Изводи на тригонометриски функции

Функција	Извод
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{arccot}(x)$	$-\frac{1}{x^2+1}$
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{arccsc}(x)$	$-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Вадење извод на тригонометриски функции — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(a) = cos(a), што значи дека брзината на промена на sin(x) за одреден агол x = a е дадена со косинус на тој агол.

Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(x) и cos(x) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(x) = sin(x)/cos(x). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .

Докази за изводи на тригонометриски функции

Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Предлошка:Center

Дијаграмот десно покажува кружница со центар O и полупречник r = 1. Нека двата полупречници OA и OB прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога θ се стреми кон нула, може да претпоставиме дека θ е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.

На дијаграмот, нека R₁ е триаголникот OAB, R₂ кружниот исечок OAB, и R₃ триаголникот OAC . Плоштината на триаголникот OAB е:

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_1)=\frac{1}{2}|OA||OB|\sin \theta =\frac{1}{2}\sin \theta .$

Плоштината на кружниот исечок OAB е $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_2)=\frac{1}{2}\theta$, додека плоштината на триаголникот OAC е дадена со:

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}(R_3)=\frac{1}{2}|OA||AC|=\frac{1}{2}\tan \theta .$

Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:

$\text{Area}(R_1)<\text{Area}(R_2)<\text{Area}(R_3)⟹\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta .$

Покрај тоа, бидејќи Предлошка:Безпрелом во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ Предлошка:Безпрелом, со што се добива:

$1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }⟹1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\cos \theta .$

Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.

Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината Предлошка:Безпрелом е секогаш помала од 1 и секогаш поголема од cos(θ). Така, како што θ се приближува до 0, Предлошка:Безпрелом се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница Предлошка:Безпрелом, која расте кон 1; оттука sin(θ)/ θ мора да се стреми кон 1 како што θ се стреми кон 0 од позитивната страна:

$\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

За случајот кога θ е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :

$\underset{\theta \to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin (-\theta )}{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{-\sin \theta }{-\theta }=\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1.$

Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0

Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот θ е неважен.

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{\lim }\left(\frac{\cos \theta -1}{\theta }\right)\left(\frac{\cos \theta +1}{\cos \theta +1}\right)=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{{\cos }^2\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}.$

Користејќи Предлошка:Безпрелом фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta -1}{\theta }=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{-{\sin }^2\theta }{\theta (\cos \theta +1)}=(-\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta })\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}\right)=(-1)\left(\frac{0}{2}\right)=0.$

Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0

Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:

$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\tan \theta }{\theta }=\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }\right)\left(\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \theta }\right)=(1)(1)=1.$

Извод на синусна функција

Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\sin (\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }.$

Користејќи ја формулата за збир на агли Предлошка:Безпрелом, имаме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{\lim }(\frac{\sin \delta }{\delta }\cos \theta +\frac{\cos \delta -1}{\delta }\sin \theta ).$

Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta .$

Извод на косинусна функција

Од дефиницијата за извод

Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\cos (\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }.$

Користејќи ја формулата за збир на агли Предлошка:Безпрелом, имаме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }=\underset{\delta \to 0}{\lim }(\frac{\cos \delta -1}{\delta }\cos \theta -\frac{\sin \delta }{\delta }\sin \theta ).$

Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta .$

Од правилото за извод на сложена функција

За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:

$\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin \theta =\cos \theta$

Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако $f(x)=\sin x,g(\theta )=\frac{\pi }{2}-\theta$, имаме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }f\left(g\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\left(\theta \right)=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot (0-1)=-\sin \theta$ .

Значи, докажавме дека

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\cos \theta =-\sin \theta$ .

