Правоаголен триаголник

Во геометријата, правоаголен триаголник е триаголник со внатрешен прав агол, т.е. агол од 90°. Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со c. Другите две страни се викаат катети и се означуваат со a и b. Спротивно на страната a е темето А и аголот α, a спротивно на страната b е темето В и аголот β.

Основни поставки:

• Аглите α и β се остри агли и се комплементни.
• Правиот агол се наоѓа помеѓу страните a и b. Значи тие се меѓусебно нормални и a e висината на правоаголниот триаголник со основа b.
• Питагорова теорема: Еден триаголник е правоаголен ако и само ако

$a^2+b^2=c^2$

Формули и особини

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · b · h = ½ × b × h

Сите агли на правоаголен триаголник

Периметарот е збир на должините на трите страни

$L=a+b+c$

Плоштина е:

• Плоштина на триаголник е една половина од основата помножена со висината, а бидејќи страната а е висината на основата b кај правоаголен триаголник имаме:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$.

Пример: Нека е даден правоаголен триаголник со катета a=5 cm и хипотенуза c=13 cm. Според Питагоровата теорема

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow (5cm{)}^2+b^2=(13cm{)}^2\Rightarrow 25c{m}^2+b^2=169c{m}^2$

$b^2=169c{m}^2-25c{m}^2\Rightarrow b^2=144c{m}^2\Rightarrow b=\sqrt{144c{m}^2}\Rightarrow b=12cm$

Периметарот e: L=a+b+c=5 cm+12 cm+13 cm=30 cm. Плоштината е: ½·a·b=½·5cm·12cm=30 cm²

Забелешка: Комбинацијата (5,12,13) е т.н. Питагорова тројка, т.е. е комбинација на три цели броеви кои формираат правоаголен триаголник. Друга позната тројка е: (3,4,5).

Пример: Нека е даден триаголник со катети а = b = 10mm. Според Питагоровата теорема

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow (10mm{)}^2+(10mm{)}^2=c^2\Rightarrow 100m{m}^2+100m{m}^2=c^2$

$200m{m}^2=c^2\Rightarrow c^2=200m{m}^2\Rightarrow c=\sqrt{200m{m}^2}\Rightarrow c=10\sqrt{2}\approx 14,14mm$

Периметарот e: L=a+b+c=10mm+10mm+14,14mm=34,14mm. Плоштината е: ½·a·b=½·10mm·10mm=100mm²

Забелешка: Во вториот пример, двете катети имаат иста должина. Значи, покрај тоа што триаголникот е правоаголен, тој е и рамнокрак триаголник и аглите α и β се еднакви, α = β =45°. Нема рамностран триаголник кој е и правоаголен.

Тригонометрија

Предлошка:Главна Тригонометријата е гранка на математиката во која се разгледуваат своjствата на слични правоаголни триаголници. Два триаголници се слични ако имаат два пара на еднакви внатрешни агли. Во тој случај, автоматски и третиот пар агли се еднакви бидејќи збирот на аглите во триаголник е 180°. Значи, два правоаголни триаголници се слични ако еден пар од останатите два (остри) агли се еднакви. Ако два триаголници се слични, тогаш односот на кој било пар на страни е ист - тоа е дефиницијата за сличност. Затоа тригонометриските функции кои ги опишуваат односите на различните комбинации на страните на триаголникот зависат само од еден агол.

Впишана кружница

• Како и секој триаголник, правоаголниот триаголник е тетивен многуаголник, т.е. има впишана кружница (види триаголник).

Поставка: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот r на впишаната кружница на правоаголен триаголник е:

$r=\frac{2P}{L}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}ab}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+c}$

Впишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во пресекот на аголните симетрали.	Опишана кружница како последица од Талесовата теорема.	Опишана кружница на правоаголен триаголник; центарот е во средината Mc на хипотенузата c.

Талесова теорема

Предлошка:Главна Талесова теорема гласи: Секој периферен агол над пречникот на кружница е прав агол.

Опишана кружница

Поставка: (Последица од Талесова теорема) Средината, т.е. средната точка на хипотенузата c на правоаголен триаголник е центарот на својата опишана кружница, а полупречникот на кружницата е половината од хипотенузата c:

$R=\frac{c}{2}$

Забелешка: Опишана кружница зависи само од хипотенузата, т.е. секој правоаголен триаголник со истата хипотенуза ја има истата опишана кружница.

Тежиштето e заеднички пресек на тежишните линии.	Инверзната Талесова теорема: Ако должината на тежишната линија CMc e c/2 тогаш ΔABC e правоаголен триаголник.

Тежишна линија на хипотенуза

Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме со средната точка на спротивната страна. Друг термин за тежишна линија е медијана.

• Теорема: Нека CM_c е тежнишната линија до најдолгата страна c=AB на триаголникот ΔABC. Должината на CM_c е еднаква на ^c/₂ ако и само ако ΔABC е правоаголен триаголник. (Доколку триаголник нема најдолга страна, тој не е правоаголен.)

Доказ: Талесовата теорема („ако“) и инверзната Талесова теорема („само ако“).

Поврзани теми

• Триаголник
• Питагорова теорема, Косинусова теорема
• Рамностран триаголник, Рамнокрак триаголник
• Складност на триаголници, Сличност на триаголници
• Талесова теорема

Надворешни врски

• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен
• Предлошка:Наведена мрежна страницаПредлошка:Мртва врска интерактивен</ref>
• Предлошка:Наведена мрежна страница интерактивен