Теорема за прости броеви

Во математиката теоремата за простите броеви (ТПБ) ја опишува распределбата на простите броеви меѓу позитивните цели броеви. Со оваа теорема се формализира интуитивната идеја дека простите броеви како што се зголемуваат стануваат сè поретки и со неа се дава асимптотска оценка на брзината со која тоа се случува. Теоремата била докажана независно од Жак Адамар и Шарл Жан де ла Вале Пусен во 1896 година со користење на идеи воведени од Бернард Риман (најмногу Римановата зета функција).

Првата таква пронајдена распределба е Предлошка:Мат, каде што Предлошка:Math е функцијата за броење на прости броеви (бројот на прости броеви помали или еднакви на N), а Предлошка:Math е природниот логаритам на N. Ова значи дека за доволно голем N, веројатноста дека произволен број кој не е поголем од N да е прост е многу блиску до Предлошка:Math. Следствено, произволен број со најмногу Предлошка:Math цифри (за доволно голем Предлошка:Mvar) има приближно половина поголема веројатност да биде прост од произволен цел број со најмногу Предлошка:Mvar цифри. На пример, меѓу позитивните цели броеви со најмногу 1000 цифри, околу еден од 2300 е прост (Предлошка:Math), додека кај позитивните цели броеви со најмногу 2000 цифри, околу еден од 4600 е прост (Предлошка:Math). Со други зборови, просечното растојание помеѓу два последователни прости броја меѓу првите N цели броеви е приближно Предлошка:Math.

Теорема

График кој го прикажува односот на функцијата за броење прости броеви Предлошка:Мат до две нејзини апроксимации, Предлошка:Мат и Предлошка:Мат . Како што се зголемува Предлошка:Мпром (оската Предлошка:Мпром е логаритамска), и двата соодноси се стремат кон 1. Односот за Предлошка:Мат конвергира одозгора многу бавно, додека односот за Предлошка:Мат се конвергира побрзо одоздола.

Приказ на log-log кој покажува апсолутна грешка на Предлошка:Мат и Предлошка:Мат, две апроксимации на функцијата за броење прости Предлошка:Мат. За разлика од соодносот, разликата помеѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мат се зголемува без ограничување додека Предлошка:Мпром се зголемува. Од друга страна, Предлошка:Мат го менуваат знакот бесконечно многу пати.

Нека Предлошка:Мат е функцијата за броење на прости броеви и ја дефинираме како број на прости броеви помали или еднакви на Предлошка:Мпром за произволен реален број Предлошка:Мпром . На пример, Предлошка:Мат бидејќи има четири прости броја (2, 3, 5 и 7) помали или еднакви на 10. Според теоремата за простите броеви следува дека Предлошка:Мат е добра апроксимација на Предлошка:Мат (со Предлошка:Math е означен природниот логаритам од x), во смисла дека граничната вредност на количникот на двете функции Предлошка:Мат и Предлошка:Мат кога Предлошка:Мпром се зголемува неограничено е еднаква на 1:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{\frac{x}{\ln (x)}}=1,$

познат како асимптотски закон за распределба на простите броеви. Користејќи асимптотска нотација, овој резултат може да се запише како

$\pi (x)\sim \frac{x}{\log x}.$

Оваа ознака и теоремата не кажуваат ништо за лимесот на разликата на двете функции кога Предлошка:Мпром се зголемува без ограничување. Наместо тоа, теоремата наведува дека Предлошка:Мат се приближува кон Предлошка:Мат, односно дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 додека Предлошка:Мпром се неограничено расте.

ТПБ е еквивалентна со тврдењето дека: Предлошка:Мпром -тиот прост број Предлошка:Мпром задоволува

$p_n\sim n\ln (n),$

при што асимптотската нотација значи, повторно, дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува кон 0 кога Предлошка:Мпром неограничено расте. На пример, Предлошка:Val-тиот прост број е Предлошка:Val, и (Предлошка:Val)ln(Предлошка:Val) се заокружува на 7.957.418.752.291.744.388; релативната грешка е околу 6,4%.

Од друга страна, следниве асимптотски релации се логички еквивалентни: Предлошка:Rp

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)\ln x}{x}& =1,\\ \text{ и}\\ \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)\ln \pi (x)}{x}& =1.\end{array}$ Предлошка:R

Како што е наведено подолу, ТПБ е исто така еквивалентна на

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\vartheta (x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1,$

каде Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се првата и втората функција на Чебишев, соодветно.

Исто така, ТПБ е еквивалентна на Предлошка:Rp

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M(x)}{x}=1,$

каде $M(x)=\sum _{n\le x}\mu (n)$ е функцијата Мертенс.

