Фуриеов ред

Првите четири хармоници на Фуриеов ред за правоаголен бран.

Фуриеов ред – начин во математиката со кој периодичната функција се разлага на своите „спектрални компоненти“ заради поедноставна анализа. Неколкуте први членови на таквото разложување во техниката често се земаат како многу корисен вид на апроксимација.

Дискретната Фуриеова преобразба ги претвора дискретните вредности (вектор) во Фуриеови коефициенти. Непрекинатата Фуриеова преобразба го прави истото тоа со функциите. Името го добила според францускиот математичар Жозеф Фурие (1768 — 1830).

Математичка основа

Нека $f(t)$ е периодична функција со период T, за која важи $f(t+T)=f(t)$. Заради периодичноста може да се раздели на N синусни и косинусни функции:

$f(t)=A_0+A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)+A_2\cos (2\omega t+{\phi }_2)+\dots +A_N\cos (N\omega t+{\phi }_N)=\sum _{n=0}^N{A}_n\cos (n\omega t+{\phi }_n).$, $\omega :=2\cdot \pi \cdot freq$, каде $freq$ е основна честота, односно хармоник.

Треба да се има на ум дека синусот е само косинус со фазно поместување:

$f(t)=\sum _{n=0}^N{A}_n\cos (n\omega t+{\phi }_n)=A_0+\sum _{n=1}^N(A_n\cos {\phi }_n\cdot \cos (n\omega t)-A_n\sin {\phi }_n\cdot \sin (n\omega t))$

Кога се дефинира $a_0:=A_0$, а потоа $a_n:=A_n\cos {\phi }_n$ и $b_n:=A_n\sin {\phi }_n$ се добива ист израз, овој пат без фаза:

$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^N(a_n\cos (n\omega t)-b_n\sin (n\omega t)).$

Зошто не се зема tan или на пример cosh? Зошто токму cos и sin? Причината е ортогоналност на sin и cos функциите. $\cos (t)\cdot \sin (t)=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (t)\cdot \sin (t)dt=0$

Зад Фуриеовата трансформација е следната идеја: целиот простор кој има „нормални“ оски се трансформира во простор во кој нови ортогонални оски се косинусните и синусните бранови и нивните виши хармоници. Сигнал кој го трансформираме е само една точка (месен вектор), а вредностите на секоја оска се амплитуди на секој хармоник поединечно

($[A_0,\dots ,A_N]$).

Сега се вклучува Ојлеровиот идентитет со чија помош овие тригонометриски функции може да се заменат со комплексни пандани:

$\cos (x)=\frac{1}{2}(e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x})$ и $\sin (x)=\frac{1}{2\mathrm{i}}(e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x})$

Од тоа понатаму следи

$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n(e^{\mathrm{i}n\omega t}+e^{-\mathrm{i}n\omega t})-\frac{1}{\mathrm{i}}{b}_n(e^{\mathrm{i}n\omega t}-e^{-\mathrm{i}n\omega t}))$

$=a_0+\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n(e^{\mathrm{i}n\omega t}+e^{-\mathrm{i}n\omega t})+\mathrm{i}{b}_n(e^{\mathrm{i}n\omega t}-e^{-\mathrm{i}n\omega t}))$

$=a_0+\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}((a_n+\mathrm{i}{b}_n)e^{\mathrm{i}n\omega t}+(a_n-\mathrm{i}{b}_n)e^{-\mathrm{i}n\omega t})$

Ги заменуваме реалните коефициенти со комплексни:

$c_0:=a_0$, $c_n:=\frac{1}{2}(a_n+\mathrm{i}{b}_n)$ и $c_{-n}:=\frac{1}{2}(a_n-\mathrm{i}{b}_n)=\overline{c_n}$

Добиваме сума со негативни индекси:

$f(t)=\sum _{k=-N}^N{c}_k{e}^{\mathrm{i}k\omega t}$

Исто така, не треба да се губи од вид дека $e^{\mathrm{i}jt}$ се исто функции со ортонормална база (секој вектор кој претставува оска има должина 1 и е нормален во однос на сите останати вектори):

