Преглед на кодот на Теорема за прости броеви

Во [[математика]]та '''теоремата за простите броеви''' (ТПБ) ја опишува  распределбата на [[Прост број|простите броеви]] меѓу позитивните цели броеви. Со оваа теорема се формализира интуитивната идеја дека простите броеви како што се зголемуваат стануваат сè поретки и со неа се дава асимптотска оценка на брзината со која тоа се случува. Теоремата била докажана независно од Жак Адамар<ref name="Hadamard1896">{{Наведување|last=Hadamard|first=Jacques|author-link=Jacques Hadamard|year=1896|title=Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques.|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|publisher=Société Mathématique de France|volume=24|pages=199–220|url=http://www.numdam.org/item/?id=BSMF_1896__24__199_1|archiveurl=https://web.archive.org/web/20240910153636/http://www.numdam.org/item/?id=BSMF_1896__24__199_1|archivedate=2024-09-10}}</ref> и Шарл Жан де ла Вале Пусен<ref name="de la Vallée Poussin1896">{{Наведување|last=de la Vallée Poussin|first=Charles-Jean|author-link=Charles Jean de la Vallée Poussin|year=1896|title=Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers.|journal=Annales de la Société scientifique de Bruxelles|publisher=Imprimeur de l'Académie Royale de Belgique|volume=20 B; 21 B|pages=183-256, 281-352, 363-397; 351-368|url=http://sciences.amisbnf.org/fr/livre/recherches-analytiques-de-la-theorie-des-nombres-premiers}}</ref> во 1896 година со користење на идеи воведени од [[Бернхард Риман|Бернард Риман]] (најмногу Римановата зета функција).

Првата таква пронајдена распределба е {{Мат|''π''(''N'') ~ {{sfrac|''N''|ln(''N'')}}}}, каде што {{math|''π''(''N'')}} е функцијата за броење на прости броеви (бројот на прости броеви помали или еднакви на ''N''), а {{math|ln(''N'')}} е [[Природен логаритам|природниот логаритам]] на ''N''. Ова значи дека за доволно голем ''N'', [[веројатност]]а дека произволен број кој не е поголем од ''N'' да е прост е многу блиску до {{math|1 / ln(''N'')}}. Следствено, произволен број со најмногу {{math|2''n''}} цифри (за доволно голем ''{{mvar|n}}'') има приближно половина поголема веројатност да биде прост од произволен цел број со најмногу ''{{mvar|n}}'' цифри. На пример, меѓу позитивните цели броеви со најмногу 1000 цифри, околу еден од 2300 е прост ({{math|log(10<sup>1000</sup>) ≈ 2302,6}}), додека кај позитивните цели броеви со најмногу 2000 цифри, околу еден од 4600 е прост ({{math|log(10<sup>2000</sup>) ≈ 4605,2}}). Со други зборови, просечното растојание помеѓу  два последователни прости броја меѓу првите ''N'' цели броеви е приближно {{math|ln(''N'')}}<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/manwholovedonlyn00hoff/page/227|title=The Man Who Loved Only Numbers|last=Hoffman|first=Paul|publisher=Hyperion Books|year=1998|isbn=978-0-7868-8406-3|location=New York|page=[https://archive.org/details/manwholovedonlyn00hoff/page/227 227]|mr=1666054|url-access=registration}}</ref>.

== Теорема ==
[[Податотека:Prime_number_theorem_ratio_convergence.svg|мини|300x300пкс| График кој го прикажува односот на функцијата за броење прости броеви {{Мат|''π''(''x'')}} до две нејзини апроксимации, {{Мат|''x'' / log ''x''}} и {{Мат|Li(''x'')}} . Како што се зголемува {{Мпром|x}} (оската {{Мпром|x}} е логаритамска), и двата соодноси се стремат кон 1. Односот за {{Мат|''x'' / log ''x''}} конвергира одозгора многу бавно, додека односот за {{Мат|Li(''x'')}} се конвергира побрзо одоздола.]]
[[Податотека:Prime_number_theorem_absolute_error.svg|мини|300x300пкс| Приказ на log-log кој покажува апсолутна грешка на {{Мат|''x'' / log ''x''}} и {{Мат|Li(''x'')}}, две апроксимации на функцијата за броење прости {{Мат|''π''(''x'')}}. За разлика од соодносот, разликата помеѓу {{Мат|''π''(''x'')}} и {{Мат|''x'' / log ''x''}} се зголемува без ограничување додека {{Мпром|x}} се зголемува. Од друга страна, {{Мат|Li(''x'') − ''π''(''x'')}} го менуваат знакот бесконечно многу пати.]]
Нека {{Мат|''π''(''x'')}} е функцијата за броење на прости броеви и ја дефинираме како број на прости броеви помали или еднакви на {{Мпром|x}} за произволен реален број {{Мпром|x}} . На пример, {{Мат|''π''(10) {{=}} 4}} бидејќи има четири прости броја (2, 3, 5 и 7) помали или еднакви на 10. Според теоремата за простите броеви следува дека {{Мат|''x'' / ln ''x''}} е добра апроксимација на {{Мат|''π''(''x'')}} (со {{math|ln(''x'')}} е означен природниот логаритам од ''x''), во смисла дека [[Гранична вредност на функција|граничната вредност]] на ''количникот'' на двете функции {{Мат|''π''(''x'')}} и {{Мат|''x'' / ln ''x''}} кога {{Мпром|x}} се зголемува неограничено е еднаква на 1:

: <math>\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)} {\frac{x}{\ln (x)}}=1,</math>

познат како '''асимптотски закон за распределба на простите броеви'''. Користејќи асимптотска нотација, овој резултат може да се запише како

: <math>\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}.</math>

Оваа ознака и теоремата ''не'' кажуваат ништо за лимесот на ''разликата'' на двете функции кога {{Мпром|x}} се зголемува без ограничување. Наместо тоа, теоремата наведува дека {{Мат|''x'' / ln ''x''}} се приближува кон {{Мат|''π''(''x'')}}, односно дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 додека {{Мпром|x}} се неограничено расте.

ТПБ е еквивалентна со тврдењето дека: {{Мпром|n}} -тиот прост број {{Мпром|p<sub>n</sub>}} задоволува

: <math>p_n \sim n \ln (n),</math>

при што асимптотската нотација значи, повторно, дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 кога {{Мпром|n}} неограничено расте. На пример, {{val|2|e=17}}-тиот прост број е {{val|8512677386048191063}},<ref>{{Наведена мрежна страница|url=http://primes.utm.edu/curios/cpage/24149.html|title=Prime Curios!: 8512677386048191063|date=2011-10-09|work=Prime Curios!|publisher=University of Tennessee at Martin}}</ref> и ({{val|2|e=17}})ln({{val|2|e=17}}) се заокружува на   7.957.418.752.291.744.388; релативната грешка е околу 6,4%.

Од друга страна, следниве асимптотски релации се логички еквивалентни:<ref name="Apostol76">{{Наведена книга|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5579-4#about|title=Introduction to Analytic Number Theory|last=Apostol|first=Tom M.|publisher=Springer|year=1976|isbn=978-1-4757-5579-4|edition=1|series=Undergraduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-1-4757-5579-4|author-link=Tom M. Apostol}}</ref> {{Rp|80–82}}

: <math>\begin{align}
  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}&=1,
  \\
  \text{ и}
  \\
  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)\ln \pi(x)}{x}\,&=1.
\end{align}
</math> {{R|Apostol76}}

Како што е наведено подолу, ТПБ е исто така еквивалентна на

: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\vartheta(x)\;}x = \lim_{x\to\infty}\frac{\;\psi(x)\;}x = 1,</math>

каде {{Мпром|{{not a typo|ϑ}}}} и {{Мпром|ψ}} се првата и втората функција на Чебишев, соодветно.

Исто така, ТПБ е еквивалентна на <ref name="Apostol76" /> {{Rp|92–94}}

: <math>\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{M(x)}{x} =1,
</math>

каде <math>M(x)=\sum_{n \leq x} \mu(n)</math> е функцијата Мертенс.