Историја на доказот на асимптотскиот закон на простите броеви

Според претпоставките од Антон Фелкел и Јуриј Вега, Адриен-Мари Лежандр во 1797 (или 1798) година претпоставил дека Предлошка:Мат е апроксимирана со функцијата Предлошка:Мат, каде што Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се неодредени константи. Toj подоцна (1808) во второто издание на неговата книга за теоријата на броеви) направил попрецизна претпоставка фиксирајќи ги Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром, со Предлошка:Мат и Предлошка:Мат. Карл Гаус го разгледувал истото прашање на 15 години „во 1792 или 1793 година“, според неговото сеќавање од 1849 година. Во 1838 година, Дирихле смислил своја сопствена апроксимативна функција, логаритамскиот интеграл Предлошка:Мат (под малку поинаква форма, која му ја соопштил на Гаус). И формулата на Лежандр и онаа на Дирихле, ја подразбираат истата претпоставена асимптотска еквиваленција на Предлошка:Мат и Предлошка:Мат наведена погоре, иако се покажало дека апроксимацијата на Дирихле е значително подобрa ако се земат предвид разликите наместо количниците.

Во два труда издадени во 1848 и 1850 година, рускиот математичар Чебишев се обидел да го докаже законот за распределба на простите броеви. Во неговиот труд е забележлива употребата на зета функцијата Предлошка:Мат за реалните вредности на аргументот „Предлошка:Мпром“, како и во делата на Ојлер, од дури 1737 година. Трудовите на Чебишев биле напишани пред мемоарите на Риман од 1859 година и тој успеал да докаже послаба форма на законот. Имено, ако кога Предлошка:Мпром оди кон бескрајност, лимесот од Предлошка:Мат воопшто постои, тогаш тој мора да е еднаков на еден. Тој успеал да докаже дека овој однос е ограничен од горе и долу со 0,92129 и 1,10555, за сите доволно големи Предлошка:Мпром. Иако трудот на Чебишев не ја докажал теоремата за прости броеви, неговите проценки за Предлошка:Мат биле доволни за тој да го докаже постулатот на Бертран: за секој цел број Предлошка:Мат, постои прост број помеѓу Предлошка:Мат и Предлошка:Мат.

Еден од најзначајните трудови околу дистрибуцијата на простите броеви бил мемоарoт на Риман од 1859 година „Бројот на прости броеви помали од дадена вредност“. Ова бил единствениот труд што тој некогаш го напишал и бил поврзан со оваа тема. Риман таму вовел нови идеи - ја поврзал распределбата на простите броеви со нулите на аналитичкото проширување на Римановата зета-функција од комплексна променлива. Конкретно, токму во тој труд првпат е изнесена идејата да се применат методи од комплексната анализа за проучување на реалната функција Предлошка:Мат. Проширувајќи ги идеите на Риман, во истата година (1896) Жак Адамар и Шарл Жан де ла Вале Пусен, независно еден од друг, објавиле два доказа за асимптотскиот закон за распределбата на простите броеви. И двајцата користеле методи од комплексната анализа, и како главен чекор го користеле резултатот дека Римановата зета функција Предлошка:Мат е различна од нула за сите комплексни вредности на променливата Предлошка:Мпром кои се од облик Предлошка:Мат, каде Предлошка:Мат .

Во XX век, теоремата на Aдамар и на де ла Вале Пусен станала позната и како Теорема на простите броеви. Постојат неколку различни докази за таа теорема, вклучувајќи ги и „елементарните“ докази на Алте Селберг и на Пол Ердош (1949). Оригиналните докази на Адамар и на де ла Вале Пусен се долги и детални. Иако во понатамошните докази биле воведени поедноставувања преку употребата на Тауберовите теореми, тие сепак останале тешко разбирливи. Краток доказ бил откриен во 1980 година од американскиот математичар Доналд Џеј Њуман. Њумановиот доказ е наједноставниот познат доказ за теоремата, иако во него се користи интегралната теорема на Коши од комплексна анализа.

Скица на доказот

Теренс Тао во едно предавање ја претсавил скицата на доказот. Како и повеќето докази за ТПБ, тој започнува со преформулирање на проблемот во помалку интуитивна, но подобро воведена функција за броење на прости броеви. Идејата е да се избројат простите броеви (или елементите на некое поврзано множество како што е множеството на степени на простите броеви) со тежини за да се дојде до функција со помазно асимптотско однесување. Најчеста таква генерализирана функција за броење е функцијата на Чебишев Предлошка:Мат, дефинирана со

$\psi (x)=\sum _{k\ge 1}\sum _{\stackrel{p^k\le x,}{p\text{ е прост}}}\ln p.$

Ова понекогаш се запишува како

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n),$

каде Предлошка:Мат е функцијата на фон Манголт

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\ln p& \text{ ако }n=p^k\text{ за некој прост број }p\text{ и цел број }k\ge 1,\\ 0& \text{ во друг случај.}\end{array}$

