Алтернативен ред

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n,$

каде што a_n ≥ 0 (или a_n ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум

Предлошка:Главна Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите a_n монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата $a_n$ конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако $m$ е непарен број $m<n$, проценката $S_m-S_n<a_m$ може да се добие преку следнава пресметка:

$\begin{array}{cc}{S}_m-S_n& =\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k=\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k\\ & =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ & =a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n\le a_{m+1}\le a_m\end{array}$

Бидејќи $a_n$ е монотоно опаѓачка низа, членовите $-(a_m-a_{m+1})$ се негативни. На тој начин се добива последното неравенство $S_m-S_n\le a_m$. На сличен начин може да се докаже дека $-a_m\le S_m-S_n$. Бидејќи $a_m$ конвергира до $0$, делумните суми $S_m$ сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај $m$ да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција

Апсолутна конвергенција

Редот $\sum a_n$ конвергира апсолутно ако редот $\sum |a_n|$ конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

• Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.

Доказ

Да претпоставиме дека редот $\sum a_n$ е апсолутно конвергентен. Тогаш, $\sum |a_n|$ е конвергентен и следува дека $\sum 2|a_n|$, исто така, конвергира. Бидејќи $0\le a_n+|a_n|\le 2|a_n|$, редот $\sum (a_n+|a_n|)$ конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот $\sum a_n$ конвергира како разлика од двата конвергентни реда, $\sum a_n=\sum (a_n+|a_n|)-\sum |a_n|$.

Условна конвергенција

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},$

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+-\dots =\ln 2$

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots \to \mathrm{\infty }.$

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

$\sin (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+-\dots$

$\cos (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+-\dots .$

Поврзано

• Ред (математика).