== Историја на доказот на асимптотскиот закон на простите броеви ==
Според претпоставките од Антон Фелкел и Јуриј Вега, Адриен-Мари Лежандр во 1797 (или 1798) година претпоставил дека {{Мат|''π''(''a'')}} е апроксимирана со функцијата {{Мат|''a'' / (''A'' ln ''a'' + ''B'')}}, каде што {{Мпром|A}} и {{Мпром|B}} се неодредени константи. Toj подоцна (1808) во второто издание на неговата книга за теоријата на броеви) направил попрецизна претпоставка фиксирајќи ги {{Мпром|A}} и {{Мпром|B}}, со {{Мат|''A'' {{=}} 1}} и {{Мат|''B'' {{=}} −1,08366}}. [[Карл Фридрих Гаус|Карл Гаус]] го разгледувал истото прашање на 15 години „во 1792 или 1793 година“, според неговото сеќавање од 1849 година.<ref>{{Наведување|last=Gauss|first=C. F.|author-link=Carl Friedrich Gauss|year=1863|title=Werke|publisher=Teubner|place=Göttingen|edition=1st|volume=2|pages=444–447|url=https://archive.org/details/carlfriedrichgu00gausgoog/page/444/mode/2up}}.</ref> Во 1838 година, [[Густав Лежен Дирихле|Дирихле]] смислил своја сопствена апроксимативна функција, логаритамскиот интеграл {{Мат|li(''x'')}} (под малку поинаква форма, која му ја соопштил на Гаус). И формулата на Лежандр и онаа на Дирихле, ја подразбираат истата претпоставена асимптотска еквиваленција на {{Мат|''π''(''x'')}} и {{Мат|''x''/ln(''x'')}} наведена погоре, иако се покажало дека апроксимацијата на Дирихле е значително подобрa ако се земат предвид разликите наместо количниците.

Во два труда издадени во 1848 и 1850 година, рускиот математичар [[Пафнутиј Чебишов|Чебишев]] се обидел да го докаже законот за распределба на простите броеви. Во неговиот труд е забележлива употребата на зета функцијата {{Мат|''ζ''(''s'')}} за реалните вредности на аргументот „{{Мпром|s}}“, како и во делата на [[Леонард Ојлер|Ојлер]], од дури 1737 година. Трудовите на Чебишев биле напишани пред мемоарите на Риман од 1859 година и тој успеал да докаже послаба форма на законот. Имено, ако кога {{Мпром|x}} оди кон бескрајност, лимесот од {{Мат|''π''(''x'') / (''x'' / ln(''x''))}} воопшто постои, тогаш тој мора да е еднаков на еден.<ref>{{Наведено списание|last=Costa Pereira|first=N.|date=August–September 1985|title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem|journal=American Mathematical Monthly|volume=92|issue=7|pages=494–495|doi=10.2307/2322510|jstor=2322510}}</ref> Тој успеал да докаже дека овој однос е ограничен од горе и долу со 0,92129 и 1,10555, за сите доволно големи {{Мпром|x}}.<ref>{{Наведено списание|last=Nair|first=M.|date=February 1982|title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes|journal=American Mathematical Monthly|volume=89|issue=2|pages=126–129|doi=10.2307/2320934|jstor=2320934}}</ref><ref name="Goldfeld Historical Perspective">{{Наведена книга|title=Number theory (New York, 2003)|last=Goldfeld|first=Dorian|publisher=Springer-Verlag|year=2004|isbn=978-0-387-40655-8|editor-last=Chudnovsky|editor-first=David|location=New York|pages=179–192|chapter=The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective|doi=10.1007/978-1-4419-9060-0_10|mr=2044518|editor-last2=Chudnovsky|editor-first2=Gregory|editor-last3=Nathanson|editor-first3=Melvyn|chapter-url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf}}</ref> Иако трудот на Чебишев не ја докажал теоремата за прости броеви, неговите проценки за {{Мат|''π''(''x'')}} биле доволни за тој да го докаже постулатот на Бертран: за секој цел број {{Мат|''n'' ≥ 2}}, постои прост број помеѓу {{Мат|''n''}} и {{Мат|2''n''}}.

Еден од најзначајните трудови околу дистрибуцијата на простите броеви бил мемоарoт на Риман од 1859 година „Бројот на прости броеви помали од дадена вредност“. Ова бил единствениот труд што тој некогаш го напишал и бил поврзан со оваа тема. Риман таму вовел нови идеи - ја поврзал распределбата на простите броеви со нулите на аналитичкото проширување на Римановата зета-функција од комплексна променлива. Конкретно, токму во тој труд првпат е изнесена идејата да се применат методи од [[комплексна анализа|комплексната анализа]] за проучување на реалната функција {{Мат|''π''(''x'')}}. Проширувајќи ги идеите на Риман, во истата година (1896) Жак Адамар<ref name="Hadamard1896" /> и Шарл Жан де ла Вале Пусен<ref name="de la Vallée Poussin1896" />, независно еден од друг, објавиле два доказа за асимптотскиот закон за распределбата на простите броеви. И двајцата користеле методи од комплексната анализа, и како главен чекор го користеле резултатот дека Римановата зета функција {{Мат|''ζ''(''s'')}} е различна од нула за сите комплексни вредности на променливата {{Мпром|s}} кои се од облик {{Мат|''s'' {{=}} 1 + ''it''}}, каде {{Мат|''t'' > 0}} .<ref>{{Наведена книга|title=The Distribution of Prime Numbers|last=Ingham|first=A. E.|publisher=Cambridge University Press|year=1990|isbn=978-0-521-39789-6|pages=2–5}}</ref>

Во XX век, теоремата на Aдамар и на де ла Вале Пусен станала позната и како Теорема на простите броеви. Постојат неколку различни докази за таа теорема, вклучувајќи ги и „елементарните“ докази на Алте Селберг<ref name="Selberg1949">{{Наведување|last=Selberg|first=Atle|title=An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem|journal=[[Annals of Mathematics]]|year=1949|volume=50|number=2|pages=305–313|doi=10.2307/1969455|mr=0029410|jstor=1969455}}</ref> и на [[Пал Ердеш|Пол Ердош]]<ref name="Erdős1949">{{Наведување|last=Erdős|first=Paul|author-link=Paul Erdős|date=1949-07-01|title=On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|publisher=National Academy of Sciences|place=U.S.A.|volume=35|number=7|pages=374–384|doi=10.1073/pnas.35.7.374|pmid=16588909|pmc=1063042|bibcode=1949PNAS...35..374E|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1949-02.pdf}}</ref> (1949). Оригиналните докази на Адамар и на де ла Вале Пусен се долги и детални. Иако во понатамошните докази биле воведени поедноставувања преку употребата на Тауберовите теореми, тие сепак останале тешко разбирливи. Краток доказ бил откриен во 1980 година од американскиот математичар Доналд Џеј Њуман.<ref>{{Наведено списание|last=Newman|first=Donald J.|year=1980|title=Simple analytic proof of the prime number theorem|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=87|issue=9|pages=693–696|doi=10.2307/2321853|jstor=2321853|mr=0602825}}</ref><ref name=":0">{{Наведено списание|last=Zagier|first=Don|year=1997|title=Newman's short proof of the prime number theorem|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/newmans-short-proof-of-the-prime-number-theorem|journal=American Mathematical Monthly|volume=104|issue=8|pages=705–708|doi=10.2307/2975232|jstor=2975232|mr=1476753|access-date=2024-11-15|archive-date=2021-04-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20210420035204/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/newmans-short-proof-of-the-prime-number-theorem|url-status=dead}}</ref> Њумановиот доказ е наједноставниот познат доказ за теоремата, иако во него се користи интегралната теорема на Коши од комплексна анализа.