$p_n\sim n\log (n),$

Сега е прилично лесно да се провери дали ТПБ е еквивалентна на тврдењето дека

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1.$

Навистина, ова произлегува од леснo изводливите проценки

$\psi (x)=\sum _{\stackrel{p\le x}{p\text{ е прост}}}\ln p\lfloor \frac{\ln x}{\ln p}\rfloor \le \sum _{\stackrel{p\le x}{p\text{ e прост}}}\ln x=\pi (x)\ln x$

и користејќи ја ознаката за големо Предлошка:Мпром за Предлошка:Мат ,

$\psi (x)\ge \sum _{\stackrel{x^{1-\epsilon }\le p\le x}{p\text{ е прост}}}\ln p\ge \sum _{\stackrel{x^{1-\epsilon }\le p\le x}{p\text{ е прост}}}(1-\epsilon )\ln x=(1-\epsilon )(\pi (x)+O\left(x^{1-\epsilon }\right))\ln x.$

Понатаму треба да се најде добра репрезентација за Предлошка:Мат. Може да се покаже дека Предлошка:Мат е поврзана со фон Манголтовата функција Предлошка:Мат, па оттука и со Предлошка:Мат, преку релацијата

$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}.$

Од поврзаните својства на зета функцијата, користејќи ја Мелиновата трансформација и Пероновата формула, се покажува дека за нецел број Предлошка:Мпром важи равенката

$\psi (x)=x-\log (2\pi )-\sum _{\rho :\zeta (\rho )=0}\frac{x^{\rho }}{\rho }$

каде што сумата е над сите тривијални и нетривијални нули на зета-функцијата. Оваа формула е една од таканаречените експлицитни формули на теоријата на броеви и веќе го сугерира на резултатот што сакаме да го добиеме. Бидејќи Предлошка:Мпром (се тврди дека е точниот асимптотски редослед на Предлошка:Мат ) се појавува десно, проследена со асимптотски термини од понизок ред.

Следниот чекор вклучува проучување на нулите на зета-функцијата. Тривијалните нули −2, −4, −6, −8, ... може да се разгледуваат посебно:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n{x}^{2n}}=-\frac{1}{2}\ln (1-\frac{1}{x^2}),$

кој исчезнува за доволно големи вредности на Предлошка:Мпром. Кога се разгледуваат нетривијалните нули на зета-функцијата, односно оние што се наоѓаат во областа 0≤Re(s)≤1, важно е да се забележи дека овие нули можат да предизвикаат нарушување на асимптотската распределба на простите броеви. Нетривијалните нули, имено оние на делот Предлошка:Мат, можат да бидат од асимптотски ред споредлив со главниот член Предлошка:Мпром ако Предлошка:Мат, така што треба да покажеме дека сите нули имаат реален дел строго помал од 1.

Кога Предлошка:Мат

Земаме дека Предлошка:Мат е мероморфен во полурамнината Предлошка:Мат, и е аналитички таму, освен за едноставен пол на Предлошка:Мат, и дека постои формула за производ

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$

за Предлошка:Мат. Оваа формула за производ е заснована на единственоста на простата факторизација на целите броеви. Таа покажува дека ζ(s) не може да биде нула во овој регион, со што логаритамот на ζ(s) е добро дефиниран во тој дел од комплексната рамнина и може да се користи за натамошни анализи.

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{ ако }n=p^k\text{ за некој прост }p\text{ и цел број }k\ge 1,\\ 0& \text{ во друг случај.}\end{array}$

Запишете Предлошка:Мат ; тогаш

$\begin{array}{cccc}\log n+\log \log n-1& <\frac{p_n}{n}& & \text{ for }n\ge 2,\text{ and }\\ \frac{p_n}{n}& <\log n+\log \log n-0.9484& & \text{ for }n\ge 39017.\end{array}$

Сега го набљудуваме идентитетот

$3+4\cos \varphi +\cos 2\varphi =2(1+\cos \varphi {)}^2\ge 0,$

така што

$\log \zeta (s)=-\sum _p\log (1-p^{-s})=\sum _{p,n}\frac{p^{-ns}}{n}.$

за сите Предлошка:Мат. Да претпоставиме дека Предлошка:Мат. Секако Предлошка:Мпром не е еднаков на нула, бидејќи Предлошка:Мат има едноставен пол кога Предлошка:Мат. Сега, да претпоставиме дека Предлошка:Мат и нека Предлошка:Мпром се доближува одозгора кон 1. Меѓутоа, ова води до контрадикција, бидејќи тоа би значело дека функцијата $\zeta (s)$ не е аналитичка во таа точка, што го нарушува условот за аналитичност во регионот каде што Предлошка:Мат и Предлошка:Мат. Затоа, претпоставката дека ζ(1+iy)=0 мора да биде погрешна.

