Таблица на изводи

Една од главните операции во математичката анализа е наоѓање на извод. Подолу се дадени изводи од многу функции. Ознаките f и g претставуваат диференцијабилни функции од реални броеви, а c е реален број. Овие формули се доволни за да се диференцира која било елементарна функција. Напомена: Во понатамошниот текст извод од функцијата f ќе се означува на вообичаен начин: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$, за да се назначи дека се диференцира по параметарот $x$.

Општи правила за изводи

Линеарност

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$

$\left(f+g\right)=f^{\prime }+g^{\prime }$

Извод од производ

$\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Извод од количник

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

Извод од сложена функција

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }$

Извод од инверзна функција

$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}.$

Изводи од прости функции

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}c=0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}cx=c$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|=\frac{|x|}{x}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^c=c{x}^{c-1}$ каде што и x^c и cx^c-1 се дефинирани

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{-c}\right)=-\frac{c}{x^{c+1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

Изводи од експоненцијални и логаритамски функции

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\log }_{c}x=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x},x>0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln |x|=\frac{1}{x}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^x=x^x(1+\ln x)$

Изводи од тригонометриски функции

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x=-\sin x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\tan x\sec x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x=-\csc x\cot x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}x=\frac{-1}{1+x^2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Изводи од хиперболични функции

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh x=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sech}x=-\tanh x\mathrm{sech}x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{csch}x=-\coth x\mathrm{csch}x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arctanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsech}x=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsch}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$