== Скица на доказот ==
Теренс Тао во едно предавање ја претсавил скицата на доказот.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://terrytao.wordpress.com/2014/12/09/254a-notes-2-complex-analytic-multiplicative-number-theory/|title=254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory|last=Tao|first=Terence|authorlink=Terence Tao|date=10 December 2014|work=Terence Tao's blog}}</ref> Како и повеќето докази за ТПБ, тој започнува со преформулирање на проблемот во помалку интуитивна, но подобро воведена функција за броење на прости броеви. Идејата е да се избројат простите броеви (или елементите на некое поврзано множество како што е множеството на степени на простите броеви) со ''тежини'' за да се дојде до функција со помазно асимптотско однесување. Најчеста таква генерализирана функција за броење е функцијата на Чебишев {{Мат|''ψ''(''x'')}}, дефинирана со

: <math>\psi(x) = \sum_{k \geq 1} \!\! \sum_\stackrel{p^k \le x,}{p \text{ е прост}} \!\!\!\! \ln p \; .</math>

Ова понекогаш се запишува како

: <math>\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n) \; ,</math>

каде {{Мат|''Λ''(''n'')}} е функцијата на фон Манголт

<math>\Lambda(n) = \begin{cases} \ln p & \mbox{ ако } n = p^k \text{ за некој прост број } p \text{ и цел број } k \ge 1, \\ 0 & \text{ во друг случај.} \end{cases}</math>

: <math>p_n \sim n\log(n),</math>

Сега е прилично лесно да се провери дали ТПБ е еквивалентна на тврдењето дека

: <math>\lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}{x} = 1 \; .</math>

Навистина, ова произлегува од леснo изводливите проценки

: <math>\psi(x) 
= \!\!\! \sum_\stackrel{p\le x}{p \text{ е прост}} \!\!\!\! \ln p \left\lfloor \frac{\ln x}{\ln p} \right\rfloor \le \!\!\!\! \sum_\stackrel{p\le x}{p \text{ e прост}} \!\!\!\! \ln x 
= \pi(x)\ln x</math>

и користејќи ја ознаката за големо {{Мпром|O}} за {{Мат|''ε'' > 0}} ,

: <math>\psi(x) 
\ge \!\!\!\!\sum_\stackrel{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}{p \text{ е прост}}\!\!\!\! \ln p 
\ge\!\!\!\!\sum_\stackrel{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}{p \text{ е прост}}\!\!\!\!(1-\varepsilon)\ln x
=(1-\varepsilon)\left(\pi(x)+O\left(x^{1-\varepsilon}\right)\right)\ln x \; .</math>

Понатаму треба да се најде добра репрезентација за {{Мат|''ψ''(''x'')}}. Може да се покаже дека {{Мат|''ζ''(''s'')}} е поврзана со фон Манголтовата функција {{Мат|''Λ''(''n'')}}, па оттука и со {{Мат|''ψ''(''x'')}}, преку релацијата

: <math>-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n = 1}^\infty \Lambda(n) \, n^{-s} \; .</math>

Од поврзаните својства на зета функцијата, користејќи ја Мелиновата трансформација и Пероновата формула, се покажува дека за нецел број {{Мпром|x}} важи равенката

: <math>\psi(x) = x \; - \; \log(2\pi) \; - \!\!\!\! \sum\limits_{\rho :\, \zeta(\rho) = 0} \frac{x^\rho}{\rho}</math>

каде што сумата е над сите тривијални и нетривијални нули на зета-функцијата. Оваа формула е една од таканаречените експлицитни формули на теоријата на броеви и веќе го сугерира на резултатот што сакаме да го добиеме. Бидејќи {{Мпром|x}} (се тврди дека е точниот асимптотски редослед на {{Мат|''ψ''(''x'')}} ) се појавува десно, проследена со асимптотски термини од понизок ред.

Следниот чекор вклучува проучување на нулите на зета-функцијата. Тривијалните нули −2, −4, −6, −8, ... може да се разгледуваат посебно:

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n\,x^{2n}} = -\frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{x^2}\right),</math>

кој исчезнува за доволно големи вредности на {{Мпром|x}}. Кога се разгледуваат нетривијалните нули на зета-функцијата, односно оние што се наоѓаат во областа 0≤Re(s)≤1, важно е да се забележи дека овие нули можат да предизвикаат нарушување на асимптотската распределба на простите броеви. Нетривијалните нули, имено оние на делот {{Мат|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1}}, можат да бидат од асимптотски ред споредлив со главниот член {{Мпром|x}} ако {{Мат|Re(''ρ'') {{=}} 1}}, така што треба да покажеме дека сите нули имаат реален дел строго помал од 1.

=== Кога {{Мат|Re(''s'') {{=}} 1}} ===
Земаме дека {{Мат|''ζ''(''s'')}} е мероморфен во полурамнината {{Мат|Re(''s'') > 0}}, и е аналитички таму, освен за едноставен пол на {{Мат|''s'' {{=}} 1}}, и дека постои формула за производ

: <math>\zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}} </math>

за {{Мат|Re(''s'') > 1}}. Оваа формула за производ е заснована на единственоста на простата факторизација на целите броеви. Таа покажува дека ζ(s) не може да биде нула во овој регион, со што логаритамот на ζ(s) е добро дефиниран во тој дел од комплексната рамнина и може да се користи за натамошни анализи.

: <math>\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{ ако } n = p^k \text{ за некој прост } p \text{ и цел број } k \ge 1, \\ 0 & \text{ во друг случај.} \end{cases}</math>

Запишете {{Мат|''s'' {{=}} ''x'' + ''iy''}} ; тогаш

: <math>\begin{align}
\log n + \log\log n - 1 \; &< \; \frac{p_n}{n} &&\text{ for } n \ge 2 \;, \text{  and }\\
\frac{p_n}{n} \; &< \; \log n + \log \log n - 0.9484 && \text{ for } n \ge 39017 \; .
\end{align}</math>

Сега го набљудуваме идентитетот

: <math> 3 + 4 \cos \phi+ \cos 2 \phi = 2 ( 1 + \cos \phi )^2\ge 0 \; ,</math>

така што

: <math>\log\zeta(s)=-\sum_p\log \left(1-p^{-s} \right)=\sum_{p,n}\frac{p^{-ns}}{n} \; .</math>

за сите {{Мат|''x'' > 1}}. Да претпоставиме дека {{Мат|''ζ''(1 + ''iy'') {{=}} 0}}. Секако {{Мпром|y}} не е еднаков на нула, бидејќи {{Мат|''ζ''(''s'')}} има едноставен пол кога {{Мат|''s'' {{=}} 1}}. Сега, да претпоставиме дека {{Мат|''x'' > 1}} и нека {{Мпром|x}} се доближува одозгора кон 1. Меѓутоа, ова води до контрадикција, бидејќи тоа би значело дека функцијата <math>\zeta(s)</math> не е аналитичка во таа точка, што го нарушува условот за аналитичност во регионот каде што {{Мат|''s'' {{=}} 1}} и {{Мат|''ζ''(''x'' + 2''iy'')}}. Затоа, претпоставката дека ζ(1+iy)=0 мора да биде погрешна.

Конечно, можеме да заклучиме дека теоријата за простите броеви (ТПБ) е хевристички точна. Меѓутоа, за да се комплетира доказот, преостануваат значајни технички предизвици. Главниот проблем произлегува од тоа што собирањето на зета-нули во експлицитната формула за {{Мат|''ψ''(''x'')}} не е апсолутно конвергентно, туку само условно и во смисла на „главна вредност“. Постојат неколку начини околу овој проблем, но многу од нив бараат прилично деликатни комплексно-аналитички проценки. Книгата на Едвардс <ref>{{Наведена книга|title=Riemann's zeta function|last=Edwards|first=Harold M.|publisher=Courier Dover Publications|year=2001|isbn=978-0-486-41740-0|author-link=Harold Edwards (mathematician)}}</ref> ги дава деталите. Друг метод е да се користи Тауберовата теорема на Икехара, иако оваа теорема сама по себе е доста тешко да се докаже. Њуман забележал дека целосната сила на теоремата на Икехара не е потребна за теоремата за прости броеви и може да се извлече со посебен случај што е многу полесно да се докаже.

== Њумановиот доказ за теоремата за прости броеви ==
Д. Џ. Њуман дава краток доказ за теоремата за прости броеви. Доказот е „неелементарен“ поради тоа што се потпира на комплексна анализа, но користи само елементарни техники од првиот курс по предметот: интегралната формула на Коши, интегралната теорема на Коши и проценките на сложените интеграли. Видете <ref name=":0"/> за целосни детали.

Доказот ги користи истите основни претпоставки како во претходниот дел, но со замената на функцијата <math display="inline">\psi</math>, со<math display="inline">
\quad \vartheta(x) = \sum_{p\le x} \log p</math>. Оваа функција се добива со исфрлање на некои термини од <math display="inline">\psi</math> . Слично од претходно, може да се покаже дека {{Мат|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'') ≤ ''π''(''x'')log ''x''}} и {{Мат|''ϑ''&hairsp;&hairsp;(''x'') ≥ (1 - ''ɛ'')(''π''(''x'') + O(''x''<sup>&hairsp;1-''ɛ''</sup>))log ''x''}} за секој {{Мат|0 < ''ɛ'' < 1}}.Од овие проценки следува дека<math>\lim _{x \to \infty} \vartheta(x)/x = 1</math> и теоремата се еквивалентни. Важно е да се забележи дека <math>
 \Phi(s)
</math> и <math>
 -\zeta'(s)/\zeta(s)
</math> се разликуваат само по една холоморфна функција на правата <math>\Re s = 1</math>. Бидејќи <math>\zeta(s)</math> нема нули, а <math>
\Phi(s) - \frac 1{s-1}
</math> нема сингуларитети кога <math>\Re s = 1</math>. Ова својство е важно за користење на функцијата <math>
 \Phi(s)
</math> во анализата на распределбата на простите броеви.

