Преглед на кодот на Фуриеов ред

[[Слика:Fourier Series.svg|мини|десно|180px|Првите четири хармоници на Фуриеов ред за [[правоаголен бран]].]]
'''Фуриеов ред''' – начин во [[математика]]та со кој [[периодична функција|периодичната функција]] се разлага на своите „спектрални компоненти“ заради поедноставна анализа. Неколкуте први членови на таквото разложување во техниката често се земаат како многу корисен вид на [[апроксимација]].

[[Дискретна Фуриеова преобразба|Дискретната Фуриеова преобразба]] ги претвора дискретните вредности ([[вектор]]) во Фуриеови коефициенти. [[Непрекината Фуриеова преобразба|Непрекинатата Фуриеова преобразба]] го прави истото тоа со [[Функција (математика)|функциите]]. Името го добила според францускиот математичар [[Жозеф Фурие]] (1768 — 1830).

== Математичка основа ==

Нека <math>f(t)\,</math> е периодична функција со период T, за која важи <math>f(t+T) = f(t)\,</math>.
Заради периодичноста може да се раздели на N синусни и косинусни функции:

:<math> f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).
</math>, <math>\omega := 2 \cdot \pi \cdot freq</math>, каде <math>freq</math> е основна честота, односно хармоник.

Треба да се има на ум дека синусот е само косинус со фазно поместување:

:<math> f(t)=\sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n)
=A_0+\sum_{n=1}^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))
</math>

Кога се дефинира <math>a_0:=A_0\,</math>, а потоа <math>a_n:=A_n\cos \varphi_n</math> и <math>b_n:=A_n\sin \varphi_n</math> се добива ист израз, овој пат без фаза:

:<math> f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).</math>

Зошто не се зема tan или на пример cosh? Зошто токму cos и sin? Причината е ортогоналност на  sin и cos функциите. 
<math>\cos(t) \cdot \sin(t) = \int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cdot \sin(t) {d}t = 0</math>

Зад [[Фуриеова трансформација|Фуриеовата трансформација]] е следната идеја: целиот простор кој има „нормални“ оски се трансформира во простор во кој нови ортогонални оски се косинусните и синусните бранови и нивните виши хармоници. Сигнал кој го трансформираме е само една точка (месен вектор), а вредностите на секоја оска се амплитуди на секој хармоник поединечно
 (<math>[A_0,\ldots,A_N]</math>).

Сега се вклучува [[Ојлеров идентитет|Ојлеровиот идентитет]] со чија помош овие [[тригонометриски функции]] може да се заменат со комплексни пандани:

:<math> \cos (x) = \frac{1}{2} \left(e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right) </math> и <math> \sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i}} \left(e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right) </math>

Од тоа понатаму следи
:<math> f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} + e^{-\mathrm{i}n \omega  t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} - e^{-\mathrm{i}n \omega  t})\right)
</math>
:<math> = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left(a_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} + e^{-\mathrm{i}n \omega  t})+\mathrm{i}b_n (e^{\mathrm{i}n \omega  t} - e^{-\mathrm{i}n \omega  t})\right)
</math>
:<math>
 = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left((a_n+\mathrm{i}b_n)e^{\mathrm{i}n \omega  t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)e^{-\mathrm{i}n \omega  t}\right)
</math>

Ги заменуваме реалните коефициенти со комплексни: 
:<math>c_0:=a_0\,</math>, <math>c_n:=\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)</math> и <math>c_{-n}:=\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n) = \overline{c_n}</math>

Добиваме сума со негативни индекси:
:<math>
f(t) = \sum_{k=-N}^{N} c_ke^{\mathrm{i}k \omega  t }
</math>

Исто така, не треба да се губи од вид дека <math>e^{\mathrm{i}jt}</math> се исто функции со ортонормална база (секој вектор кој претставува оска има должина 1 и е нормален во однос на сите останати вектори):

Во случај <math>j = k</math>
:<math>(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} j t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} j t} } dt =  \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} j t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} 1 dt = 1</math>

А за <math>j \neq k</math> важи:

:<math>(e^{ \mathrm{i} j t}, e^{ \mathrm{i} k t}) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} \overline {e^{ \mathrm{i} k t} } dt =  \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} j t} e^{ -\mathrm{i} k t} dt
= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} e^{ \mathrm{i} (j-k) t}</math>
:<math> = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j - k)} \left[ e^{ \mathrm{i}(j-k) t} \right]_0^{2 \pi}
= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \left (e^{\mathrm{i} (j-k) 2\pi} - 1 \right) = </math>
:<math>= \frac{1}{2 \pi \mathrm{i} (j-k)} \cdot 0 = 0</math>

== Фуриеови редови ==
Сега сакаме некоја периодична и непрекината функција приближно да ја пресметаме со помош на сума од тригонометриски функции (конкретно: косинус и синус). Видовме како можеме да дојдемо до <math>c_j</math>; горната равенка ја множиме со <math>e^{-\mathrm{i} m \omega t}</math> и на крајот ја интегрираме од двете страни во интервалот [0,T] односно во траење од една периода:

:<math>  
e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t)  = \sum_{n=-N}^N c_n \left(e^{\mathrm{i}(n \omega t)} e^{-\mathrm{i} m \omega t} \right)
= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t} =\sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} n \omega t }
</math>
:<math>
\Leftrightarrow \int_0^T e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m}  c_{n+m} \int_0^T  e^{\mathrm{i} n \omega t } dt
</math>

За интегралите од десната страна важи:

:када је ''n=0'': <math> \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t } dt = \int_0^T e^0 = \left[ 1 \right]_0^T = T</math>
:а кога е ''n≠0'': <math> \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = \left[ \frac1{\mathrm{i}n \omega } e^{\mathrm{i} n\omega t} \right]_0^T</math> <math>= \frac1{\mathrm{i}n \omega } (e^{\mathrm{i} n\omega T } - 1)</math>

Од <math> \omega T=2\pi</math> следи <math>e^{ \mathrm{i}n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm{i}})^n=1</math>, а тоа понатаму можеме да го примениме на горенаведениот интеграл: 
:<math> \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = 0</math>

На крајот целата пресметка се упростува:

:<math>\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt = \sum_{n=-N-m}^{N-m}  c_{n+m} \int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt</math>
:<math>= \sum_{n=-N-m}^{-1} c_{n+m}\int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt + c_m \cdot \int_0^T  e^{\mathrm{i} 0 \omega t} dt + \sum_{n=1}^{N-m} c_{n+m}\int_0^T  e^{\mathrm{i}n \omega t} dt</math>
:<math>= 0 + c_mT + 0 = c_mT = \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt
</math>

<math>
 \Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt.
</math>

Во целата пресметка не треба да нè збунува користењето на променливата <math>m</math>, нејзината цел е само упростување на равенките. Сето тоа е само досетливост, односно уметност како да се напише едно те исто на поинаков начин.

На крајот, дефинираме Фуријеов ред:
:<math>f_N(t)=\sum_{n=-N}^N c_ne^{in\omega t}</math>

== Конвергентност на Фуриеов ред ==
Фуриеовот ред [[конвергентност|конвергира]] кон многу функции; тука спаѓаат покрај другите сите функции кои имаат [[извод]] или се квадратно интеграбилни (''L''<sup>2</sup> простор).

Да претпоставиме дека <math>f(t)</math> е една таква функција. Кога ќе го наместиме <math>N \rightarrow \infty</math>, тогаш таа исто така може да се напише и вака:
:<math>
f(t) 
= \sum_{n=-N}^N c_n e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac1T (\int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt) \cdot e^{ \mathrm{i} n \omega t }
= \sum_{n=-N}^N \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t }}{ T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt 
</math>

:<math>
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{ e^{ \mathrm{i} n \omega t }}{ T } \cdot \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt </math>

== Литература ==
{{refbegin|2}}
* {{Наведена книга |author=William E. Boyce and Richard C. DiPrima |title=Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems |edition=8 |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |location=New Jersey |year=2005 |isbn=978-0-471-43338-5}}
* {{Наведена книга |author=Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman | title = The Analytical Theory of Heat | publisher = Dover Publications | year =2003 |isbn=978-0-486-49531-6}} 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work ''Théorie Analytique de la Chaleur'', originally published in 1822.
* {{Наведено списание |author=Enrique A. Gonzalez-Velasco |title=Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |year=1992 |pages=427-441 |issue=5 |doi=10.2307/2325087}}
* {{Наведено списание| last=Katznelson| first= Yitzhak| title=An introduction to harmonic analysis| edition = Second corrected | publisher = Dover Publications, Inc | year=1976 | location=New York  |isbn=978-0-486-63331-2}}
* Felix Klein, ''Development of mathematics in the 19th century''. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert'', Springer, Berlin, 1928.
* {{Наведена книга |author=Walter Rudin |title=Principles of mathematical analysis |edition=3 |publisher=McGraw-Hill, Inc. |location=New York |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}
* {{Наведена книга |author=A. Zygmund | title=Trigonometric series | edition=third | publisher = Cambridge University Press | location=Cambridge | year=2002 |isbn=978-0-521-89053-3}} The first edition was published in 1935.
{{refend}}

==Надворешни врски==
*{{springer|title=Fourier series|id=p/f041090}}
* {{MathWorld | urlname= FourierSeries | title= Fourier Series}}
* {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20011205152434/http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html |date=December 5, 2001 |title=Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article }}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Низи и редови]]
[[Категорија:Фундаментални концепти на физиката]]
[[Категорија:Жозеф Фурие]]