Преглед на кодот на Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на [[Тригонометриски функции|тригонометриските функции]] можат да се изразат приближно, како во <math>\cos (\pi/4) \approx 0.707</math>, или точно, како во <math>\cos (\pi/ 4)= \sqrt 2 /2</math>. Додека [[Тригонометриски таблици|тригонометриските таблици]] содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и [[Квадратен корен|квадратни корени]].

== Вообичаени агли ==
Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°.<ref name="Abramowitz 1972 loc=p. 74, 4.3.46">{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|1972}}</ref> За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на [[Список на тригонометриски еднаквости|еднаквостите на рефлексија и поместување]]. Во табелата подолу, <math>\infty</math> значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види [[делење со нула]]).

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!Радијани!!Степени!!{{math|sin}}!!{{math|cos}}!!{{math|tan}}!!{{math|cot}}!!{{math|sec}}!!{{math|csc}}
|-
!<math>0</math>!! <math>0^\circ</math>
|<math>0</math>||<math>1</math>||<math> 0</math>||<math>\infty</math>||<math>1</math>||<math>\infty</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{12}</math>!! <math>15^\circ</math>
|<math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math>|| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>|| <math>2-\sqrt{3}</math>|| <math>2+\sqrt{3}</math>|| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{10}</math>!! <math>18^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} {4}</math>
||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>1 + \sqrt{5}</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{8}</math>|| <math>22.5^\circ</math>
| <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\sqrt{2} - 1</math>|| <math>\sqrt{2} + 1</math>|| <math> \sqrt{ 4 - 2\sqrt{2} }</math>|| <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{6}</math>!! <math>30^\circ</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>\sqrt{3}</math>|| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>2</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{5}</math>!! <math>36^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{1+ \sqrt{5}} {4}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5} - 1</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} {5}</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{4}</math>!! <math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>|| <math>1</math>|| <math>1</math>|| <math>\sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{2}</math>
|-
! <math>\frac{3\pi}{10}</math>!! <math>54^\circ</math>
|<math>\frac{1+ \sqrt{5}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>\sqrt{5} - 1</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{3}</math>!! <math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>|| <math>\frac{1}{2}</math>|| <math>\sqrt{3}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>2</math>|| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
! <math>\frac{3\pi}{8}</math>|| <math>67.5^\circ</math>
| <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\sqrt{2} + 1</math>|| <math>\sqrt{2} - 1</math>|| <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math>|| <math>\sqrt{ 4 - 2 \sqrt{2} }</math>
|-
! <math>\frac{2\pi}{5}</math>!! <math>72^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{5}-1} {4}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>1 + \sqrt{5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}} {5}</math>
|-
! <math>\frac{5\pi}{12}</math>!! <math>75^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}} {4}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math>|| <math>2+\sqrt{3}</math>|| <math>2-\sqrt{3}</math>|| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>
|-
! <math>\frac{\pi}{2}</math>!! <math>90^\circ</math>
|<math>1</math>|| <math> 0</math>||<math>\infty</math>||<math> 0</math>||<math>\infty</math>|| <math>1</math>
|}

== Изразување со квадратни корени ==
Некои точни тригонометриски вредности, како на пример <math>\sin(60^\circ)=\sqrt{3}/2</math>, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат [[Конструктибилен број|конструктибилни]], бидејќи една должина може да се [[Конструкција со шестар и линијар|конструира со шестар и линијар]] од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број.<ref name="Fraleigh">{{Наведување|first=John B.|last=Fraleigh|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=5th|year=1994|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0-201-53467-2|mr=0225619}}</ref> Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример <math>\cos(20^\circ)</math>, докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде <math>a\pi/b</math> радијани, каде што ''a'' и ''b'' се [[Заемно прости броеви|заемно прости]] цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако [[Првична факторизација|првичната факторизација]] на именителот, ''b'', се состои од кој било број на [[Фермаови броеви|прости Фермаови броеви]], секој со експонент 1, помножено со кој било [[степен на двојка]].<ref>{{Наведување|last=Martin|first=George E.|doi=10.1007/978-1-4612-0629-3|isbn=0-387-98276-0|mr=1483895|publisher=Springer-Verlag, New York|series=Undergraduate Texts in Mathematics|title=Geometric Constructions|year=1998|page=46}}</ref> На пример, <math>15^\circ</math> и <math>24^\circ</math> се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на <math>\pi/12</math> и <math>2\pi/15</math> радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, <math>20^\circ</math> не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 3<sup>2</sup>, а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, <math>(360/7)^\circ</math> не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.<ref name="Fraleigh">{{Наведување|first=John B.|last=Fraleigh|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=5th|year=1994|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0-201-53467-2|mr=0225619}}</ref>

== Изведување на конструктибилни вредности ==
Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на [[Посебен правоаголен триаголник|триаголниците 30-60-90 и 90-45-45]]. Ако аголот е изразен во радијани како <math>a\pi/b</math>, ова го опфаќа случајот кога ''a'' е 1, а ''b'' е 2, 3, 4 или 6.

=== Формула со половина агол ===
Ако именителот, ''b'', се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со [[Список на тригонометриски еднаквости|формулите за половина агол]]. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:

: <math>\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
: <math>\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>

Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до [[Вгнезден корен|вгнездени квадратни корени]] кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава <math>\sqrt{2 + \cdots}</math> на броителот и именителот е 2. На пример:

: <math>\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\qquad\cos\left(\frac{\pi}{32}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}</math>
: <math>\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2}</math>

=== Синус од 18° ===
Случаите кога именителот, ''b'', е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на <math>\sin(18^\circ)</math>,<ref>{{Наведена мрежна страница|url=https://www.math-only-math.com/exact-value-of-sin-18-degree.html|title=Exact Value of sin 18°|work=math-only-math}}</ref> со оглед дека <math>18^\circ = \pi/10</math> радијани. Изведувањето ги користи [[Список на тригонометриски еднаквости|формулите за повеќекратни агли]] за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:

: <math>\sin(36^\circ) = 2\sin(18^\circ)\cos(18^\circ)</math>

Според формулата за троен агол за косинус:

: <math>\cos(54^\circ) = \cos^3(18^\circ) - 3\sin^2(18^\circ)\cos(18^\circ) = \cos(18^\circ)(1 - 4\sin^2(18^\circ))</math>

Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):

: <math>2\sin(18^\circ) = 1 - 4\sin^2(18^\circ)</math>

Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:

: <math>\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>

=== Користење на други еднаквости ===
Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и [[Список на тригонометриски еднаквости|формулите за збир и разлика]]. На пример, за случајот кога ''b'' е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи <math>24^\circ = 60^\circ - 36^\circ</math>, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

<math>\begin{align}\cos(24^\circ) &= \cos(60^\circ)\cos(36^\circ) + \sin(60^\circ)\sin(36^\circ) \\
&= \frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\
&= \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}\end{align}</math>

=== Именител 17 ===
Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен [[Седумнаесетаголник|17-аголник]] е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се <math>2\pi/17</math> радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, [[Карл Фридрих Гаус]] покажал дека:<ref name="Jones">Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, ''Abstract Algebra and Famous Impossibilities'', Springer, 1991, {{ISBN|0387976612}}, [https://books.google.com/books?id=6dSIBBW87b8C&pg=PA178 p. 178.]</ref> <ref name="Callagy">Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon", ''Mathematical Gazette'' 67, December 1983, 290–292.</ref>

: <math>\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17+3\sqrt{17} - \sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}</math>

Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

== Корени од единица ==
[[Ирационален број]] што може да се изрази како [[Синус и косинус|синус или косинус]] на [[Рационален број|рационален]] повеќекратник на π [[Радијан|радијани]] се нарекува ''тригонометриски број''. {{Rp|ch. 5}}Бидејќи <math>\sin(x)=\cos(x-\pi/2),</math> случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како <math>\cos(2\pi k/n)</math>, каде ''k'' и ''n'' се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од [[Комплексен број|комплексниот број]] <math>\cos(2\pi k/n) + i \sin(2\pi k/n)</math>. [[Формула на Де Моавр|Формулата на Де Моавр]] покажува дека броевите од овој облик се [[Корен на единица|корени на единицата]]:

: <math>\left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^n = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k) = 1</math>

Бидејќи коренот на единицата е [[Полиномен корен|корен]] од полиномот ''x'' <sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1, тој е [[Алгебарски број|алгебарски]]. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот [[комплексен конјугат]], а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица  е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според [[Нивенова теорема|Нивеновата теорема]], единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.<ref>{{Наведено списание|last=Schaumberger|first=Norman|year=1974|title=A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities|journal=[[Two-Year College Mathematics Journal]]|volume=5|issue=1|pages=73–76|doi=10.2307/3026991|jstor=3026991}}</ref>

== Проширена табела со точни вредности: до 360 степени ==
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ Exact values of common angles<ref name="Abramowitz 1972 loc=p. 74, 4.3.46"/><ref>{{cite web |last1=Surgent |first1=Scott |title=Exact Values of Sine and Cosine of Angles in Increments of 3 Degrees |url=https://math.la.asu.edu/~surgent/mat170/Exact_Trig_Values.pdf |website=Scott Surgent's ASU Website |publisher=Wayback Machine |date=November 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507003003/https://math.la.asu.edu/~surgent/mat170/Exact_Trig_Values.pdf |archive-date=2021-05-07 }}</ref>
![[Радијан]]!![[Степен (агол)|Степен]]!![[Sine|{{math|sin}}]]!![[Cosine|{{math|cos}}]]!![[Tangent function|{{math|tan}}]]!!{{math|cot}}!!{{math|sec}}!!{{math|csc}}
|-
!<math>0</math>!!<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>||<math>1</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>1</math>||<math>\infty</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{24}</math>!!<math>7.5^\circ</math>
|<math>\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}</math>||<math>\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}</math>||<math>\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2</math>||<math>\sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2</math>||<math>\sqrt{2}\sqrt{8 - 3\sqrt{6} - \sqrt{2 (49 - 20\sqrt{6})}}</math>||<math>\sqrt{2}\sqrt{8 + 3\sqrt{6} + \sqrt{2 (49 + 20\sqrt{6})}}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{12}</math>!!<math>15^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>2-\sqrt{3}</math>||<math>2+\sqrt{3}</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{10}</math>!!<math>18^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}</math>
||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5}}{5}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}</math>||<math>1+\sqrt{5}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{8}</math>||<math>22.5^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>||<math>\sqrt{2}-1</math>||<math>\sqrt{2}+1</math>||<math>\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math>||<math>\sqrt{4+2\sqrt{2}}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{6}</math>!!<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>\sqrt{3}</math>||<math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>||<math>2</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{5}</math>!!<math>36^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>||<math>\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{5}</math>||<math>\sqrt{5}-1</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{4}</math>!!<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>\sqrt{2}</math>||<math>\sqrt{2}</math>
|-
!<math>\frac{3\pi}{10}</math>!!<math>54^\circ</math>
|<math>\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{5}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}</math>||<math>\sqrt{5}-1</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{3}</math>!!<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>\frac{1}{2}</math>||<math>\sqrt{3}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
!<math>\frac{3\pi}{8}</math>||<math>67.5^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>||<math>\sqrt{2}+1</math>||<math>\sqrt{2}-1</math>||<math>\sqrt{4+2\sqrt{2}}</math>||<math>\sqrt{4-2\sqrt{2}}</math>
|-
!<math>\frac{2\pi}{5}</math>!!<math>72^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}</math>||<math>1+\sqrt{5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}</math>
|-
!<math>\frac{5\pi}{12}</math>!!<math>75^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>2+\sqrt{3}</math>||<math>2-\sqrt{3}</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>
|-
!<math>\frac{\pi}{2}</math>!!<math>90^\circ</math>
|<math>1</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>1</math>
|-
!<math>\frac{7\pi}{12}</math>!!<math>105^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>-2-\sqrt{3}</math>||<math>-2+\sqrt{3}</math>||<math>-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>
|-
!<math>\frac{2\pi}{3}</math>!!<math>120^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>-\frac{1}{2}</math>||<math>-\sqrt{3}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-2</math>||<math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
!<math>\frac{3\pi}{4}</math>!!<math>135^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>-1</math>||<math>-1</math>||<math>-\sqrt{2}</math>||<math>\sqrt{2}</math>
|-
!<math>\frac{5\pi}{6}</math>!!<math>150^\circ</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-\sqrt{3}</math>||<math>-\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>||<math>2</math>
|-
!<math>\frac{11\pi}{12}</math>!!<math>165^\circ</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-2-\sqrt{3}</math>||<math>-2+\sqrt{3}</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>
|-
!<math>\pi</math>!!<math>180^\circ</math>
|<math>0</math>||<math>-1</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>-1</math>||<math>\infty</math>
|-
!<math>\frac{13\pi}{12}</math>!!<math>195^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}</math>||<math>2-\sqrt{3}</math>||<math>2+\sqrt{3}</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})</math>
|-
!<math>\frac{7\pi}{6}</math>!!<math>210^\circ</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>\sqrt{3}</math>||<math>-\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-2</math>
|-
!<math>\frac{5\pi}{4}</math>!!<math>225^\circ</math>
|<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>-\sqrt{2}</math>||<math>-\sqrt{2}</math>
|-
!<math>\frac{4\pi}{3}</math>!!<math>240^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>-\frac{1}{2}</math>||<math>\sqrt{3}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-2</math>||<math>-\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
!<math>\frac{17\pi}{12}</math>!!<math>255^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>2+\sqrt{3}</math>||<math>2-\sqrt{3}</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>
|-
!<math>\frac{3\pi}{2}</math>!!<math>270^\circ</math>
|<math>-1</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>-1</math>
|-
!<math>\frac{19\pi}{12}</math>!!<math>285^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>-2-\sqrt{3}</math>||<math>-2+\sqrt{3}</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>
|-
!<math>\frac{5\pi}{3}</math>!!<math>300^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>\frac{1}{2}</math>||<math>-\sqrt{3}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>2</math>||<math>-\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
!<math>\frac{7\pi}{4}</math>!!<math>315^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>||<math>-1</math>||<math>-1</math>||<math>\sqrt{2}</math>||<math>-\sqrt{2}</math>
|-
!<math>\frac{11\pi}{6}</math>!!<math>330^\circ</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>||<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>||<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-\sqrt{3}</math>||<math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>||<math>-2</math>
|-
!<math>\frac{23\pi}{12}</math>!!<math>345^\circ</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>||<math>-2+\sqrt{3}</math>||<math>-2-\sqrt{3}</math>||<math>\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>||<math>-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math>
|}

== Поврзано ==
* [[Список на тригонометриски еднаквости]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Библиографија ==
* {{наведено списание |first1=D. H. |last1=Lehmer |title=A note on trigonometric algebraic numbers |journal=American Mathematical Monthly |year=1933 |pages=165–166 |volume=40 |number=3 |doi=10.2307/2301023 |jstor=2301023}}
* {{Наведена книга |editor1-last=Abramowitz |editor1-first=Milton |editor1-link=Milton Abramowitz |editor2-last=Stegun |editor2-first=Irene A. |editor2-link=Irene Stegun |title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher=[[Dover Publications]] |location=New York |isbn=978-0-486-61272-0 |year=1972 |url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra}}
* {{наведено списание |first1=William |last1=Watkins |first2=Joel |last2=Zeitlin |title=The minimal polynomial of cos(2*pi/n) |year=1993 |pages=471–474 |journal=American Mathematical Monthly |doi=10.2307/2324301 |jstor=2324301 |volume=100 |number=5}}
*{{наведено списание |first1=Kurt |last1=Girstmair |title=Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n |journal=Acta Arithmetica |volume=81 |year=1997 |issue=4 |pages=387–498 |doi=10.4064/aa-81-4-387-398 |mr=1472818 |url=https://bibliotekanauki.pl/articles/1390870.pdf}}
*{{наведено списание |first1=John H. |last1=Conway |first2=Charles |last2=Radin |first3=Lorenzo |last3=Sadun |title=On angles whose squared trigonometric functions are rational |journal=Discrete & Computational Geometry |year=1999 |pages=321–332 |volume=22 |issue=3 |mr=1706614 |arxiv=math-ph/9812019 |doi=10.1007/PL00009463 |s2cid=563915 }}
* {{наведено списание |first1=Paul |last1=Bracken |first2=Jiri |last2=Cizek |title=evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of zeta(3)/pi^3 |year=2002 |journal=International Journal of Quantum Chemistry |doi=10.1002/qua.1803 |pages=42–53}}
* {{наведено списание |first1=L. D. |last1=Servi |title=Nested square roots of 2 |journal=American Mathematical Monthly |year=2003 |volume=110 |number=4 |pages=326–330 |doi=10.2307/3647881 |jstor=3647881 }}
* {{наведено списание |first1=Scott |last1=Beslin |first2=Valerio |last2=de Angelis |title=The minimal polynomials of sin(2*pi/p) and cos(2*pi/p) |journal=Mathematics Magazine |volume=77 |number=2 |year=2004 |jstor=3219105 |pages=146–149 |doi=10.1080/0025570X.2004.11953242 |s2cid=118497912 }}
* {{наведено списание |first1=Pinthira |last1=Tangsupphathawat |first2=Vichian |last2=Laohakosol |title=Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of pi |year=2016 |journal=Journal of Integer Sequences |volume=19 |page=16.2.8 |url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Laohakosol/lao2.html}}
{{Refend}}
{{Ирационален број}}

[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Ирационални броеви]]