Конечно, можеме да заклучиме дека теоријата за простите броеви (ТПБ) е хевристички точна. Меѓутоа, за да се комплетира доказот, преостануваат значајни технички предизвици. Главниот проблем произлегува од тоа што собирањето на зета-нули во експлицитната формула за Предлошка:Мат не е апсолутно конвергентно, туку само условно и во смисла на „главна вредност“. Постојат неколку начини околу овој проблем, но многу од нив бараат прилично деликатни комплексно-аналитички проценки. Книгата на Едвардс ги дава деталите. Друг метод е да се користи Тауберовата теорема на Икехара, иако оваа теорема сама по себе е доста тешко да се докаже. Њуман забележал дека целосната сила на теоремата на Икехара не е потребна за теоремата за прости броеви и може да се извлече со посебен случај што е многу полесно да се докаже.

Њумановиот доказ за теоремата за прости броеви

Д. Џ. Њуман дава краток доказ за теоремата за прости броеви. Доказот е „неелементарен“ поради тоа што се потпира на комплексна анализа, но користи само елементарни техники од првиот курс по предметот: интегралната формула на Коши, интегралната теорема на Коши и проценките на сложените интеграли. Видете за целосни детали.

Доказот ги користи истите основни претпоставки како во претходниот дел, но со замената на функцијата $\psi$, со$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p$. Оваа функција се добива со исфрлање на некои термини од $\psi$ . Слично од претходно, може да се покаже дека Предлошка:Мат и Предлошка:Мат за секој Предлошка:Мат.Од овие проценки следува дека$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\vartheta (x)/x=1$ и теоремата се еквивалентни. Важно е да се забележи дека $\mathrm{\Phi }(s)$ и $-{\zeta }^{\prime }(s)/\zeta (s)$ се разликуваат само по една холоморфна функција на правата $\mathrm{\Re }s=1$. Бидејќи $\zeta (s)$ нема нули, а $\mathrm{\Phi }(s)-\frac{1}{s-1}$ нема сингуларитети кога $\mathrm{\Re }s=1$. Ова својство е важно за користење на функцијата $\mathrm{\Phi }(s)$ во анализата на распределбата на простите броеви.

Клучна информација за доказот на Њумен, која е основа за проценките во неговиот едноставен метод, е дека изразот $\vartheta (x)/x$ е ограничен. Неговиот пристап користи елементарни техники, но е извонредно моќен, бидејќи обезбедува основна контрола врз растот на функцијата ϑ(x) во однос на x. Ова се докажува со помош на генијален и лесен метод поради Чебишев.

Интегрирање по делови ја покажува поврзаноста на $\vartheta (x)$ и $\mathrm{\Phi }(s)$. За $\mathrm{\Re }s>1$ ,

$\mathrm{\Phi }(s)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}d\vartheta (x)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\vartheta (x)x^{-s-1}dx=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\vartheta (e^t)e^{-st}dt.$

Њумановиот метод ја докажува ТПБ со прикажување на интегралот

$I=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\vartheta (e^t)}{e^t}-1)dt.$

конвергира, што имплицира дека интеграндот мора да оди кон нула кога $t\to \mathrm{\infty }$, што е бараната теорема. Генерално, конвергенцијата на еден неправилен интеграл не гарантира дека интеграндот оди на нула во бесконечност, бидејќи интеграндот може да осцилира, ова не е проблем тука. Бидејќи $\vartheta$ се зголемува, лесно е да се прикаже во овој случај.

За да се прикаже конвергентноста на $I$, за $\mathrm{\Re }z>0$ нека

$g_T(z)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-zt}dt$ и $g(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-zt}dt$ каде $f(t)=\frac{\vartheta (e^t)}{e^t}-1$

За прецизно да се каже, нека Предлошка:Мат е конечното поле со Предлошка:Мпром елементи, за некои фиксен Предлошка:Мпром, и нека Предлошка:Мпром е бројот на монични нередуцирани полиноми над Предлошка:Мпром чиј степен е еднаков на Предлошка:Мпром . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од Предлошка:Мпром, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_T(z)=g(z)=\frac{\mathrm{\Phi }(s)}{s}-\frac{1}{s-1}\text{where}z=s-1$

што е еднакво на функција холоморфна на правата $\mathrm{\Re }z=0$ .

Ова важи за секој $R$ така $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_T(0)=g(0)$, а следи ТПБ.

За прецизно да се каже, нека Предлошка:Мат е конечното поле со Предлошка:Мпром елементи, за некои фиксен Предлошка:Мпром, и нека Предлошка:Мпром е бројот на монични нередуцирани полиноми над Предлошка:Мпром чиј степен е еднаков на Предлошка:Мпром . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од Предлошка:Мпром, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$g(0)-g_T(0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }(g(z)-g_T(z))\frac{dz}{z}=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }(g(z)-g_T(z))F(z)\frac{dz}{z}$

каде $F(z)=e^{zT}(1+\frac{z^2}{R^2})$ е фактор кој доаѓа од Њуман. Овој фактор не го менува интегралот.

$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|g(0)-g_T(0)|\le \frac{2B}{R}.$

и ова важи за секој $R$, па $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_T(0)=g(0)$ и следи теоремата.