Извод од функцијата тангенс

Од дефиницијата за извод

За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan θ, ги користиме првите принципи . По дефиниција:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{\tan (\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }\right).$

Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли Предлошка:Безпрелом, имаме:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\left[\frac{\frac{\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }-\tan \theta }{\delta }\right]=\underset{\delta \to 0}{\lim }\left[\frac{\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +{\tan }^2\theta \tan \delta }{\delta (1-\tan \theta \tan \delta )}\right].$

Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\tan \delta }{\delta }\times \underset{\delta \to 0}{\lim }\left(\frac{1+{\tan }^2\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }\right).$

Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan δ се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1\times \frac{1+{\tan }^2\theta }{1-0}=1+{\tan }^2\theta .$

Веднаш гледаме дека:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta .$

Од правилото за количник

Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{{(\sin \theta )}^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot {(\cos \theta )}^{\prime }}{{\cos }^2\theta }=\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }$

Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:

$\frac{1}{{\cos }^2\theta }={\sec }^2\theta$

Значи,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\tan \theta ={\sec }^2\theta$

Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции

Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива y еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по dy/dx, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на y. За да го претвориме dy/dx назад да биде во однос на x, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи θ да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме dy/dx во однос на x.

Диференцирање на инверзна синусна функција

Нека

$y=\arcsin x$

Каде

$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$

Потоа

$\sin y=x$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

$\frac{d}{dx}\sin y=\frac{d}{dx}x$

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Заменувајќи $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}$ во погорниот израз, добиваме:

$\sqrt{1-{\sin }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Со замена $x=\sin y$ ,

$\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Диференцирање на инверзна косинусна функција

Нека

$y=\arccos x$

Каде

$0\le y\le \pi$

Потоа

$\cos y=x$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

$\frac{d}{dx}\cos y=\frac{d}{dx}x$

$-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Со замена $\sin y=\sqrt{1-{\cos }^{2}y}$ , добиваме

$-\sqrt{1-{\cos }^{2}y}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Со замена $x=\cos y$, добиваме

$-\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Алтернативно, еднаш добиен изводот на $\arcsin x$, изводот на $\arccos x$ веднаш следи со диференцирање на идентитетот $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ така што $(\arccos x{)}^{\prime }=-(\arcsin x{)}^{\prime }$ .

Диференцирање на инверзна тангенсна функција

Нека

$y=\arctan x$

Каде

$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$

Потоа

$\tan y=x$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и со решавање по dy/dx:

$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x$

Левата страна:

$\frac{d}{dx}\tan y={\sec }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

$\frac{d}{dx}x=1$

Следува,

$(1+{\tan }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

Со замена $x=\tan y$, добиваме

$(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

Диференцирање на инверзна котангенсна функција

Нека

$y=\mathrm{arccot}x$

каде $0<y<\pi$ . Потоа

$\cot y=x$

Диференцирајќи во однос на $x$ на двете страни и решавање по dy/dx:

$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$

Левата страна:

$\frac{d}{dx}\cot y=-{\csc }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}$ користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:

$\frac{d}{dx}x=1$

Следува,

$-(1+{\cot }^{2}y)\frac{dy}{dx}=1$

Со замена $x=\cot y$ ,

$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$

Диференцирање на инверзна секансна функција

Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

$y=\mathrm{arcsec}x|x|\ge 1$

Потоа

$x=\sec yy\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

$\frac{dx}{dy}=\sec y\tan y=|x|\sqrt{x^2-1}$

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот $\sqrt{x^2-1}$ е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Со користење на правилото на извод на сложена функција

Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.

Нека

$y=\mathrm{arcsec}x=\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$

Каде

$|x|\ge 1$ и $y\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на $\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$ :

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Диференцирање на инверзна косекансна функција

Со користење на имплицитно диференцирање

Нека

$y=\mathrm{arccsc}x|x|\ge 1$

Потоа

$x=\csc yy\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

$\frac{dx}{dy}=-\csc y\cot y=-|x|\sqrt{x^2-1}$

(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот $\sqrt{x^2-1}$ е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Со користење на правилото за извод на сложена функција

Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.

Нека

$y=\mathrm{arccsc}x=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$

Каде

$|x|\ge 1$ и $y\in [-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}]$

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на $\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x}{)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Поврзано

• Калкулус
• Извод
• Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
• Список на тригонометриски идентитети
• Таблица на изводи
• Тригонометрија

Библиографија

• Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)