Клучна информација за доказот на Њумен, која е основа за проценките во неговиот едноставен метод, е дека изразот <math>\vartheta(x)/x</math> е ограничен. Неговиот пристап користи елементарни техники, но е извонредно моќен, бидејќи обезбедува основна контрола врз растот на функцијата ϑ(x) во однос на x. Ова се докажува со помош на генијален и лесен метод поради Чебишев.

Интегрирање по делови ја покажува поврзаноста на <math>\vartheta(x)</math> и <math>\Phi(s)</math>. За <math>\Re s > 1</math> ,

: <math>
\Phi(s) = \int _1^\infty x^{-s} d\vartheta(x) = s\int_1^\infty \vartheta(x)x^{-s-1}\,dx = s \int_0^\infty \vartheta(e^t) e^{-st} \, dt.
</math>

Њумановиот метод ја докажува ТПБ со прикажување на интегралот

: <math>
I = \int_0 ^\infty \left( \frac{\vartheta(e^t)}{e^t} -1 \right) \, dt.
</math>

конвергира, што имплицира дека интеграндот мора да оди кон нула кога <math>t \to \infty</math>, што е бараната теорема. Генерално,  конвергенцијата на еден неправилен интеграл не гарантира дека интеграндот оди на нула во бесконечност, бидејќи интеграндот може да осцилира, ова не е проблем тука. Бидејќи <math>\vartheta</math> се зголемува, лесно е да се прикаже во овој случај.

За да се прикаже конвергентноста на <math>
I
</math>, за <math>\Re z > 0</math> нека

: <math>
g_T(z) = \int_0^T f(t) e^{-zt}\, dt
</math> и <math>
g(z) = \int_0^\infty f(t) e^{-zt}\, dt
</math> каде <math>
f(t) = \frac {\vartheta(e^t)}{e^t} -1
</math>

За прецизно да се каже, нека {{Мат|''F'' {{=}} GF(''q'')}} е конечното поле со {{Мпром|q}} елементи, за некои фиксен {{Мпром|q}}, и нека {{Мпром|N<sub>n</sub>}} е бројот на монични ''нередуцирани'' полиноми над {{Мпром|F}} чиј степен е еднаков на {{Мпром|n}} . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од {{Мпром|F}}, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

: <math>
\lim_{T \to \infty} g_T(z) = g(z) = \frac{\Phi(s)}{s} - \frac 1 {s-1} \quad \quad \text{where} \quad z = s -1
</math>

што е еднакво на функција холоморфна на правата <math>\Re z = 0</math> .

Ова важи за секој <math>R</math> така <math>\lim_{T \to \infty} g_T(0) = g(0)</math>, а следи ТПБ.

За прецизно да се каже, нека {{Мат|''F'' {{=}} GF(''q'')}} е конечното поле со {{Мпром|q}} елементи, за некои фиксен {{Мпром|q}}, и нека {{Мпром|N<sub>n</sub>}} е бројот на монични ''нередуцирани'' полиноми над {{Мпром|F}} чиј степен е еднаков на {{Мпром|n}} . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од {{Мпром|F}}, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

: <math>
g(0) - g_T(0) = \frac 1 {2 \pi i }\int_C \left( g(z) - g_T(z) \right ) \frac {dz} z = \frac 1 {2 \pi i }\int_C \left( g(z) - g_T(z) \right ) F(z)\frac {dz} z
</math>

каде <math>
 F(z) = e^{zT}\left( 1 + \frac {z^2}{R^2}\right)
</math> е фактор кој доаѓа од Њуман. Овој фактор не го менува интегралот.

: <math>
\limsup_{T \to \infty }|g(0) - g_T(0) | \le \frac {2 B} R.
</math>

и ова важи за секој <math>R</math>, па <math>\lim_{T \to \infty} g_T(0) = g(0)</math> и следи теоремата.

== Функција за броење на прости броеви во однос на логаритамскиот интеграл ==
Во белешка на трудот на Дирихле од 1838 година „ {{Јаз|fr|Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres}}</link> ", која му ја испратил по пошта на Гаус, претпоставува дека уште подобра апроксимација на {{Мат|''π''(''x'')}} е дадена со офсет логаритамската интегрална функција {{Мат|Li(''x'')}}, дефинирана со

: <math>\vartheta ( x )\log ( x ) + \sum\limits_{p \le x} {\log ( p )}\ \vartheta \left( {\frac{x}{p}} \right) = 2x\log ( x ) + O( x )</math>

Навистина, овој интеграл посочува на важната идеја дека „густината“ на простите броеви околу некое {{Мпром|t}} треба да биде приближно {{Мат|1 / log ''t''}} . Оваа функција е поврзана со логаритам со асимптотичко проширување

: <math>\big|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\big| = \Omega \left(\sqrt x\frac{\log\log\log x}{\log x} \right)</math>

Значи, ТПБ може да се запише и како {{Мат|''π''(''x'') ~ Li(''x'')}}. Во друг труд <ref name="de la Vallée Poussin1899">{{Наведување|last=de la Vallée Poussin|first=Charles-Jean|author-link=Charles Jean de la Vallée Poussin|year=1899|title=Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs a une limite donnée.|journal=Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique|publisher=Imprimeur de l'Académie Royale de Belgique|volume=59|pages=1–74|url={{Google Books|_O0GAAAAYAAJ|Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs a une limite donnée.|plainurl=yes}}}}</ref> во 1899 година, de la Vallée Poussin докажал дека

: <math> \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t} = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2). </math>

за некоја константа {{Мпром|a}} поголема од нула, каде што {{Мат|''O''(...)}} е големата ознака {{Мпром|O}}. Ова е подобрено на

: <math> \operatorname{Li}(x) \sim \frac{x}{\log x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\log x)^k} = \frac{x}{\log x} + \frac{x}{(\log x)^2} + \frac{2x}{(\log x)^3} + \cdots </math>

Труџијан покажал експлицитна горна граница за разликата меѓу <math>\pi(x)</math> и <math>\operatorname{li}(x)</math> :

: <math> \pi(x) = \operatorname{Li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math>

за <math>x \ge 229</math> .<ref>{{Наведено списание|last=Tim Trudgian|date=February 2016|title=Updating the error term in the prime number theorem|journal=Ramanujan Journal|volume=39|issue=2|pages=225–234|arxiv=1401.2689|doi=10.1007/s11139-014-9656-6}}</ref>

Врската помеѓу Римановата зета-функција и π(x) е клучна за теоријата на простите броеви, а една од главните причини зошто Римановата хипотеза има толку големо значење е тоа што ако се докаже, ќе обезбеди многу подобра проценка на грешката во врската помеѓу π(x) и x/logx отколку што е достапно денес. Поконкретно, Хелге фон Кох покажал во 1901 година <ref>{{Наведено списание|last=von Koch|first=Helge|year=1901|title=Sur la distribution des nombres premiers|trans-title=On the distribution of prime numbers|url=https://zenodo.org/record/2347595|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=24|issue=1|pages=159–182|doi=10.1007/BF02403071|mr=1554926|doi-access=free}}</ref> дека ако Римановата хипотеза е вистинита, терминот за грешка во горната релација може да се подобри на

: <math> \pi(x) = \operatorname{Li} (x) + O\left(\sqrt x \log x\right) </math>

(последново е всушност еквивалентно на Римановата хипотеза). Константата вклучена во {{Мпром|O}} била проценета во 1976 година од Ловел Шенфелд,<ref>{{Наведено списание|last=Schoenfeld|first=Lowell|year=1976|title=Sharper Bounds for the Chebyshev Functions {{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''x'')}} and {{math|''ψ''(''x'')}}. II|journal=Mathematics of Computation|volume=30|issue=134|pages=337–360|doi=10.2307/2005976|jstor=2005976|mr=0457374}}</ref> претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

: <math>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -\frac{A(\log x)^\frac35}{(\log \log x)^\frac15} \right) \right)</math> каде <math>A = 0.2098</math> .<ref name="Ford">{{Наведено списание|last=Kevin Ford|author-link=Kevin Ford (mathematician)|date=2002|title=Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function|url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf|journal=Proc. London Math. Soc.|volume=85|issue=3|pages=565–633|arxiv=1910.08209|doi=10.1112/S0024611502013655|access-date=2024-11-15|archive-date=2022-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220201134152/https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf|url-status=dead}}</ref>

за секој {{Мат|''x'' ≥ 2657}} . Исто така, тој извел граница за функцијата за броење прости броење на Чебишев {{Мпром|ψ}} :

: <math>\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}}
\exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.455} } \right)</math>

за секој {{Мат|''x'' ≥ 73.2}}&nbsp;. Се покажало дека оваа граница изразува варијанта на законот за степен и{{Ндроп| {{mvar|f}} }}&nbsp;бучава и исто така одговара на Твиди Поасон дистрибуција . (Дистрибуциите на Твиди претставуваат фамилија на непроменливи распределби на скалата кои служат како фокуси на конвергенција за генерализација на [[Централна гранична теорема|теоремата на централната граница]].<ref>{{Наведено списание|last=Jørgensen|first=Bent|last2=Martínez|first2=José Raúl|last3=Tsao|first3=Min|year=1994|title=Asymptotic behaviour of the variance function|journal=Scandinavian Journal of Statistics|volume=21|issue=3|pages=223–243|jstor=4616314|mr=1292637}}</ref>) Долна граница е изведена и од Ј.Е. Литлвуд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:<ref name="Littlewood1914">{{Наведување|first=J.E.|last=Littlewood|author-link=John Edensor Littlewood|year=1914|title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=[[Comptes Rendus]]|volume=158|pages=1869–1872|jfm=45.0305.01}}</ref><ref>{{Наведено списание|last=Hardy|first=G. H.|author-link=G. H. Hardy|last2=Littlewood|first2=J. E.|author-link2=John Edensor Littlewood|year=1916|title=Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02422942|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=41|pages=119–196}}</ref><ref>{{Наведена книга|title=Multiplicative Number Theory|last=Davenport|first=Harold|last2=Montgomery|first2=Hugh L.|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|year=2000|isbn=978-0-387-95097-6|edition=revised 3rd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=74|author-link=Harold Davenport|author-link2=Hugh Montgomery (mathematician)}}</ref>

: <math>\big|\pi(x) - \operatorname{li}(x)\big| < \frac{\sqrt x \log x}{8\pi}</math>

Логаритамскиот интеграл {{Мат|li(''x'')}} {{Мат|li(''x'')}} е поголем од {{Мат|''π''(''x'')}} за „мали“ вредности на {{Мпром|x}} . Тоа е затоа што не брои прости броеви, туку степени на прости броеви, каде што степенот {{Мпром|p{{sup|n}}}} на простиот {{Мпром|p}} се брои како{{Ндроп|1| {{mvar|n}} }} број. Ова сугерира дека {{Мат|li(''x'')}} обично треба да биде приближно поголем од {{Мат|''π''(''x'')}} <math>\ \tfrac{1}{2} \operatorname{li}(\sqrt{x})\ ,</math> а секогаш треба да биде поголем од {{Мат|''π''(''x'')}}. Во 1914 година, Џон Литлвуд докажал резултатот на разликата<math>\ \pi(x) - \operatorname{li}(x)\ </math> бескрајно променува знак.<ref name="Littlewood1914"/> Првата вредност на {{Мпром|x}} каде {{Мат|''π''(''x'')}} е поголема од {{Мат|li(''x'')}} е околу {{Мат|''x'' ~ {{10^|316}}}}. (Од друга страна, офсет логаритамски интеграл {{Мат|Li(''x'')}} е помал од {{Мат|''π''(''x'')}} веќе за {{Мат|''x'' {{=}} 2}} ; навистина, {{Мат|Li(2) {{=}} 0}}, додека {{Мат|''π''(2) {{=}} 1}} )

== Елементарни докази ==
Во 20-ти век, некои математичари верувале дека постои хиерархија на методи за докажување во математиката во зависност од тоа какви видови броеви ([[Цел број|цели броеви]], [[Реален број|реални]], [[Комплексен број|комплексни]]) бара доказот. Теоремата за прости броеви е „длабока“ теорема бидејќи бара [[комплексна анализа]].<ref name="Goldfeld Historical Perspective"/> Ова верување беше донекаде променето од доказот за ТПБ заснован на тавберовата теорема на Винер, иако доказот на Винер на крајот се потпира на својствата на функцијата Риманова зета на линијата. <math>\text{re}(s)=1</math>, каде што мора да се користи комплексна анализа.

Во март 1948 година, Атл Селберг ја воспоставил асимптотичната формула

: <math>\vartheta ( x ) = \sum\limits_{p \le x} {\log ( p )}</math>

каде

: <math> \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}\right) \; < \; \pi(x) \; < \; \frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2.51}{(\log x)^2}\right) \; .</math>

за прости броеви {{Мпром|p}}.<ref name="Selberg1949"/> Селберг и [[Пал Ердеш|Пол Ердос]] <ref name="Erdős1949"/> ја користеле формулата на Селберг како почетна точја и од таму добиле елементарни докази за ТПБ.<ref name="Goldfeld Historical Perspective"/><ref name="interview">{{Наведено списание|last=Baas|first=Nils A.|last2=Skau|first2=Christian F.|year=2008|title=The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics|url=https://www.ams.org/bull/2008-45-04/S0273-0979-08-01223-8/S0273-0979-08-01223-8.pdf|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=45|issue=4|pages=617–649|doi=10.1090/S0273-0979-08-01223-8|mr=2434348|doi-access=free}}</ref> Овие докази ефикасно ја поставиле идејата дека ТПБ е „длабок“ во таа смисла и покажале дека технички „елементарните“ методи се помоќни отколку што се верувало дека е случај. За историјата на елементарните докази на ТПБ, вклучувајќи го и спорот за приоритетот Ердос-Селберг, видете ја статијата на Доријан Голдфелд .<ref name="Goldfeld Historical Perspective" />

Постои одредена дебата за значењето на резултатот на Ердос и Селберг. Иако не користи комплексна анализа, таа е всушност многу по техничка од стандардниот доказ на ТПБ. Една можна дефиниција за „елементарен“ доказ е „онаа што може да се изведе во аритметика од прв ред Пеано “. Постојат теоретски искази на броеви кои се докажуваат со помош на методи од втор ред, но не со методи од прв ред, но таквите теореми се ретки до денес. Доказот на Ердос и Селберг секако може да се формализира во аритметиката Пеано, а во 1994 година, Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос докажале дека нивниот доказ може да се формализира во многу слаб дел од PA, имено {{Мат|''I''Δ<sub>0</sub> + exp}}.<ref>{{Наведено списание|last=Cornaros|first=Charalambos|last2=Dimitracopoulos|first2=Costas|year=1994|title=The prime number theorem and fragments of ''PA''|url=http://mpla.math.uoa.gr/~cdimitr/files/publications/AML_33.pdf|journal=Archive for Mathematical Logic|volume=33|issue=4|pages=265–281|doi=10.1007/BF01270626|mr=1294272|archive-url=https://web.archive.org/web/20110721083756/http://mpla.math.uoa.gr/~cdimitr/files/publications/AML_33.pdf|archive-date=2011-07-21}}</ref> Сепак, ова не го решава прашањето дали стандардниот доказ за ТПБ може да се формализира или не во PA.

