Паралелограм

Во геометријата, паралелограм е четириаголник со два пара паралелни страни.

• Основна регулатива: Еден паралелограм е потполно определен со должините на две соседни страни и големината на аголот помеѓу нив.

Четириаголник е паралелограм ако и само ако спротивните страни се исти (складни).

Овој факт се користи при стандардно означување на четирите типови паралелограми.

• Ромбоид: паралелограм каде што соседните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
• Ромб: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина.
• Правоаголник: паралелограм каде што четирите внатрешни агли се прави, т.е. по 90°.
• Квадрат: паралелограм каде што четирите страни се со еднаква должина и четирите агли се прави, т.е. по 90°.

Ромбоид	Ромб	Правоаголник	Квадрат

Формули и особини за паралелограм

• Едниот пар на паралелни страни се „земаат“ за основи и (обично) се означуваат со a. Вообичаено е да се земат хоризонталните (или најхоризонталните или најдолгите) страни за основи. Честопати се користи зборот должина.
• Другиот пар на паралелни страни се викаат краци и (обично) се означуваат со b.
• Растојанието помеѓу основите се вика висина и (обично) се означува со h (или h_a за да се разликува од другата висина h_b меѓу краците). Растојанието помеѓу краците исто така е висина на паралелограмот, но во однос на краците, па затоа специјално се означува со h_b.

Нека е даден паралелограм со основа a, крак b, висина h (меѓу основите) и агол α помеѓу а и b.

Висина h меѓу основите

Периметар

$L=2a+2b$

Плоштина е: должина по висина односно основа по висина

$P=a\cdot h$.    Попрецизно: $P=a\cdot h_a$  и  $P=b\cdot h_b$

• Плоштина на еден паралелограм се одредува со основа и висина. Меѓутоа, само со тие информации, паралелограм не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни паралелограми со иста основа и висина. Истите ја имаат истата плоштина, а различни периметри.
• Бидејќи секоја страна на паралелограм е и трансверзала на другите паралелните страни, според Претпоставката за паралелност секој пар соседни внатрешни агли се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
• Бидејќи секој паралелограм е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
• Од суплементност на соседни агли следува дека спротивните агли се исти (складни).
• Секоја дијагонала е и трансверзала, па го дели паралелограмот на два складни триаголници. Следува дека двата пара паралелни страни се складни (со иста должина).
• Пресечната точка на дијагоналите е средината на двете дијагонали. Со други зборови,

Дијагоналите на паралелограм се преполовуваат.

Карактеристики на паралелограми
Два пара паралелни страни.	Соседните агли се суплементни.	Дијагоналите меѓусебно се преполовуваат.	Висина h=ha меѓу основите.
Спротивните страни се складни. Спротивните агли се складни.	Дијагонали на паралелограм.	Дијагонали и средни линии на паралелограм.	Висина h=hb меѓу краците

Висина

$h_a=b\cdot \sin (\alpha )$   и   $h_b=a\cdot \sin (\alpha )$

Дијагонали (каде што дијагоналата d₁ минува низ аголот α)

$d_1=\sqrt{a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}$   и   $d_2=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}$

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=3 km и агол α=30° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=16 km, висина е h=b·sin(α)=1,5 km и плоштината е P=ah=7,5 км².

Пример: Нека е даден паралелограм со основа a=5 km, и крак b=2.5 km и агол α=37° помеѓу a и b. Тогаш, периметарот e L=2a+2b=15 km, висина е h=b·sin(α)≈1,5 km и плоштината е P=ah≈7,5 км².

Одлики на паралелограм

испакнат четириаголник е паралелограм ако и само ако кој било од следните искази е вистинит

• Двата пара на спротивни страни се еднакво долги.
• Двата пара на спротивни агли се со еднаква големина.
• Дијагоналите се сечат во нивните средни точки.
• Еден пар на спротивни страни се паралелни и се еднакво долги.
• Соседните агли се суплементни.
• Секоја дијагонала го дели четириаголникот на два складни триаголници.
• Збирот на квадратите на страните е еднаков на збирот на квадратите на дијагоналите (закон на паралелограм).

Впишана и опишана кружница на паралелограм

• Паралелограм нема впишана кружница освен ако е ромб (или квадрат).
• Паралелограм нема опишана кружница освен ако е правоаголник (или квадрат).

Симетрија

Осна симетрија

Види ги поединечните типови на паралелограми.

Вртежна симетрија

При ротација на паралелограм ^360°/₂=180° се добива истиот паралелограм.

• Ромбоидот, ромбот и правоаголникот имаат вртежна симетрија од 2-ри ред (180°).
• Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред (90°).

Обопштување на паралелограм

• Обопштување во 3Д: Паралелопипед е полиедар со 6 страни, секоја од нив е паралелограм.

Пресметување плоштина на паралелограм со детерминанта

Паралелограми и вектори, матрици, детерминанти

• Еден паралелограм е потполно определен со два вектора со истата почетна точка. (Четвртата точка е крајната точка на збирот на векторите.)

Во линеарната алгебра, апсолутната вредност на детерминантата на 2х2 матрица A е плоштината на паралелограмот формиран со соодветните полупречник-вектори.

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

Соодветните полупречник-вектори се

${\overrightarrow{r}}_1=<a_{11},a_{12}>,{\overrightarrow{r}}_2=<a_{21},a_{22}>$

Соодветните темиња на паралелограмот се

$A=(0,0),B=(a_{11},a_{12}),C=(a_{11}+a_{21},a_{12}+a_{22}),D=(a_{21},a_{22})$

Плоштината Р на паралелограмот со темиња A, B, C, D e (апсолутната вредност на)

$det(A)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$

Доколку имаме паралелограм ABCD каде што А≠(0,0), формираме складен паралелограм EFGH со транслација -А така што Е=А-А=(0,0), F=B-A, G=C-A и H=D-A. Потоа со детерминанта се пресметува плоштината на EFGH која е иста со плоштината на паралелограмот ABCD (плоштините на складни 2-димензионални геометриски фигури се исти).

Ова својство се обопштува до 3-димензии, односно за волумен на паралелопипед преку мешан производ како и во повисоки димензии.

Поврзани теми

• Четириаголник
• Трапез
• Квадрат, Правоаголник, Ромб, Ромбоид
• Многуаголник
• Детерминанта

Наводи

Надворешни врски

• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен со видео објаснување за рачна и Геогебра конструкција
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• {{Наведена мрежна страница | url=http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Parallelogram+and+Rhombus&status=public Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)] Предлошка:En
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен