Бернулиев принцип

Течение на вода во Вентури-метар. Кинетичката енергија се зголемува на сметка на флуидниот притисок, прикажано преку разликите во висина на двете колони со вода.

Податотека:Venturi Tube en.webm Предлошка:Continuum mechanics

Во динамика на флуидите, Бернулиевиот принцип вели дека зголемувањето на брзината на флуидот се случува истовремено со намалувањето на притисокот или намалувањето на потенцијалната енергија на флуидот. Принципот е наречен по Даниел Бернули кој го објавил во неговата книга Хидродинамика во 1738.

Бернулиевиот принцип може да биде применет на различни видови на флуиден проток, што резултира со разни форми на Бернулиевата равенка'; има различни форми на Бернулиевата равенка за различни видови на проток. Простата форма на Бернулиевата равенка важи за некомпресијабилен проток (н.п. повеќето течни протоци и гасови moving со низок Махов број). Понапредни форми можат да бидат применети на компресибијален проток со повисок Махов број.

Бернулиевиот принцип може да се добие од принципот на зачувување на енергија. Тоа вели дека во постојан проток, сумата од сите форми на енергија во флуидот во флуид покрај насоката е иста во сите точки на таа насока. Тоа бара сумата на кинетичката енергија, потенцијалната енергија и внатрешната енергија да останат константни. така што зголемување на брзината на флуидот – подразбирајќи зголемување и на динамичниот притисок и кинетичката енергија – се случува со истовремено намалување на сумата на неговиот статичен притисок, потенцијална и внатрешна енергија. Ако флуидот тече од резервар, сумата на сите форми енергија е иста во сите насоки сошто во резервар енергијата по единица волумен (сумата на притисокот и гравитациската потенцијала ρ g h) е иста секаде.

Бернулиевиот принцип може исто така да се добие директно од Вториот Њутнов закон. Ако мал волумен од флуидот тече хоризонтално од место со висок притисок до место со низок притисок, тогаш има повеќе притисок позади отколку што напред. Тоа дава нето сила на волуменот, зголемувајќи го по насоката.

Флуидните честички се подложни само на притисокот и нивната тежина. Ако флуидот тече хоризонтално и по дел од насоката, каде брзината се зголемува тоа е така само заради тоа што флуидот на тој дел се преместил на место со помал притисок; и ако брзината се намалува, тоа е така само заради тоа што тој се преместил на дел со поголем притисок. Како резултат на тоа, во рамките на флуидот кој тече хоризонтално, најголемата брзина се случува кога притисокот е најнизок, а најголема брзина се случува кога притисокот е највисок.

Равенка на некомпресијабилен проток

Кај повеќето протоци на течност, и на гасови со низок Махов број, густината на парцела на флуид може да се смета како константна, несметајќи ја варијабилноста на притисокот во течението. Така што, флуидот ќе се смета за некомпресијабилен и тие протоци ќе бидат наречени некомпресијабилни. Бернили ги изведувал своите експеримнти на течности, значи равенката во нејзината првична форма важи само за некмпресијабилен проток. Честа форма на Бернулиевата равенка, која важи за секоја произволна точка низ насоката, е: Предлошка:NumBlk

where:

Предлошка:Mvar е брзината на протокот в некоја точка во насоката,

Предлошка:Mvar е Земјино забрзување,

Предлошка:Mvar е подигнатоста од некоја точка над рамнината, со позитивната Предлошка:Mvar-насока која покажува нагоре – значи во насоката спротивна на Земјиното забрзување,

Предлошка:Mvar е притисокот на избрана точка, и

Предлошка:Mvar е густината на флуидот во сите точки.

Константата на десната страна на равенката зависисамо од избраната насока, додека Предлошка:Mvar, Предлошка:Mvar и Предлошка:Mvar зависат само од посебните точки во таа насока.

Следниве претпоставки мора да се исполнети за бернулиевата равенка да работи:

• течението мора да биде стабилно, т.e. брзината на флуидот во некоја точка не може да се смени со време,
• течението мора да биде некомпресијабилно – иако притисокот се менува, густината мора да остане константна низ насоката;
• триењето на вискозносните сили може да биде занемарливо.
• Течение по насока: флуидниот елемент мора да фо има по течението, и правецот да не е пресечен.

За полето на конзервативна сила (кое не е ограничено со гравитациското поле), Бернулиевата равенка може да биде генерализирана како:

$\frac{v^2}{2}+\mathrm{\Psi }+\frac{p}{\rho }=\text{constant}$

Каде Предлошка:Mvar е потенцијала на силата на точка од правецот која се разгледува. н.п. за Земјината гравитација Предлошка:Math.

Со множење на густината на флуидот Предлошка:Mvar, равенката(Предлошка:EquationNote) може да се запише како:

$\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz+p=\text{constant}$

или:

$q+\rho gh=p_0+\rho gz=\text{constant}$

каде

• Предлошка:Math е динамичен притисок,
• Предлошка:Math е хидраулична глава (сума на подигнувањето Предлошка:Mvar и притисочната главо) и
• Предлошка:Math е целосен притисок (сума на статичниот притисок Предлошка:Math и динамичниот притисок. Предлошка:Math).