: Нека <math>X</math> да биде компактен метрички простор, <math>T</math> континуирана само-мапа на <math>X</math>, и <math>\mu</math> а <math>T</math> -инваријантна Борелова мерка на веројатност за која <math>T</math> е уникатно ергодичен . Потоа, за секој <math>f\in C(X)</math> ,

<math display="block">\tfrac1N\sum_{n=1}^Nf(T^{\omega(n)}x)\to \int_Xf\,d\mu,\quad\forall x\in X.</math> За докажување на [[Pillai–Selberg theorem|теоремата Пилаи-Селберг]] и теоремата Ердс-Деланж може да се користат докази за резултати повразни со ТПБ

== Компјутерски проверки ==
Avigad ''et al.'' го употребил докажувачот на теоремата на Изабел во 2005 година за да осмисли компјутерски проверена варијанта на Ердос-Селберг доказ за ТПБ.<ref name="Avigad">{{Наведено списание|last=Avigad|first=Jeremy|last2=Donnelly|first2=Kevin|last3=Gray|first3=David|last4=Raff|first4=Paul|year=2008|title=A formally verified proof of the prime number theorem|journal=[[ACM Transactions on Computational Logic]]|volume=9|issue=1|pages=2|arxiv=cs/0509025|doi=10.1145/1297658.1297660|mr=2371488}}</ref> Ова бил првиот машински потврден доказ за ТПБ. Avigad избра да го формализира доказот Ердос-Селберг наместо аналитички бидејќи иако библиотеката на Изабел во тоа време можела да ги имплементира поимите на лимесот, дериват и трансцендентална функција, таа немала речиси никаква теорија на интеграција за која може да зборува.<ref name="Avigad" /> {{Rp|19}}

Во 2009 година, [[John Harrison (mathematician)|Џон Харисон]] употребил HOL Light за да го формализира доказот кој користи [[комплексна анализа]].<ref>{{Наведено списание|last=Harrison|first=John|year=2009|title=Formalizing an analytic proof of the Prime Number Theorem|url=http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/mikefest.html|journal=[[Journal of Automated Reasoning]]|volume=43|issue=3|pages=243–261|citeseerx=10.1.1.646.9725|doi=10.1007/s10817-009-9145-6|mr=2544285}}</ref> Со развивање на потребната аналитичка машинерија, вклучувајќи ја и интегралната формула на Коши, Харисон можел да формализира „директен, модерен и елегантен доказ наместо по инволвираниот „елементарен“ аргумент на Ердос-Селберг“.

== Теорема на прости броеви за аритметички прогресии ==
Нека {{Мат|''π''<sub>''d'',''a''</sub>(''x'')}} е бројот на прости броеви во [[Аритметичка прогресија|аритметичката прогресија]] {{Мат|''a'', ''a'' + ''d'', ''a'' + 2''d'', ''a'' + 3''d'', ...}} помали од {{Мпром|x}} . Дирихле и Лежандр претпоставувале, а де ла Вале Пусин докажал дека ако {{Мпром|a}} и {{Мпром|d}} се [[заемно прости броеви]], тогаш

: <math>\pi_{d,a}(x) \sim \frac{ \operatorname{Li}(x) }{ \varphi(d) } \ ,</math>

каде {{Мпром|φ}} е Ојлеровата функција. Односно, простите броеви се рамномерно распределени меѓу класите на остатоци {{Мат|[''a'']}} modulo {{Мпром|d}} кога a и {{Мпром|d}} се заемно прости броеви. Ова е посилно од теоремата на Дирихле за аритметички прогресии (која само вели дека има бесконечно прости броеви во секоја класа) и може да се докаже со користење на методи слични на оние што ги користел Њуман за докажување на ТПБ.<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=3A3AC2628B7212E6FC4392A189008AE7?doi=10.1.1.179.460&rep=rep1&type=pdf|title=A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions|last=Soprounov|first=Ivan|year=1998|publisher=[[Cleveland State University]]|citeseerx=10.1.1.179.460}}</ref>

Добра проценка за тоа како се распределни простите броеви во класите на остатоци дава Теоремата Зигел-Валфис.

Bennett ''et al'' <ref>{{Наведено списание|last=Bennett|first=Michael A.|last2=Martin|first2=Greg|last3=O'Bryant|first3=Kevin|last4=Rechnitzer|first4=Andrew|date=2018|title=Explicit bounds for primes in arithmetic progressions|journal=Illinois J. Math.|volume=62|issue=1–4|pages=427–532|arxiv=1802.00085|doi=10.1215/ijm/1552442669}}</ref> ја докажале следнава проценка која содржи константи {{Мпром|A}} и {{Мпром|B}} (теорема 1.3): Нека {{Мпром|d}} <math>\ge 3</math> биде цел број заемно прост со цел број {{Мпром|a}}. Тогаш има позитивни константи {{Мпром|A}} и {{Мпром|B}} такви што

: <math> \left | \pi_{d,a}(x) - \frac{\ \operatorname{Li}(x)\ }{\ \varphi(d)\ } \right | < \frac{A\ x}{\ (\log x)^2\ } \quad \text{ for all } \quad x \ge B\ ,</math>

каде {{Мат|''μ''(''k'')}} е функцијата Möbius. (Оваа формула му била позната на Гаус.) Главниот дел се јавува за {{Мат|''d'' {{=}} ''n''}}, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот [[Делител|вистински делител]] на {{Мпром|n}} не може да биде поголем од {{math|{{sfrac|''n''|2}}}}.

: <math> A = \frac{1}{\ 840\ } \quad \text{ if } \quad 3 \leq d \leq 10^4 \quad \text{ and } \quad A = \frac{1}{\ 160\ } \quad \text{ if } \quad d > 10^4 ~,</math>

Табелата ги споредува точните вредности на {{Мат|''π''(''x'')}} со двете приближувања {{Мат|''x'' / log ''x''}} и {{Мат|li(''x'')}} . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, {{Мат|''x'' / ''π''(''x'')}}, е просечниот прост размак под&nbsp;{{Мпром|x}} .

: <math>B = 8 \cdot 10^9 \quad \text{ if } \quad 3 \leq d \leq 10^5 \quad \text{ and } \quad B = \exp(\ 0.03\ \sqrt{d\ }\ (\log{d})^3 \ ) \quad \text{ if } \quad d > 10^5\ .</math>

=== Трка на прости броеви ===
[[Податотека:Chebyshev_bias.svg|мини|Дел на функцијата <math>\ \pi(x;4,3)-\pi(x;4,1) \ </math> за n&nbsp;≤&nbsp;30000]]
Иако имаме

: <math>\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x) ~,</math>

Табелата ги споредува точните вредности на {{Мат|''π''(''x'')}} со двете приближувања {{Мат|''x'' / log ''x''}} и {{Мат|li(''x'')}} . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, {{Мат|''x'' / ''π''(''x'')}}, е просечниот прост размак под&nbsp;{{Мпром|x}} .

: <math>\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x) ~,</math>

така што водството во трката се менува напред-назад бесконечно многу пати. Феноменот дека {{Мат|''π''<sub>4,3</sub>(''x'')}} е во најголем дел од времето се нарекува пристрасност на Чебишев. Пал Туран се прашувал дали секогаш се случува {{Мат|''π''(''x'';''a'',''c'')}} и {{Мат|''π''(''x'';''b'',''c'')}} да ги менуваат местата кога {{Мпром|a}} и {{Мпром|b}} се заемно прости на {{Мпром|c}}.<ref name="GuyA4">{{Наведена книга|title=Unsolved Problems in Number Theory|last=Guy|first=Richard K.|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=2004|isbn=978-0-387-20860-2|edition=3rd|at=A4|zbl=1058.11001|author-link=Richard K. Guy}}</ref> Гранвил и Мартин даваат темелно истражување на ова прашање.<ref name="Granville Martin MAA">
{{Наведено списание|last=Granville|first=Andrew|last2=Martin|first2=Greg|year=2006|title=Prime number races|url=http://www.dms.umontreal.ca/%7Eandrew/PDF/PrimeRace.pdf|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=113|issue=1|pages=1–33|doi=10.2307/27641834|jstor=27641834|mr=2202918}}</ref>
[[Податотека:Prime_race_of_last_digit_up_to_10000.png|мини|График на бројот на прости броеви што завршуваат на 1, 3, 7 и 9 до ''n'' за ''n'' < 10.000]]
Интересен феномен е распределбата на последната цифра од прости броеви. Освен 2 и 5, сите прости броеви завршуваат на 1, 3, 7 или 9. Според теоремата на Дирихле за прогресиите во аритметиката, 25% од сите прости броеви завршуваат на секоја од четирите цифри 1, 3, 7, или 9. Сепак, докази покажуваат дека бројот на прости броеви што завршуваат на 3 или 7 помали од ''n'' има тенденција да биде малку поголем од бројот на прости броеви што завршуваат на 1 или 9 помали од ''n.''<ref>{{Наведено списание|last=Lemke Oliver|first=Robert J.|last2=Soundararajan|first2=Kannan|date=2016-08-02|title=Unexpected biases in the distribution of consecutive primes|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=113|issue=31|pages=E4446-54|arxiv=1603.03720|bibcode=2016PNAS..113E4446L|doi=10.1073/pnas.1605366113|issn=0027-8424|pmc=4978288|pmid=27418603|doi-access=free}}</ref> Од тука се добива дека 1 и 9 се квадратни остатоци модуло 10, а 3 и 7 не се квадратни модуло 10.

