title=Конструкција на паралелограм со две страни и висина|last1=Стојановска|first1=Л.|last2=Тромпеска|first2=М.|year=2010|language=македонски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
*{{Наведена мрежна страница|url=http://geogebramk.pbworks.com/Конструкција-на-паралелограм-со-две-страни-и-дијагонала|title=Конструкција на паралелограм со две страни и дијагонала| last1=Стојановска| first1=Л.| last2=Тромпеска| first2=М.| year=2010| language=македонски| accessdate=1 септември 2013}} интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.slideboom.com/presentations/427770/ДИЈАГОНАЛИ-И-ВИСИНИ-НА-ПАРАЛЕЛОГРАМ-Снежана-Златковска|title=Мини презентација за дијагонали и висини на паралелограм|last=Златковска|first=С.|year=2012|language=македонски|accessdate=1 септември 2013|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305011432/http://www.slideboom.com/presentations/427770/%D0%94%D0%98%D0%88%D0%90%D0%93%D0%9E%D0%9D%D0%90%D0%9B%D0%98-%D0%98-%D0%92%D0%98%D0%A1%D0%98%D0%9D%D0%98-%D0%9D%D0%90-%D0%9F%D0%90%D0%A0%D0%90%D0%9B%D0%95%D0%9B%D0%9E%D0%93%D0%A0%D0%90%D0%9C-%D0%A1%D0%BD%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D0%97%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0|url-status=dead}}
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry-rotational.html |DUPLICATE_title=Rotational Symmetry|title=Вртежна симетрија | author=R. Pierce | publisher=MathisFun | year=2011|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/parallelogram.html| DUPLICATE_title =Parallelogram|title=Паралелограм|publisher=Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/parallelogramarea.html| DUPLICATE_title =Area of a Parallelogram|title=Плоштина на паралелограм|publisher=Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/parallelogramdiags.html| DUPLICATE_title =Diagonals of a Parallelogram|title=Дијагонали на паралелограм|publisher=Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Parallelogram+and+Rhombus&status=public Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)] {{en}}
*{{Наведена мрежна страница | url=http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html|DUPLICATE_title=Parallelogram|title=Паралелограм|last=Weisstein| first=Eric W.|publisher=Math World- A Wolfram Web Resource|year=2013|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} 
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathwarehouse.com/geometry/quadrilaterals/parallelograms/index.php |title=Interactive Parallelogram --sides, angles and slope|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}  
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/AreaOfParallelogram.shtml|title=Area of Parallelogram|publisher=Cut-the-Knot|last=Bogomolny|first=A.|year =2010|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница | url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/EquiTriOnPara.shtml|title=Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram|publisher=Cut-the-Knot|last=Bogomolny|first=A.|year =2010|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Четириаголници]]
[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Математичко образование]]