Функција за броење на прости броеви во однос на логаритамскиот интеграл

Во белешка на трудот на Дирихле од 1838 година „ Предлошка:Јаз</link> ", која му ја испратил по пошта на Гаус, претпоставува дека уште подобра апроксимација на Предлошка:Мат е дадена со офсет логаритамската интегрална функција Предлошка:Мат, дефинирана со

$\vartheta (x)\log (x)+\sum _{p\le x}\log (p)\vartheta \left(\frac{x}{p}\right)=2x\log (x)+O(x)$

Навистина, овој интеграл посочува на важната идеја дека „густината“ на простите броеви околу некое Предлошка:Мпром треба да биде приближно Предлошка:Мат . Оваа функција е поврзана со логаритам со асимптотичко проширување

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|=\mathrm{\Omega }\left(\sqrt{x}\frac{\log \log \log x}{\log x}\right)$

Значи, ТПБ може да се запише и како Предлошка:Мат. Во друг труд во 1899 година, de la Vallée Poussin докажал дека

$\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\log t}=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2).$

за некоја константа Предлошка:Мпром поголема од нула, каде што Предлошка:Мат е големата ознака Предлошка:Мпром. Ова е подобрено на

$\mathrm{Li}(x)\sim \frac{x}{\log x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(\log x{)}^k}=\frac{x}{\log x}+\frac{x}{(\log x{)}^2}+\frac{2x}{(\log x{)}^3}+\cdots$

Труџијан покажал експлицитна горна граница за разликата меѓу $\pi (x)$ и $\mathrm{li}(x)$ :

$\pi (x)=\mathrm{Li}(x)+O\left(x{e}^{-a\sqrt{\log x}}\right)\text{as }x\to \mathrm{\infty }$

за $x\ge 229$ .

Врската помеѓу Римановата зета-функција и π(x) е клучна за теоријата на простите броеви, а една од главните причини зошто Римановата хипотеза има толку големо значење е тоа што ако се докаже, ќе обезбеди многу подобра проценка на грешката во врската помеѓу π(x) и x/logx отколку што е достапно денес. Поконкретно, Хелге фон Кох покажал во 1901 година дека ако Римановата хипотеза е вистинита, терминот за грешка во горната релација може да се подобри на

$\pi (x)=\mathrm{Li}(x)+O(\sqrt{x}\log x)$

(последново е всушност еквивалентно на Римановата хипотеза). Константата вклучена во Предлошка:Мпром била проценета во 1976 година од Ловел Шенфелд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(x\exp (-\frac{A(\log x{)}^{\frac{3}{5}}}{(\log \log x{)}^{\frac{1}{5}}}))$ каде $A=0.2098$ .

за секој Предлошка:Мат . Исто така, тој извел граница за функцијата за броење прости броење на Чебишев Предлошка:Мпром :

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|\le 0.2795\frac{x}{(\log x{)}^{3/4}}\exp (-\sqrt{\frac{\log x}{6.455}})$

за секој Предлошка:Мат . Се покажало дека оваа граница изразува варијанта на законот за степен иПредлошка:Ндроп бучава и исто така одговара на Твиди Поасон дистрибуција . (Дистрибуциите на Твиди претставуваат фамилија на непроменливи распределби на скалата кои служат како фокуси на конвергенција за генерализација на теоремата на централната граница.) Долна граница е изведена и од Ј.Е. Литлвуд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|<\frac{\sqrt{x}\log x}{8\pi }$

Логаритамскиот интеграл Предлошка:Мат Предлошка:Мат е поголем од Предлошка:Мат за „мали“ вредности на Предлошка:Мпром . Тоа е затоа што не брои прости броеви, туку степени на прости броеви, каде што степенот Предлошка:Мпром на простиот Предлошка:Мпром се брои какоПредлошка:Ндроп број. Ова сугерира дека Предлошка:Мат обично треба да биде приближно поголем од Предлошка:Мат $\frac{1}{2}\mathrm{li}(\sqrt{x}),$ а секогаш треба да биде поголем од Предлошка:Мат. Во 1914 година, Џон Литлвуд докажал резултатот на разликата$\pi (x)-\mathrm{li}(x)$ бескрајно променува знак. Првата вредност на Предлошка:Мпром каде Предлошка:Мат е поголема од Предлошка:Мат е околу Предлошка:Мат. (Од друга страна, офсет логаритамски интеграл Предлошка:Мат е помал од Предлошка:Мат веќе за Предлошка:Мат ; навистина, Предлошка:Мат, додека Предлошка:Мат )

Елементарни докази

Во 20-ти век, некои математичари верувале дека постои хиерархија на методи за докажување во математиката во зависност од тоа какви видови броеви (цели броеви, реални, комплексни) бара доказот. Теоремата за прости броеви е „длабока“ теорема бидејќи бара комплексна анализа. Ова верување беше донекаде променето од доказот за ТПБ заснован на тавберовата теорема на Винер, иако доказот на Винер на крајот се потпира на својствата на функцијата Риманова зета на линијата. $\text{re}(s)=1$, каде што мора да се користи комплексна анализа.