== Неасимптотични граници на функцијата за броење прости броеви ==
Теоремата за прости броеви е ''асимптотички'' резултат. Неефективна граница на {{Мат|''π''(''x'')}} е добиена како директна последица на дефиницијата на границата: за {{Мат|''ε'' > 0}}, постои {{Мпром|S}} таков што за секој {{Мат|''x'' > ''S''}} ,

: <math> (1-\varepsilon)\frac {x}{\log x} \; < \; \pi(x) \; < \; (1+\varepsilon)\frac {x}{\log x} \; .</math>

Но, постојат и подобри граници на {{Мат|''π''(''x'')}}, на пример онаа на Пјер Дусарт

: <math>\frac {x}{\log x - (1 - \varepsilon)} \; < \; \pi(x) \; < \; \frac {x}{\log x - (1+\varepsilon)} \; .</math>

Левата неравенка важи за броеви {{Мат|''x'' ≥ 599}}, а десната за броеви {{Мат|''x'' ≥ 355991}} .

Доказот на Poussin ја подразбира следнава граница: За {{Мат|''ε'' > 0}}, постои {{Мпром|S}} такво што за сите {{Мат|''x'' > ''S''}} ,

: <math> \frac {x}{\log x + 2} \; < \; \pi(x) \; < \; \frac {x}{\log x - 4} \; .</math>

: <math>\begin{align}
\frac {x}{\log x - 1} \; &< \; \pi(x)          &&\text{ for } x \ge 5393 \;, \text{ and }\\
\pi(x)          &< \; \frac {x} {\log x - 1.1} &&\text{ for } x \ge 60184 \; .
\end{align}</math>

: <math>\begin{align}
\frac {x}{\log x - 1} \; &< \; \pi(x)          &&\text{ for } x \ge 5393 \;, \text{ and }\\
\pi(x)          &< \; \frac {x} {\log x - 1.1} &&\text{ for } x \ge 60184 \; .
\end{align}</math>

Може да се забележи дека првиот од овие го застарува условот {{Мат|''ε'' > 0}} на долната граница.

== Апроксимации за ''{{Мпром|n}}'' -тиот прост број ==
Последица на ТПБ е изразот за {{Мпром|n}} -тиот прост број, означен со {{Мат|''p''<sub>''n''</sub>}} :

: <math>p_n > n \log n.</math>

Подобра апроксимација е <ref>{{Наведено списание|last=Cesàro|first=Ernesto|author-link=Ernesto Cesàro|year=1894|title=Sur une formule empirique de M. Pervouchine|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30752|journal=Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences|language=fr|volume=119|pages=848–849}}</ref>

: <math>p_n \sim n \log n.</math> <ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://math.stackexchange.com/questions/1413167/why-is-p-n-sim-n-lnn|title=Why is pn∼nln(n)?|work=Mathematics Stack Exchange|language=en|accessdate=2024-10-11}}</ref>

За {{Вред|2|e=17}} -тиот прост број {{Вред|8512677386048191063}} дава проценка од {{Вред|8512681315554715386}}; првите 5 цифри се совпаѓаат и релативната грешка е околу 0,00005%.

Росеровата теорема го вели тоа

: <math>p_n > n \log n.</math>

Ова може да се подобри со следниве граници:<ref name="rosser">{{Наведено списание|last=Rosser|first=Barkley|author-link=J. Barkley Rosser|year=1941|title=Explicit bounds for some functions of prime numbers|journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume=63|issue=1|pages=211–232|doi=10.2307/2371291|jstor=2371291|mr=0003018}}</ref><ref>{{Наведено списание|last=Dusart|first=Pierre|author-link=Pierre Dusart|year=1999|title=The {{mvar|k}}th prime is greater than {{math|''k''(log ''k'' + log log ''k''−1)}} for {{math|''k'' ≥ 2}}|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=68|issue=225|pages=411–415|doi=10.1090/S0025-5718-99-01037-6|mr=1620223|doi-access=free}}</ref>

: <math> \frac{p_n}{n} = \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} - \frac{(\log\log n)^2 - 6 \log \log n + 11}{2(\log n)^2} + o \left( \frac {1}{(\log n)^2}\right).</math>

== Табела со {{Мат|''π''(''x'')}}, {{Мат|''x'' / log ''x''}} и {{Мат|li(''x'')}} ==
Табелата ги споредува точните вредности на {{Мат|''π''(''x'')}} со двете апроксимации. Колоните за разлика во апроксимациите се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на точните апроксимации. Во последната колона, {{Мат|''x'' / ''π''(''x'')}}, е претставен просечниот прост размак подолу&nbsp;{{Мпром|x}} .
{| class="wikitable col1left" style="text-align: right"
! rowspan="2" scope="col" |''{{mvar|x}}''
! rowspan="2" scope="col" |{{math|''π''(''x'')}}
! rowspan="2" scope="col" |{{math|''π''(''x'') − {{sfrac|''x''|log(''x'')}}}}
! rowspan="2" scope="col" |{{math|li(''x'') − ''π''(''x'')}}
! colspan="2" scope="colgroup" | % error
! rowspan="2" scope="col" |{{math|{{sfrac|''x''|''π''(''x'')}}}}
|-
! scope="col" |{{math|{{sfrac|''x''|log(''x'')}}}}
! scope="col" |{{math|li(''x'')}}
|-
|10
|4
|0
|2
|8.22%
|42.606%
|2.500
|-
|10<sup>2</sup>
|25
|3
|5
|14.06%
|18.597%
|4.000
|-
|10<sup>3</sup>
|168
|23
|10
|14.85%
|5.561%
|5.952
|-
|10<sup>4</sup>
|1,229
|143
|17
|12.37%
|1.384%
|8.137
|-
|10<sup>5</sup>
|9,592
|906
|38
|9.91%
|0.393%
|10.425
|-
|10<sup>6</sup>
|78,498
|6,116
|130
|8.11%
|0.164%
|12.739
|-
|10<sup>7</sup>
|664,579
|44,158
|339
|6.87%
|0.051%
|15.047
|-
|10<sup>8</sup>
|5,761,455
|332,774
|754
|5.94%
|0.013%
|17.357
|-
|10<sup>9</sup>
|50,847,534
|2,592,592
|1,701
|5.23%
|3.34{{e|−3}} %
|19.667
|-
|10<sup>10</sup>
|455,052,511
|20,758,029
|3,104
|4.66%
|6.82{{e|−4}} %
|21.975
|-
|10<sup>11</sup>
|4,118,054,813
|169,923,159
|11,588
|4.21%
|2.81{{e|−4}} %
|24.283
|-
|10<sup>12</sup>
|37,607,912,018
|1,416,705,193
|38,263
|3.83%
|1.02{{e|−4}} %
|26.590
|-
|10<sup>13</sup>
|346,065,536,839
|11,992,858,452
|108,971
|3.52%
|3.14{{e|−5}} %
|28.896
|-
|10<sup>14</sup>
|3,204,941,750,802
|102,838,308,636
|314,890
|3.26%
|9.82{{e|−6}} %
|31.202
|-
|10<sup>15</sup>
|29,844,570,422,669
|891,604,962,452
|1,052,619
|3.03%
|3.52{{e|−6}} %
|33.507
|-
|10<sup>16</sup>
|279,238,341,033,925
|7,804,289,844,393
|3,214,632
|2.83%
|1.15{{e|−6}} %
|35.812
|-
|10<sup>17</sup>
|2,623,557,157,654,233
|68,883,734,693,928
|7,956,589
|2.66%
|3.03{{e|−7}} %
|38.116
|-
|10<sup>18</sup>
|24,739,954,287,740,860
|612,483,070,893,536
|21,949,555
|2.51%
|8.87{{e|−8}} %
|40.420
|-
|10<sup>19</sup>
|234,057,667,276,344,607
|5,481,624,169,369,961
|99,877,775
|2.36%
|4.26{{e|−8}} %
|42.725
|-
|10<sup>20</sup>
|2,220,819,602,560,918,840
|49,347,193,044,659,702
|222,744,644
|2.24%
|1.01{{e|−8}} %
|45.028
|-
|10<sup>21</sup>
|21,127,269,486,018,731,928
|446,579,871,578,168,707
|597,394,254
|2.13%
|2.82{{e|−9}} %
|47.332
|-
|10<sup>22</sup>
|201,467,286,689,315,906,290
|4,060,704,006,019,620,994
|1,932,355,208
|2.03%
|9.59{{e|−10}} %
|49.636
|-
|10<sup>23</sup>
|1,925,320,391,606,803,968,923
|37,083,513,766,578,631,309
|7,250,186,216
|1.94%
|3.76{{e|−10}} %
|51.939
|-
|10<sup>24</sup>
|18,435,599,767,349,200,867,866
|339,996,354,713,708,049,069
|17,146,907,278
|1.86%
|9.31{{e|−11}} %
|54.243
|-
|10<sup>25</sup>
|176,846,309,399,143,769,411,680
|3,128,516,637,843,038,351,228
|55,160,980,939
|1.78%
|3.21{{e|−11}} %
|56.546
|-
|10<sup>26</sup>
|1,699,246,750,872,437,141,327,603
|28,883,358,936,853,188,823,261
|155,891,678,121
|1.71%
|9.17{{e|−12}} %
|58.850
|-
|10<sup>27</sup>
|16,352,460,426,841,680,446,427,399
|267,479,615,610,131,274,163,365
|508,666,658,006
|1.64%
|3.11{{e|−12}} %
|61.153
|-
|10<sup>28</sup>
|157,589,269,275,973,410,412,739,598
|2,484,097,167,669,186,251,622,127
|1,427,745,660,374
|1.58%
|9.05{{e|−13}} %
|63.456
|-
|10<sup>29</sup>
|1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
|23,130,930,737,541,725,917,951,446
|4,551,193,622,464
|1.53%
|2.99{{e|−13}} %
|65.759
|}
Вредноста за {{Мат|''π''(10<sup>24</sup>)}} првично била пресметана со претпоставување дека Римановата хипотеза важи;<ref name="Franke">{{Наведена мрежна страница|url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html|title=Conditional Calculation of {{math|''π''(10<sup>24</sup>)}}|publisher=Chris K. Caldwell|archive-url=https://web.archive.org/web/20100804004746/http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html|archive-date=2010-08-04|accessdate=2010-08-03}}</ref> оттогаш е потврдена безусловно.<ref name="PlattARXIV2012">{{Наведено списание|last=Platt|first=David|year=2015|title=Computing {{math|''π''(''x'')}} analytically|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=84|issue=293|pages=1521–1535|arxiv=1203.5712|doi=10.1090/S0025-5718-2014-02884-6|mr=3315519}}</ref>

