Преглед на кодот на Правоаголен триаголник

{{Инфокутија Многуаголник
| name        = Правоаголен триаголник
| image       = Right_triangle_standard.svg
| caption     = Правоаголен триаголник има прав агол
| edges       = 3
| perimeter   = ''a''+''b''+''c''
| area        = &frac12;&middot;''a''&middot;''b''

| properties  = [[прав агол]]<br/>[[испакнато множество|испакнат]]
}}
<div style="margin-top:6px">
Во [[геометрија]]та, '''правоаголен триаголник''' е [[триаголник]] со внатрешен [[прав агол]], т.е. агол од 90&deg;.<ref name=Oxford>{{Наведена мрежна страница | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Right-angled Triangle | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=682|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}}</ref><ref>{{Наведена мрежна страница | url=http://www.mathopenref.com/righttriangle.html| title =Right triangle | title=Правоаголен триаголник| publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=1 септември 2013}} интерактивен</ref> Страната спроти правиот агол се нарекува [[хипотенуза]]; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со ''c''. Другите две страни се викаат '''[[катета|катети]]''' и се означуваат со ''a'' и ''b''. Спротивно на страната ''a'' е [[теме (геометрија)|темето]] А и [[агол]]от &alpha;, a спротивно на страната ''b'' е темето В и аголот &beta;.

'''Основни поставки:''' 
* Аглите &alpha; и &beta; се остри агли и се [[комплементни агли|комплементни]].
* Правиот агол се наоѓа помеѓу страните ''a'' и ''b''. Значи тие се меѓусебно [[нормални прави|нормални]] и ''a'' e висината на правоаголниот триаголник со [[основа (геометрија)|основа]] ''b''.
* [[Питагорова теорема]]: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако<ref>Кој било доказ на [[косинусова теорема|косинусовата теорема]]</ref>
</div>
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>a^2+b^2=c^2</math>
|}
</div>
 
==Формули и особини==

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. &frac12; &middot; ''b'' &middot; ''h'' = &frac12; &times; ''b'' &times; ''h''

[[Податотека:Right_triangle_angles.svg|thumb|150п|Сите агли на правоаголен триаголник]]
'''[[Периметар]]от''' е збир на должините на трите страни
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>L = a+b+c </math>
|}
</div>

'''[[Плоштина]]''' е: 
* Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната ''а'' е висината на основата ''b'' кај правоаголен триаголник имаме: 
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|- 
| <math>P = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b </math>. 
|}
</div>

'''Пример:''' Нека е даден правоаголен триаголник со катета ''a''=5&nbsp;cm и хипотенуза ''c''=13&nbsp;cm. Според [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]]
:<math>a^2+b^2=c^2 \Rightarrow  (5cm)^2+b^2=(13cm)^2 \Rightarrow 25cm^2+b^2=169cm^2</math>
:<math>b^2=169cm^2-25cm^2 \Rightarrow b^2=144cm^2 \Rightarrow b=\sqrt{144cm^2} \Rightarrow b=12cm</math>
<div style="margin-left:15px;line-height:1.5em">Периметарот e: L=''a''+''b''+''c''=5&nbsp;cm+12&nbsp;cm+13&nbsp;cm=30&nbsp;cm. Плоштината е: &frac12;&middot;''a''&middot;''b''=&frac12;&middot;''5cm''&middot;''12cm''=30&nbsp;cm&sup2;</div>

<div style="margin-top:6px">Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. [[Питагорова тројка]], т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).</div>

'''Пример:''' Нека е даден триаголник со катети ''а'' = ''b'' = 10mm. Според [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]]
:<math>a^2+b^2=c^2 \Rightarrow (10mm)^2+(10mm)^2=c^2 \Rightarrow 100mm^2+100mm^2=c^2 </math>
:<math>200mm^2=c^2 \Rightarrow c^2=200mm^2 \Rightarrow c=\sqrt{200mm^2} \Rightarrow c = 10\sqrt{2} \approx 14,14mm</math>
<div style="margin-left:15px;line-height:1.5em">Периметарот e: L=''a''+''b''+''c''=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: &frac12;&middot;''a''&middot;''b''=&frac12;&middot;''10mm''&middot;''10mm''=100mm&sup2;</div>

<div style="margin-top:6px">Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и [[рамнокрак триаголник]] и аглите &alpha; и &beta; се еднакви, &alpha; = &beta; =45&deg;. Нема [[рамностран триаголник]] кој е и правоаголен.</div>

