Проблем на Фањано

Ортичен триаголник: $\mathrm{△}DEF$

впишани триаголници: $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}GHI$

$\overline{DE}+\overline{EF}+\overline{FD}\le \overline{GH}+\overline{HI}+\overline{IG}$

Во геометријата, проблемот на Фањано е проблем за оптимизација што првпат бил формулиран од Џовани Фањано во 1775 година: Предлошка:Цитат Решението е ортичниот триаголник, со темиња во основите на висините на дадениот триаголник.

Решение

Ортичниот триаголник, чии темиња се подножјата на висините на дадениот триаголник, има најмал периметар од сите триаголници впишани во остроаголен триаголник. Оттука тој е решението на проблемот на Фањано. Во оригиналниот доказ Фањано користел методи од калкулусот и меѓурезултат даден од неговиот татко Џулио Карло де Тоски ди Фањано. Меѓутоа, подоцна биле откриени и неколку геометриски докази, меѓу другите од Херман Шварц и Липот Фејер. Во овие докази се користат геометриските својства на рефлексиите (осните симетрии) за да се определи некоја минимална патека која е еднаква на периметарот.

Физички принципи

Решението кое доаѓа од физиката се заснова на претпоставка дека се става гумена лента која го исполнува Хуковиот закон околу трите страни на триаголна рамка $ABC$, така што таа да може непречено да се лизга. Положбата во која еластичната енергија на гумената лента е минимална е положбата во која е минимална и нејзината вкупна должина. Оваа положба го дава триаголникот со минимален периметар. Напнатоста во внатрешноста на гумената лента е иста насекаде во гумената лента, така што во нејзината положба на мирување, според теоремата на Лами, имаме: $\mathrm{\angle }bcA=\mathrm{\angle }acB,\mathrm{\angle }caB=\mathrm{\angle }baC,\mathrm{\angle }abC=\mathrm{\angle }cbA$

Триаголникот abc е ортичен триаголник на триаголникот ABC

Затоа, триаголникот со минимален периметар е ортичниот триаголник.

Поврзано

• Проблем TSP со множества - поопшта задача за најкратка патека за посета на секое од семејството множества

Наводи

• Хајнрих Дери: 100 големи проблеми на елементарната математика: нивната историја и решенија. Публикации Довер 1965 година, стр. 359-360, проблем 90 (ограничена онлајн верзија (Книги на Google) )
• Пол Џ. Нахин: Кога најмалку е најдобро: Како математичарите откриле многу паметни начини да ги направат работите што е можно помали (или поголеми). Издание на Универзитетот Принстон 2004 година,Предлошка:ISBN, стр.67
• Коксетер, Х.С.М.; Грајцер, С.Л.: Повторна посета на геометријата. Вашингтон, ДЦ: Американска математичка асоцијација 1967, стр.88-89.
• H.A. Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen, кн. 2 . Берлин 1890, стр. 344-345 (онлајн во Интернет архивата, германски)

Надворешни врски

• Проблемот на Фањано на cut-the-knot
• Проблемот на Фањано во Encyclopedia of Mathematics
• Проблемот на Фањано на website за геометрија на триаголник
• Предлошка:MathWorld