Преглед на кодот на Теорема за симетрала на агол

[[Податотека:Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg|десно|мини|250x250пкс| Според теоремата: <math>\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}</math>]]
'''Теорема за симетрала на агол''' — [[теорема]] што во [[Планиметрија|рамнинската геометрија]] ги поврзува [[Должина|должините]] на спротивните [[Раб (геометрија)|страни]] на [[Агол|аглите]] со должините на другите две страни на [[Триаголник|триаголникот]]: [[Симетрала|симетралата на аголот]] на триаголникот ја дели неговата спротивна страна на делови кои се сразмерни со другите две страни.

Во триаголникот ABC, симетралата на [[Внатрешен агол|внатрешниот агол]] ''A'' треба да ја сече страната ''a'' (''BC'') во [[Точка (математика)|точката]] ''D.'' Според теоремата, односот на должините на [[Отсечка|отсечките]] ''BD'' и ''DC'' е еднаков на односот на должините на страните ''c'' (''AB'') и ''b'' (''AC''):

: <math> \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \!\, . </math>

Теоремата важи и за симетралите на [[Надворешен агол|надворешните агли]].

== Обопштување ==
Општо земено, исто така важи дека ако ''D'' е произволна точка на страната ''a'' (''BC''), тогаш:

: <math> \frac {|BD|} {|DC|} = \frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC} \!\, . </math>

Ако ''AD'' е симетрала на аголот ''BAC'', тогаш:

: <math>\sin \angle DAB = \sin \angle DAC \!\,, </math>

што го дава претходниот необопштен облик на теоремата.

Општиот облик на теоремата се применува и во случај точката ''D'' да лежи некаде во продолжение на страната ''a'' (''BC''), надвор од триаголникот, при што мора да се почитува правилната насока на растојанијата ([[Вектор|вектори]]) и аглите.

== Хармонична четворка точки ==
[[Податотека:Bisekt001.png|десно|мини|252x252пкс| Точките ''C'', ''B'', ''D'' и ''E'' образуваат [[хармонична четворка]] точки]]
Симетралата на внатрешниот агол со точката ''D'' и симетралата на надворешниот агол со точката ''E'' ја делат страната ''BC'' (''a'') така што тие образуваат [[хармонична четворка]] точки и важи следново:

: <math> \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|EB|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{c}{b} = \lambda \!\, . </math>

[[Геометриско место на точки|Множество од сите точки]] за кои односот на нивните растојанија од две фиксни точки - во овој случај пресеците на страната ''a'' (''B'' и ''C'') - е константен (еднаков <math>\lambda</math>):

: <math> |MB| = \lambda |MC| \!\,, </math>

е [[Аполониев круг]]. Тоа е посебен случај за <math>\lambda = 1</math>, кога точките лежат на симетралата на растојанието ''BC'', а точката ''D'' е [[Средишница (геометрија)|средишницата]] ''на BC'', а соодветната точка ''E'' не постои. Односот на растојанието се означува со ''k'' или на пр. со [[Реципрочна вредност|обратна вредност]] <math>\lambda</math>, <math>1/\mu</math> .

[[Категорија:Геометрија на триаголникот]]
[[Категорија:Планиметриски теореми]]
[[Категорија:Агол]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]