==Тригонометрија==
{{Главна|Тригонометрија}}
[[Тригонометрија]]та е гранка на [[математика]]та во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се [[сличност на триаголници|слични]] ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180&deg;. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

==Впишана кружница==
*Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има [[впишана кружница]] (види [[триаголник]]).
'''Поставка:''' Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот ''r'' на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:
: <math>r = \frac{2P}{L} = \frac{2 \cdot \tfrac{1}{2}ab}{a+b+c}= \frac{ab}{a+b+c}</math>

{| class=wikitable border=1
|- width=450px align=center
|[[Податотека:right_triangle_inscribed.svg|100px]]
|[[Податотека:right_triangle_circumscribed_thales.svg|150px]]
|[[Податотека:right_triangle_circumscribed.svg|150px]]
|-
|width=200px align=center style="font-size:.85em;line-height:1.4em"|Впишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали.
|width=200px align=center style="font-size:.85em;line-height:1.4em"|[[Опишана кружница]] како последица од [[Талесова теорема|Талесовата теорема]]. 
|width=200px align=center style="font-size:.85em;line-height:1.4em"|Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината M<sub>c</sub> на хипотенузата ''c''.
|}

==Талесова теорема==
{{Главна|Талесова теорема}}
'''[[Талесова теорема]]''' гласи: Секој [[видови агли|периферен агол]] над [[пречник]]от на кружница е прав агол.

==Опишана кружница== 
'''Поставка:''' (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата ''c'' на правоаголен триаголник е центарот на својата [[опишана кружница]], а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:
: <math>R= \frac{c}{2}</math>
Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

{| class=wikitable border=1
|-  align=center
|[[Податотека:right_triangle_centroid.svg|130п]]
|[[Податотека:right_triangle_thales_converse.svg|115п]]
|-
|width=150px align=center style="font-size:.85em;line-height:1.4em"|Тежиштето e заеднички пресек на тежишните линии.
|width=230px align=center style="font-size:.85em;line-height:1.4em"|Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија <span style="text-decoration:overline">CM</span><sub>c</sub> e <sup>c</sup>/<sub>2</sub> тогаш &Delta;ABC e правоаголен триаголник.
|}

==Тежишна линија на хипотенуза==
Во [[геометрија]]та, '''[[тежишна линија]]''' на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е '''медијана.'''
*Теорема: Нека <span style="text-decoration:overline">CM</span><sub>c</sub> е тежнишната линија до најдолгата страна ''c''=<span style="text-decoration:overline">AB</span> на триаголникот &Delta;ABC. Должината на <span style="text-decoration:overline">CM</span><sub>c</sub> е еднаква на <sup>c</sup>/<sub>2</sub> ако и само ако &Delta;ABC е правоаголен триаголник.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/Aktivnosti/TriagolnikMedijanaPravAgol|title=Триаголници: Медијани и правоаголни триаголници|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2012-03-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20120314065109/http://www.emathforall.com/wiki/Aktivnosti/TriagolnikMedijanaPravAgol|url-status=dead}} интерактивен</ref> (Доколку триаголник нема ''најдолга'' страна, тој не е правоаголен.)
:Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://en.wikipedia.org/wiki/Thales'_theorem#Converse|title=Thales' theorem (converse)|publisher=Wikipedia|language=англиски|accessdate=1 декември 2013}}</ref>

==Наводи==
{{наводи}}

== Поврзани теми ==
*[[Триаголник]]
*[[Питагорова теорема]], [[Косинусова теорема]]
*[[Рамностран триаголник]], [[Рамнокрак триаголник]]
*[[Складност на триаголници]], [[Сличност на триаголници]]
*[[Талесова теорема]]

== Надворешни врски ==
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/PravoagolenTri|last1=Стојановска|first1=Л.|title=Правоаголен триаголник|year=2010|language=македонски|accessdate=1 декември 2013|archive-date=2013-12-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20131217103538/http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/PravoagolenTri|url-status=dead}} интерактивен
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.geogebratube.org/student/m12181|title=Питагорова тройка 345|last1=Milanoff|year=2012|language=бугарски|accessdate=1 декември 2013}}{{Мртва_врска|date=September 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} интерактивен</ref>
*{{Наведена мрежна страница|url=http://www.mathopenref.com/angleright.html|title=Right Angle|year=2010| publisher =Math Open Reference|year=2009|accessdate=1 декември 2013}} интерактивен

{{Портал|Математика}}

{{Математички полиња}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Триаголници]]
[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]