Во март 1948 година, Атл Селберг ја воспоставил асимптотичната формула

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log (p)$

каде

$\frac{x}{\log x}(1+\frac{1}{\log x})<\pi (x)<\frac{x}{\log x}(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2.51}{(\log x{)}^2}).$

за прости броеви Предлошка:Мпром. Селберг и Пол Ердос ја користеле формулата на Селберг како почетна точја и од таму добиле елементарни докази за ТПБ. Овие докази ефикасно ја поставиле идејата дека ТПБ е „длабок“ во таа смисла и покажале дека технички „елементарните“ методи се помоќни отколку што се верувало дека е случај. За историјата на елементарните докази на ТПБ, вклучувајќи го и спорот за приоритетот Ердос-Селберг, видете ја статијата на Доријан Голдфелд .

Постои одредена дебата за значењето на резултатот на Ердос и Селберг. Иако не користи комплексна анализа, таа е всушност многу по техничка од стандардниот доказ на ТПБ. Една можна дефиниција за „елементарен“ доказ е „онаа што може да се изведе во аритметика од прв ред Пеано “. Постојат теоретски искази на броеви кои се докажуваат со помош на методи од втор ред, но не со методи од прв ред, но таквите теореми се ретки до денес. Доказот на Ердос и Селберг секако може да се формализира во аритметиката Пеано, а во 1994 година, Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос докажале дека нивниот доказ може да се формализира во многу слаб дел од PA, имено Предлошка:Мат. Сепак, ова не го решава прашањето дали стандардниот доказ за ТПБ може да се формализира или не во PA.

Нека $X$ да биде компактен метрички простор, $T$ континуирана само-мапа на $X$, и $\mu$ а $T$ -инваријантна Борелова мерка на веројатност за која $T$ е уникатно ергодичен . Потоа, за секој $f\in C(X)$ ,

$$\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \underset{X}{\int }fd\mu ,\mathrm{\forall }x\in X.$$ За докажување на теоремата Пилаи-Селберг и теоремата Ердс-Деланж може да се користат докази за резултати повразни со ТПБ

Компјутерски проверки

Avigad et al. го употребил докажувачот на теоремата на Изабел во 2005 година за да осмисли компјутерски проверена варијанта на Ердос-Селберг доказ за ТПБ. Ова бил првиот машински потврден доказ за ТПБ. Avigad избра да го формализира доказот Ердос-Селберг наместо аналитички бидејќи иако библиотеката на Изабел во тоа време можела да ги имплементира поимите на лимесот, дериват и трансцендентална функција, таа немала речиси никаква теорија на интеграција за која може да зборува. Предлошка:Rp

Во 2009 година, Џон Харисон употребил HOL Light за да го формализира доказот кој користи комплексна анализа. Со развивање на потребната аналитичка машинерија, вклучувајќи ја и интегралната формула на Коши, Харисон можел да формализира „директен, модерен и елегантен доказ наместо по инволвираниот „елементарен“ аргумент на Ердос-Селберг“.

Теорема на прости броеви за аритметички прогресии

Нека Предлошка:Мат е бројот на прости броеви во аритметичката прогресија Предлошка:Мат помали од Предлошка:Мпром . Дирихле и Лежандр претпоставувале, а де ла Вале Пусин докажал дека ако Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се заемно прости броеви, тогаш

${\pi }_{d,a}(x)\sim \frac{\mathrm{Li}(x)}{\phi (d)},$

каде Предлошка:Мпром е Ојлеровата функција. Односно, простите броеви се рамномерно распределени меѓу класите на остатоци Предлошка:Мат modulo Предлошка:Мпром кога a и Предлошка:Мпром се заемно прости броеви. Ова е посилно од теоремата на Дирихле за аритметички прогресии (која само вели дека има бесконечно прости броеви во секоја класа) и може да се докаже со користење на методи слични на оние што ги користел Њуман за докажување на ТПБ.

Добра проценка за тоа како се распределни простите броеви во класите на остатоци дава Теоремата Зигел-Валфис.

Bennett et al ја докажале следнава проценка која содржи константи Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром (теорема 1.3): Нека Предлошка:Мпром $\ge 3$ биде цел број заемно прост со цел број Предлошка:Мпром. Тогаш има позитивни константи Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром такви што

$|{\pi }_{d,a}(x)-\frac{\mathrm{Li}(x)}{\phi (d)}|<\frac{Ax}{(\log x{)}^2}\text{ for all }x\ge B,$

каде Предлошка:Мат е функцијата Möbius. (Оваа формула му била позната на Гаус.) Главниот дел се јавува за Предлошка:Мат, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот вистински делител на Предлошка:Мпром не може да биде поголем од Предлошка:Math.