== Аналогија за нередуцирани полиноми над конечно поле ==
Постои аналог на ТПБ што ја опишува „распределбата“ на несводливите полиноми над конечно поле; формата што ја има е неверојатно слична на случајот со класичната теорема за прости броеви.

Нека {{Мат|''F'' {{=}} GF(''q'')}} е конечно поле со {{Мпром|q}} елементи, за некој фиксни {{Мпром|q}}. Нека {{Мпром|N<sub>n</sub>}} е бројот на монични ''нередуцирани'' полиноми над {{Мпром|F}}, со степен {{Мпром|n}} . Односно, гледаме полиноми со коефициенти од {{Мпром|F}}, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Вака, полиномите ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се добиваат како производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

: <math>N_n \sim \frac{q^n}{n}.</math>

Да замениме со {{Мат|''x'' {{=}} ''q''<sup>''n''</sup>}}, тогаш десната страна е правилна

: <math>\frac{x}{\log_q x},</math>

што ја прави аналогијата појасна. Бидејќи има точно {{Мат|''q''<sup>''n''</sup>}} монични полиноми со {{Мпром|n}}-ти степен, ги вклучуваме и редуцираните, ова може да се реформулира во: ако моничен полином од степен {{Мпром|n}} е избран проивзолно, тогаш веројатноста тој да биде нередуциран е околу {{math|{{sfrac|1|''n''}}}}&nbsp;

Може дури и аналогот на Римановата хипотеза да се докаже, имено тоа

: <math>N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^\frac{n}{2}}{n}\right).</math>

Доказите за овие изјави се многу поедноставни отколку во класичниот случај. Секој елемент од степенот {{Мпром|n}} продолжување на {{Мпром|F}} е корен од некој нередуциран полином чиј степен {{Мпром|d}} го дели {{Мпром|n}}; со броење на овие корени на два различни начини се утврдува дека

: <math>q^n = \sum_{d\mid n} d N_d,</math>

каде сумата е за сите ''{{mvar|d}}'' делители на ''{{mvar|n}}'', Инверзијата на [[:en:Möbius inversion|Möbius]] тогаш повлекува

: <math>N_n = \frac{1}{n} \sum_{d\mid n} \mu\left(\frac{n}{d}\right) q^d,</math>

каде {{Мат|''μ''(''k'')}} е функцијата Möbius, веќе позната на Гаус. Главниот термин се јавува кога {{Мат|''d'' {{=}} ''n''}}, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот [[Делител|правилен делител]] на {{Мпром|n}} не може да биде поголем од  {{math|{{sfrac|''n''|2}}}}.

== Поврзано ==

* Апстрактна аналитичка теорија на броеви за информации за генерализации на теоремата.
* Ландау прости идеална теорема за генерализација на прости идеали во полињата со алгебарски броеви.
* Риманова хипотеза

== Цитати ==
{{Наводи|25em}}

== Наводи ==

* {{Наведено списание|last=Granville|first=Andrew|year=1995|title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers|url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf|journal=Scandinavian Actuarial Journal|volume=1|pages=12–28|citeseerx=10.1.1.129.6847|doi=10.1080/03461238.1995.10413946|access-date=2024-11-15|archive-date=2015-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20150923212842/http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf|url-status=dead}}
* {{Наведено списание|last=Hardy|first=G.H.|last2=Littlewood|first2=J.E.|author-link2=John Edensor Littlewood|year=1916|title=Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes|url=https://zenodo.org/record/2294397|journal=Acta Mathematica|volume=41|pages=119–196|doi=10.1007/BF02422942|doi-access=free}}
* {{Наведување|last=Hardy|first=G. H.|authorlink1=G. H. Hardy|last2=Wright|first2=E. M.|authorlink2=E. M. Wright|others=Revised by [[Roger Heath-Brown|D. R. Heath-Brown]] and [[Joseph H. Silverman|J. H. Silverman]], with a foreword by [[Andrew Wiles]]|title=An Introduction to the Theory of Numbers|edition=6th|publisher=Oxford University Press|place=Oxford|year=2008|origyear=1st ed. 1938|isbn=978-0-19-921985-8}}
* {{Наведување|last=Narkiewicz|first=Władysław|year=2000|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|publisher=Springer-Verlag|series=Springer Monographs in Mathematics|doi=10.1007/978-3-662-13157-2|isbn=978-3-540-66289-1|issn=1439-7382}}

== Надворешни врски ==

* {{SpringerEOM|title=Distribution of prime numbers|id=p/d033530}}
* [https://web.archive.org/web/20101115185805/http://www.scs.uiuc.edu/~mainzv/exhibitmath/exhibit/felkel.htm Table of Primes by Anton Felkel].
* [https://www.youtube.com/watch?v=3RfYfMjZ5w0 Short video] visualizing the Prime Number Theorem.
* [http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html Prime formulas] and [http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html Prime number theorem] at [[MathWorld]].
* [http://primes.utm.edu/howmany.shtml How Many Primes Are There?] {{Семарх|url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml |date=2012-10-15 }} Archived 2012-10-15 at the Wayback Machine and [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html The Gaps between Primes] by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
* [http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html Tables of prime-counting functions] by Tomás Oliveira e Silva
* Eberl, Manuel and Paulson, L. C. [https://www.isa-afp.org/entries/Prime_Number_Theorem.html The Prime Number Theorem (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)]
* [http://www.dimostriamogoldbach.it/en/prime-number-theorem-path/ The Prime Number Theorem: the "elementary" proof] −  An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at [http://www.dimostriamogoldbach.it/en/ www.dimostriamogoldbach.it/en/]

[[Категорија:Логаритми]]