Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во $\cos (\pi /4)\approx 0.707$, или точно, како во $\cos (\pi /4)=\sqrt{2}/2$. Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.

Вообичаени агли

Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°. За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу, $\mathrm{\infty }$ значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).

Радијани	Степени	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$1$	$\mathrm{\infty }$
$\frac{\pi }{12}$	$15^{\circ }$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$\frac{\pi }{10}$	$18^{\circ }$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$	$1+\sqrt{5}$
$\frac{\pi }{8}$	$22.5^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
$\frac{\pi }{6}$	$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$\frac{\pi }{5}$	$36^{\circ }$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5}-1$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$
$\frac{\pi }{4}$	$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$\frac{3\pi }{10}$	$54^{\circ }$	$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5}-1$
$\frac{\pi }{3}$	$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\frac{3\pi }{8}$	$67.5^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
$\frac{2\pi }{5}$	$72^{\circ }$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$1+\sqrt{5}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$
$\frac{5\pi }{12}$	$75^{\circ }$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$\frac{\pi }{2}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$1$

Изразување со квадратни корени

Некои точни тригонометриски вредности, како на пример $\sin (60^{\circ })=\sqrt{3}/2$, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број. Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример $\cos (20^{\circ })$, докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде $a\pi /b$ радијани, каде што a и b се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, b, се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка. На пример, $15^{\circ }$ и $24^{\circ }$ се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на $\pi /12$ и $2\pi /15$ радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, $20^{\circ }$ не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 3², а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, $(360/7{)}^{\circ }$ не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.

Изведување на конструктибилни вредности

Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како $a\pi /b$, ова го опфаќа случајот кога a е 1, а b е 2, 3, 4 или 6.

Формула со половина агол

Ако именителот, b, се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:

$\sin (22.5^{\circ })=\sqrt{\frac{1-\cos (45^{\circ })}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos (22.5^{\circ })=\sqrt{\frac{1+\cos (45^{\circ })}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава $\sqrt{2+\cdots }$ на броителот и именителот е 2. На пример:

$\cos \left(\frac{\pi }{16}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{32}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$

$\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\cos \left(\frac{\pi }{24}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}{2}$

Синус од 18°

Случаите кога именителот, b, е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на $\sin (18^{\circ })$, со оглед дека $18^{\circ }=\pi /10$ радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:

$\sin (36^{\circ })=2\sin (18^{\circ })\cos (18^{\circ })$

Според формулата за троен агол за косинус:

$\cos (54^{\circ })={\cos }^3(18^{\circ })-3{\sin }^2(18^{\circ })\cos (18^{\circ })=\cos (18^{\circ })(1-4{\sin }^2(18^{\circ }))$

Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):

$2\sin (18^{\circ })=1-4{\sin }^2(18^{\circ })$

Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:

$\sin (18^{\circ })=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Користење на други еднаквости

Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога b е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи $24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }$, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

$\begin{array}{cc}\cos (24^{\circ })& =\cos (60^{\circ })\cos (36^{\circ })+\sin (60^{\circ })\sin (36^{\circ })\\ & =\frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}\end{array}$

Именител 17

Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се $2\pi /17$ радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека:

$\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{16}$

Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

Корени од единица

Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува тригонометриски број. Предлошка:RpБидејќи $\sin (x)=\cos (x-\pi /2),$ случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како $\cos (2\pi k/n)$, каде k и n се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број $\cos (2\pi k/n)+i\sin (2\pi k/n)$. Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:

${(\cos \left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi k}{n}\right))}^n=\cos (2\pi k)+i\sin (2\pi k)=1$

Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот x ⁿ − 1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.

Проширена табела со точни вредности: до 360 степени

Exact values of common angles

Радијан	Степен	[[Sine|Предлошка:Math]]	[[Cosine|Предлошка:Math]]	[[Tangent function|Предлошка:Math]]	Предлошка:Math	Предлошка:Math	Предлошка:Math
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$1$	$\mathrm{\infty }$
$\frac{\pi }{24}$	$7.5^{\circ }$	$\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$	$\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2$	$\sqrt{2}\sqrt{8-3\sqrt{6}-\sqrt{2(49-20\sqrt{6})}}$	$\sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{6}+\sqrt{2(49+20\sqrt{6})}}$
$\frac{\pi }{12}$	$15^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
$\frac{\pi }{10}$	$18^{\circ }$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$	$1+\sqrt{5}$
$\frac{\pi }{8}$	$22.5^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
$\frac{\pi }{6}$	$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$\frac{\pi }{5}$	$36^{\circ }$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5}-1$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$
$\frac{\pi }{4}$	$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$\frac{3\pi }{10}$	$54^{\circ }$	$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5}-1$
$\frac{\pi }{3}$	$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\frac{3\pi }{8}$	$67.5^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
$\frac{2\pi }{5}$	$72^{\circ }$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$1+\sqrt{5}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$
$\frac{5\pi }{12}$	$75^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$
$\frac{\pi }{2}$	$90^{\circ }$	$1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$1$
$\frac{7\pi }{12}$	$105^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$-2-\sqrt{3}$	$-2+\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$
$\frac{2\pi }{3}$	$120^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\frac{3\pi }{4}$	$135^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$-\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$\frac{5\pi }{6}$	$150^{\circ }$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$
$\frac{11\pi }{12}$	$165^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-2-\sqrt{3}$	$-2+\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$
$\pi$	$180^{\circ }$	$0$	$-1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$
$\frac{13\pi }{12}$	$195^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$	$-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})$
$\frac{7\pi }{6}$	$210^{\circ }$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$\frac{5\pi }{4}$	$225^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$\frac{4\pi }{3}$	$240^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\frac{17\pi }{12}$	$255^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$
$\frac{3\pi }{2}$	$270^{\circ }$	$-1$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$-1$
$\frac{19\pi }{12}$	$285^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$-2-\sqrt{3}$	$-2+\sqrt{3}$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$
$\frac{5\pi }{3}$	$300^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\frac{7\pi }{4}$	$315^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$\frac{11\pi }{6}$	$330^{\circ }$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-2$
$\frac{23\pi }{12}$	$345^{\circ }$	$-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)$	$\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)$	$-2+\sqrt{3}$	$-2-\sqrt{3}$	$\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$	$-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$

Поврзано

• Список на тригонометриски еднаквости

Библиографија

• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание