Преглед на кодот на Проблем на Фањано

[[Податотека:Fagnano_problem.svg|мини| Ортичен триаголник: <math>\triangle DEF </math><br /><br /> <nowiki></nowiki> впишани триаголници: <math>\triangle DEF \, , \, \, \triangle GHI </math> <br /> <br /> <nowiki> </nowiki> <math> \overline{DE}+\overline{EF}+\overline{FD}\leq \overline{GH}+\overline{HI}+\overline{IG} </math>]]
Во [[Геометрија|геометријата]], '''проблемот на Фањано''' е проблем за [[Математичка оптимизација|оптимизација]] што првпат бил формулиран од [[Џовани Фањано]] во 1775 година:
{{Цитат|За даден [[остроаголен триаголник]] да се определи впишаниот во него триаголник со најмал [[периметар]].}}
Решението е [[Висина на триаголник|ортичниот триаголник]], со темиња во основите на [[Висина на триаголник|висините]] на дадениот триаголник.

== Решение ==
[[Висина на триаголник|Ортичниот триаголник]], чии темиња се подножјата на [[Висина на триаголник|висините]] на дадениот триаголник, има најмал периметар од сите триаголници впишани во остроаголен триаголник. Оттука тој е решението на проблемот на Фањано. Во оригиналниот доказ Фањано користел методи од [[Инфинитезимално сметање|калкулусот]] и меѓурезултат даден од неговиот татко Џулио Карло де Тоски ди Фањано. Меѓутоа, подоцна биле откриени и неколку геометриски докази, меѓу другите од [[Херман Шварц]] и [[Липот Фејер]]. Во овие докази се користат геометриските својства на рефлексиите (осните симетрии) за да се определи некоја минимална патека која е еднаква на периметарот.

== Физички принципи ==
Решението кое доаѓа од физиката се заснова на претпоставка дека се става гумена лента која го исполнува [[Хуков закон|Хуковиот закон]] околу трите страни на триаголна рамка <math>ABC</math>, така што таа да може непречено да се лизга. Положбата во која еластичната енергија на гумената лента е минимална е положбата во која е минимална и нејзината вкупна должина. Оваа положба го дава триаголникот со минимален периметар. Напнатоста во внатрешноста на гумената лента е иста насекаде во гумената лента, така што во нејзината положба на мирување, според теоремата на Лами, имаме: <math>\angle bcA = \angle acB, \angle caB = \angle baC, \angle abC = \angle cbA</math>
[[Податотека:Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg|мини|279x279пкс| Триаголникот ''abc'' е ортичен триаголник на триаголникот ''ABC'']]
Затоа, триаголникот со минимален периметар е ортичниот триаголник.

== Поврзано ==
* [[Проблем TSP со множества]] - поопшта задача за најкратка патека за посета на секое од семејството множества

== Наводи ==
* Хајнрих Дери: ''100 големи проблеми на елементарната математика: нивната историја и решенија''. Публикации Довер 1965 година, стр. 359-360, проблем 90 ([https://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA359&vq=fagnano&source=gbs_search_r&cad=1_1 ограничена онлајн верзија (Книги на Google)] )
* Пол Џ. Нахин: ''Кога најмалку е најдобро: Како математичарите откриле многу паметни начини да ги направат работите што е можно помали (или поголеми)''. Издание на Универзитетот Принстон 2004 година,{{ISBN|0-691-07078-4}}, стр.67
* Коксетер, Х.С.М.; Грајцер, С.Л.: ''Повторна посета на геометријата''. Вашингтон, ДЦ: Американска математичка асоцијација 1967, стр.88-89.
* H.A. Schwarz : ''Gesammelte Mathematische Abhandlungen, кн.'' ''2'' . Берлин 1890, стр. 344-345 ([https://archive.org/stream/gesammeltemathem02schwuoft#page/344/mode/2up онлајн] во Интернет архивата, германски)

== Надворешни врски ==
* [https://www.cut-the-knot.org/triangle/Fagnano.shtml Проблемот на Фањано на cut-the-knot]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fagnano_problem Проблемот на Фањано] во Encyclopedia of Mathematics
* [https://web.archive.org/web/20120705102919/http://www.pballew.net/orthocen.html Проблемот на Фањано на website за геометрија на триаголник] 
* {{MathWorld|urlname=FagnanosProblem|title=Fagnano's problem}}

[[Категорија:Геометрија на триаголникот]]