Во случај $j=k$

$(e^{\mathrm{i}jt},e^{\mathrm{i}jt})=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{\mathrm{i}jt}\overline{e^{\mathrm{i}jt}}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{\mathrm{i}jt}{e}^{-\mathrm{i}jt}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}1dt=1$

А за $j\ne k$ важи:

$(e^{\mathrm{i}jt},e^{\mathrm{i}kt})=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{\mathrm{i}jt}\overline{e^{\mathrm{i}kt}}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{\mathrm{i}jt}{e}^{-\mathrm{i}kt}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{\mathrm{i}(j-k)t}$

$=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}(j-k)}{\left[e^{\mathrm{i}(j-k)t}\right]}_0^{2\pi }=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}(j-k)}(e^{\mathrm{i}(j-k)2\pi }-1)=$

$=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}(j-k)}\cdot 0=0$

Фуриеови редови

Сега сакаме некоја периодична и непрекината функција приближно да ја пресметаме со помош на сума од тригонометриски функции (конкретно: косинус и синус). Видовме како можеме да дојдемо до $c_j$; горната равенка ја множиме со $e^{-\mathrm{i}m\omega t}$ и на крајот ја интегрираме од двете страни во интервалот [0,T] односно во траење од една периода:

$e^{-\mathrm{i}m\omega t}f(t)=\sum _{n=-N}^N{c}_n\left(e^{\mathrm{i}(n\omega t)}{e}^{-\mathrm{i}m\omega t}\right)=\sum _{n=-N-m}^{N-m}{c}_{n+m}{e}^{\mathrm{i}(n+m)\omega t-\mathrm{i}m\omega t}=\sum _{n=-N-m}^{N-m}{c}_{n+m}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}$

$\iff \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}m\omega t}f(t)dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}{c}_{n+m}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt$

За интегралите од десната страна важи:

када је n=0: $\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}0\omega t}dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^0={\left[1\right]}_0^T=T$

а кога е n≠0: $\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt={\left[\frac{1}{\mathrm{i}n\omega }{e}^{\mathrm{i}n\omega t}\right]}_0^T$ $=\frac{1}{\mathrm{i}n\omega }(e^{\mathrm{i}n\omega T}-1)$

Од $\omega T=2\pi$ следи $e^{\mathrm{i}n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm{i}}{)}^n=1$, а тоа понатаму можеме да го примениме на горенаведениот интеграл:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt=0$

На крајот целата пресметка се упростува:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}m\omega t}dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}{c}_{n+m}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt$

$=\sum _{n=-N-m}^{-1}{c}_{n+m}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt+c_m\cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}0\omega t}dt+\sum _{n=1}^{N-m}{c}_{n+m}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{\mathrm{i}n\omega t}dt$

$=0+c_{m}T+0=c_{m}T=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}m\omega t}dt$

$\iff c_m=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}m\omega t}dt.$

Во целата пресметка не треба да нè збунува користењето на променливата $m$, нејзината цел е само упростување на равенките. Сето тоа е само досетливост, односно уметност како да се напише едно те исто на поинаков начин.

На крајот, дефинираме Фуријеов ред:

$f_N(t)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{in\omega t}$

Конвергентност на Фуриеов ред

Фуриеовот ред конвергира кон многу функции; тука спаѓаат покрај другите сите функции кои имаат извод или се квадратно интеграбилни (L² простор).

Да претпоставиме дека $f(t)$ е една таква функција. Кога ќе го наместиме $N\to \mathrm{\infty }$, тогаш таа исто така може да се напише и вака:

$f(t)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{\mathrm{i}n\omega t}=\sum _{n=-N}^N\frac{1}{T}(\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm{i}n\omega t}=\sum _{n=-N}^N\frac{e^{\mathrm{i}n\omega t}}{T}\cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}n\omega t}dt$

$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{\mathrm{i}n\omega t}}{T}\cdot \underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}n\omega t}dt$

Литература

• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Предлошка:Наведено списание
• Предлошка:Наведено списание
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга The first edition was published in 1935.

Надворешни врски

• Предлошка:Springer
• Предлошка:MathWorld
• Предлошка:Webarchive