Аркус котангенс

Аркус котангенс – функција инверзна на котангенсната функција во ограничениот интервал [-π/2,π/2]. Се користи се за одредување на големина на агол во овој опсег, кога е позната вредноста на неговиот котангенс. Може да се дефинира со следната формула:

$\mathrm{arcctg}x={\mathrm{ctg}}^{-1}x=\frac{i}{2}(\log (1-\frac{i}{x})-\log (1+\frac{i}{x}))$

При што треба да важи -{x}- е различно од нула.

Формули

Формули кои се поврзани со аркус котангенс:

$\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}-\arctan x$ (правило на комплементарни агли)

$\mathrm{arcctg}(-x)=\pi -\mathrm{arcctg}x$

$\mathrm{arcctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcctg}x=\arctan x,$ $x>0$

$\mathrm{arcctg}\frac{1}{x}=\frac{3\pi }{2}-\mathrm{arcctg}x=\pi +\arctan x,$ $x<0$

Извод

Изводот на аркус котангенс е:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcctg}x=\frac{-1}{1+x^2}$

Претставување во форма на интеграл

Претставена во форма на интеграл аркус котангенс е:

$\mathrm{arcctg}x=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2+1}dx$

Претставување во форма на бесконечна сума

Претставена во форма на бесконечна сума аркус котангенс е:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcctg}x& =\frac{\pi }{2}-\arctan x\\ & =\frac{\pi }{2}-(z-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1};|x|\le 1x\ne i,-i\end{array}$

Поврзано

• Тригонометриски функции
• Инверзни тригонометриски функции

Надворешни врски

• Функцијата аркус котангенс на wolfram.com