Аркус тангенс

Аркус тангенс – функција инверзна на тангенсната функција во ограничениот интервал [-π/2,π/2]. Се користи за одредување на големина на агол во овој опсег, када е позната вредноста на неговиот тангенс. Може да се дефинира со следната формула:

$\mathrm{arctg}x={\tan }^{-1}x=\frac{i}{2}(\log (1-ix)-\log (ix+1))$

Формули

Формули кои се поврзани со аркус тангенс:

$\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcctg}x$ (правило на комплементарни агли)

$\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$ (непарност на функцијата)

$\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}x=\mathrm{arcctg}x,$ $x>0$

$\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}x=-\pi +\mathrm{arcctg}x,$ $x<0$

Преку формулата за половина агол се добива и:

$\mathrm{arctg}x=2\mathrm{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

Извод

Изводот на аркус тангенс е:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arctg}x=\frac{1}{1+x^2}$

Претставување во форма на интеграл

Претставена во форма на интеграл аркус тангенс е:

$\mathrm{arctg}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{x^2+1}dx$

Претставување во форма на бесконечна сума

Претставена во форма на бесконечна сума аркус тангенс е:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}x& =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1};|x|\le 1x\ne i,-i\end{array}$

Поврзано

• Тригонометриски функции
• Инверзни тригонометриски функции

Надворешни врски

• ArcTan/ Функцијата аркус тангенс на wolfram.com