$A=\frac{1}{840}\text{ if }3\le d\le 10^4\text{ and }A=\frac{1}{160}\text{ if }d>10^4,$

Табелата ги споредува точните вредности на Предлошка:Мат со двете приближувања Предлошка:Мат и Предлошка:Мат . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, Предлошка:Мат, е просечниот прост размак под Предлошка:Мпром .

$B=8\cdot 10^9\text{ if }3\le d\le 10^5\text{ and }B=\exp (0.03\sqrt{d}(\log d{)}^3)\text{ if }d>10^5.$

Трка на прости броеви

Дел на функцијата $\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)$ за n ≤ 30000

Иако имаме

${\pi }_{4,1}(x)-{\pi }_{4,3}(x),$

Табелата ги споредува точните вредности на Предлошка:Мат со двете приближувања Предлошка:Мат и Предлошка:Мат . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, Предлошка:Мат, е просечниот прост размак под Предлошка:Мпром .

${\pi }_{4,1}(x)-{\pi }_{4,3}(x),$

така што водството во трката се менува напред-назад бесконечно многу пати. Феноменот дека Предлошка:Мат е во најголем дел од времето се нарекува пристрасност на Чебишев. Пал Туран се прашувал дали секогаш се случува Предлошка:Мат и Предлошка:Мат да ги менуваат местата кога Предлошка:Мпром и Предлошка:Мпром се заемно прости на Предлошка:Мпром. Гранвил и Мартин даваат темелно истражување на ова прашање.

График на бројот на прости броеви што завршуваат на 1, 3, 7 и 9 до n за n < 10.000

Интересен феномен е распределбата на последната цифра од прости броеви. Освен 2 и 5, сите прости броеви завршуваат на 1, 3, 7 или 9. Според теоремата на Дирихле за прогресиите во аритметиката, 25% од сите прости броеви завршуваат на секоја од четирите цифри 1, 3, 7, или 9. Сепак, докази покажуваат дека бројот на прости броеви што завршуваат на 3 или 7 помали од n има тенденција да биде малку поголем од бројот на прости броеви што завршуваат на 1 или 9 помали од n. Од тука се добива дека 1 и 9 се квадратни остатоци модуло 10, а 3 и 7 не се квадратни модуло 10.

Неасимптотични граници на функцијата за броење прости броеви

Теоремата за прости броеви е асимптотички резултат. Неефективна граница на Предлошка:Мат е добиена како директна последица на дефиницијата на границата: за Предлошка:Мат, постои Предлошка:Мпром таков што за секој Предлошка:Мат ,

$(1-\epsilon )\frac{x}{\log x}<\pi (x)<(1+\epsilon )\frac{x}{\log x}.$

Но, постојат и подобри граници на Предлошка:Мат, на пример онаа на Пјер Дусарт

$\frac{x}{\log x-(1-\epsilon )}<\pi (x)<\frac{x}{\log x-(1+\epsilon )}.$

Левата неравенка важи за броеви Предлошка:Мат, а десната за броеви Предлошка:Мат .

Доказот на Poussin ја подразбира следнава граница: За Предлошка:Мат, постои Предлошка:Мпром такво што за сите Предлошка:Мат ,

$\frac{x}{\log x+2}<\pi (x)<\frac{x}{\log x-4}.$

$\begin{array}{cccc}\frac{x}{\log x-1}& <\pi (x)& & \text{ for }x\ge 5393,\text{ and }\\ \pi (x)& <\frac{x}{\log x-1.1}& & \text{ for }x\ge 60184.\end{array}$

$\begin{array}{cccc}\frac{x}{\log x-1}& <\pi (x)& & \text{ for }x\ge 5393,\text{ and }\\ \pi (x)& <\frac{x}{\log x-1.1}& & \text{ for }x\ge 60184.\end{array}$

Може да се забележи дека првиот од овие го застарува условот Предлошка:Мат на долната граница.

Апроксимации за Предлошка:Мпром -тиот прост број

Последица на ТПБ е изразот за Предлошка:Мпром -тиот прост број, означен со Предлошка:Мат :

$p_n>n\log n.$

Подобра апроксимација е

$p_n\sim n\log n.$

За Предлошка:Вред -тиот прост број Предлошка:Вред дава проценка од Предлошка:Вред; првите 5 цифри се совпаѓаат и релативната грешка е околу 0,00005%.

Росеровата теорема го вели тоа

$p_n>n\log n.$

Ова може да се подобри со следниве граници:

$\frac{p_n}{n}=\log n+\log \log n-1+\frac{\log \log n-2}{\log n}-\frac{(\log \log n{)}^2-6\log \log n+11}{2(\log n{)}^2}+o\left(\frac{1}{(\log n{)}^2}\right).$

Табела со Предлошка:Мат, Предлошка:Мат и Предлошка:Мат

Табелата ги споредува точните вредности на Предлошка:Мат со двете апроксимации. Колоните за разлика во апроксимациите се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на точните апроксимации. Во последната колона, Предлошка:Мат, е претставен просечниот прост размак подолу Предлошка:Мпром .

