Теорема за симетрала на агол

Според теоремата: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Теорема за симетрала на агол — теорема што во рамнинската геометрија ги поврзува должините на спротивните страни на аглите со должините на другите две страни на триаголникот: симетралата на аголот на триаголникот ја дели неговата спротивна страна на делови кои се сразмерни со другите две страни.

Во триаголникот ABC, симетралата на внатрешниот агол A треба да ја сече страната a (BC) во точката D. Според теоремата, односот на должините на отсечките BD и DC е еднаков на односот на должините на страните c (AB) и b (AC):

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|}.$

Теоремата важи и за симетралите на надворешните агли.

Обопштување

Општо земено, исто така важи дека ако D е произволна точка на страната a (BC), тогаш:

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }DAB}{|AC|\sin \mathrm{\angle }DAC}.$

Ако AD е симетрала на аголот BAC, тогаш:

$\sin \mathrm{\angle }DAB=\sin \mathrm{\angle }DAC,$

што го дава претходниот необопштен облик на теоремата.

Општиот облик на теоремата се применува и во случај точката D да лежи некаде во продолжение на страната a (BC), надвор од триаголникот, при што мора да се почитува правилната насока на растојанијата (вектори) и аглите.

Хармонична четворка точки

Точките C, B, D и E образуваат хармонична четворка точки

Симетралата на внатрешниот агол со точката D и симетралата на надворешниот агол со точката E ја делат страната BC (a) така што тие образуваат хармонична четворка точки и важи следново:

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|EB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{c}{b}=\lambda .$

Множество од сите точки за кои односот на нивните растојанија од две фиксни точки - во овој случај пресеците на страната a (B и C) - е константен (еднаков $\lambda$):

$|MB|=\lambda |MC|,$

е Аполониев круг. Тоа е посебен случај за $\lambda =1$, кога точките лежат на симетралата на растојанието BC, а точката D е средишницата на BC, а соодветната точка E не постои. Односот на растојанието се означува со k или на пр. со обратна вредност $\lambda$, $1/\mu$ .