Предлошка:Mvar	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math	% error		Предлошка:Math
				Предлошка:Math	Предлошка:Math
10	4	0	2	8.22%	42.606%	2.500
102	25	3	5	14.06%	18.597%	4.000
103	168	23	10	14.85%	5.561%	5.952
104	1,229	143	17	12.37%	1.384%	8.137
105	9,592	906	38	9.91%	0.393%	10.425
106	78,498	6,116	130	8.11%	0.164%	12.739
107	664,579	44,158	339	6.87%	0.051%	15.047
108	5,761,455	332,774	754	5.94%	0.013%	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1,701	5.23%	3.34Предлошка:E %	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	4.66%	6.82Предлошка:E %	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	4.21%	2.81Предлошка:E %	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	3.83%	1.02Предлошка:E %	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	3.52%	3.14Предлошка:E %	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	3.26%	9.82Предлошка:E %	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	3.03%	3.52Предлошка:E %	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	2.83%	1.15Предлошка:E %	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	2.66%	3.03Предлошка:E %	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	2.51%	8.87Предлошка:E %	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	2.36%	4.26Предлошка:E %	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	2.24%	1.01Предлошка:E %	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	2.13%	2.82Предлошка:E %	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	2.03%	9.59Предлошка:E %	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	1.94%	3.76Предлошка:E %	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	1.86%	9.31Предлошка:E %	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	1.78%	3.21Предлошка:E %	56.546
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	1.71%	9.17Предлошка:E %	58.850
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	1.64%	3.11Предлошка:E %	61.153
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	1.58%	9.05Предлошка:E %	63.456
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	1.53%	2.99Предлошка:E %	65.759

Вредноста за Предлошка:Мат првично била пресметана со претпоставување дека Римановата хипотеза важи; оттогаш е потврдена безусловно.

Аналогија за нередуцирани полиноми над конечно поле

Постои аналог на ТПБ што ја опишува „распределбата“ на несводливите полиноми над конечно поле; формата што ја има е неверојатно слична на случајот со класичната теорема за прости броеви.

Нека Предлошка:Мат е конечно поле со Предлошка:Мпром елементи, за некој фиксни Предлошка:Мпром. Нека Предлошка:Мпром е бројот на монични нередуцирани полиноми над Предлошка:Мпром, со степен Предлошка:Мпром . Односно, гледаме полиноми со коефициенти од Предлошка:Мпром, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Вака, полиномите ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се добиваат како производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$N_n\sim \frac{q^n}{n}.$

Да замениме со Предлошка:Мат, тогаш десната страна е правилна

$\frac{x}{{\log }_{q}x},$

што ја прави аналогијата појасна. Бидејќи има точно Предлошка:Мат монични полиноми со Предлошка:Мпром-ти степен, ги вклучуваме и редуцираните, ова може да се реформулира во: ако моничен полином од степен Предлошка:Мпром е избран проивзолно, тогаш веројатноста тој да биде нередуциран е околу Предлошка:Math 

Може дури и аналогот на Римановата хипотеза да се докаже, имено тоа

$N_n=\frac{q^n}{n}+O\left(\frac{q^{\frac{n}{2}}}{n}\right).$

Доказите за овие изјави се многу поедноставни отколку во класичниот случај. Секој елемент од степенот Предлошка:Мпром продолжување на Предлошка:Мпром е корен од некој нередуциран полином чиј степен Предлошка:Мпром го дели Предлошка:Мпром; со броење на овие корени на два различни начини се утврдува дека

$q^n=\sum _{d\mid n}d{N}_d,$

каде сумата е за сите Предлошка:Mvar делители на Предлошка:Mvar, Инверзијата на Möbius тогаш повлекува

$N_n=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)q^d,$

каде Предлошка:Мат е функцијата Möbius, веќе позната на Гаус. Главниот термин се јавува кога Предлошка:Мат, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот правилен делител на Предлошка:Мпром не може да биде поголем од Предлошка:Math.

Поврзано

• Апстрактна аналитичка теорија на броеви за информации за генерализации на теоремата.
• Ландау прости идеална теорема за генерализација на прости идеали во полињата со алгебарски броеви.
• Риманова хипотеза

Наводи

• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведување
• Предлошка:Наведување

Надворешни врски

• Предлошка:SpringerEOM
• Table of Primes by Anton Felkel.
• Short video visualizing the Prime Number Theorem.
• Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
• How Many Primes Are There? Предлошка:Семарх Archived 2012-10-15 at the Wayback Machine and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
• Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva
• Eberl, Manuel and Paulson, L. C. The Prime Number Theorem (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
• The Prime Number Theorem: the "elementary" proof − An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at www.dimostriamogoldbach.it/en/