Константата во бернулиевата равенка може да биде нормализирана. чест пристап е ворамки на целосна or глава на енергија Предлошка:Mvar:

$H=z+\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}=h+\frac{v^2}{2g},$

Овие равенки укажуваат дека постои брзина на течението каде притисокот е еднаков на 0, и во поголеми брзини притисокот е негативен број. Најчесто, гасовите и течноститие не се способни за негативен апсолутен притисок, па дури и нула, значи равенката престанува да биде валидна пред да се стигне до нула притисок. Кај течностите – кога притисокот станува премногу мал – се случува кавитаација.Равенката користи линеарна врска помеѓу квадратот на брзината на течението и притисокот. За повисоки брзини кај гасови, или за звучни бранови во течности, промените на густина стануваат позначајни така што претпоставката законстантна густина не е точна.

Проста форма

Кај многу употреби на бернулиевата равенка, промената на Предлошка:Mvar е толку мала во однос на другите што може да се игнорира. На пример, во слаучај на авион во лет, промената на висина Предлошка:Mvar е толку мала што Предлошка:Mvar може да се изоставо. ова овозможива равенката да може да се прикаже во следната упростена форма:

$p+q=p_0$

Каде Предлошка:Math се вика "целосен притисок", и Предлошка:Mvar е "днамичен притисок". Many authors refer to the pressure Предлошка:Mvar as static pressure to distinguish it from total pressure Предлошка:Math and dynamic pressure Предлошка:Mvar. In Aerodynamics, L.J. Clancy writes: "To distinguish it from the total and dynamic pressures, the actual pressure of the fluid, which is associated not with its motion but with its state, is often referred to as the static pressure, but where the term pressure alone is used it refers to this static pressure."

Упростената форма на Бернулиевата равенка може да биде сумирана со следната зборовна равенка:

статичен притисок + динамичен притисок = целосен притисок

Секоја точка во постојанотечен флуид, без оглед на брзината на флуидот во таа точка, има свој уникатен статичен притисок Предлошка:Mvar и динамичен приитисок Предлошка:Mvar. нивната сума Предлошка:Math е дефинирана да биде целосен притисок Предлошка:Math. Бажноста на Бернулиевиот принцип може да се сумира како "целосниот притисок е константен низ патеката".

Искористување на равенката за немпресијабилен проток во проток на гасови

Бернулиевата равенка е пронекогаш важечка кај проток на гас: под услов дека нема трансвер на кинетичка или потенцијална енергија од протокот на гасот до компресијата или експанзијата на гасот. Ако и неговиот притисок и волуменот се сменат истовремено, тогаш работата ќе биде извршена на или од гасот. Во тој случај, Бернулиевата равенка – во нејзината немпресијабилна форма – не може да се подразбере како важечка. Но, ако процесот е целосно изобарен, или изохорен, тогаш во или од гасот не е извршена работа, (за балансот на проста енергија да не биде нарушен). Според законот за гасови, изобарен или изохорен процес е обично единствениот начин да се обезбеди константна густина во гас. Исто така густината на гасот ќе биде пропорционална со соодносот на притисокот и апсолутната температура, но овој однос ќе се промени со компресија или експанзија. Единствениот исклучок е ако трансферот на нето топлина е нула, како во целосен термодинамичен циклус, или во поединечен исентропичен процес, и дури тогаш овој обратен процес мора да биде свртен, за во гасот да се врати првичниот притисок и волумен, па и густниата. Дури тогаш орегиналната, немодифицирана равенка може да се користи. Во овој случај равенката може да се користи ако брзината на протокот на гасот е прилично под брзината на звукот, така што варијацијата на густина на гасот (заради овој ефект) по секоја насока може да се игнорира. Адибајатичен проток на помалку од Мах 0.3 е обично сметан за доволно бавен.

Нестабилен потенцијален проток

Бернулиевата равенка за нестабилен потенцијален проток е користена во теорија на океански поврински бранови и акустика.

За ирационален проток, брзината на протокот може да се опише како градиент Предлошка:Math од од потенцијал на брзината Предлошка:Mvar. Во тој случај, и за константна густина Предлошка:Mvar, импулсноите равенки на ојлеровите равенки може да се сведе до:

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+\frac{1}{2}{v}^2+\frac{p}{\rho }+gz=f(t),$

Бернулиева равенка која исти така важи и за нестабилен— или временскизависен— проток. Овде Предлошка:Math го означува парцијалниот дериват на потенцијалот на брзината Предлошка:Mvar во однос на времето Предлошка:Mvar, и Предлошка:Math е брзината на протокот. Функцијата Предлошка:Math зависи само од времето а не на позицијата на флуидот. Како резултат, Бернулиевата равенка во некој момент Предлошка:Mvar не се однесува на одредени теченија, туку на целосниот флуидски домен. Ова е исто така вистинито за посебните случаи на стабилен ирационален проток, во кој случај Предлошка:Mvar е константа.

Потоа Предлошка:Math може да се направи еднакво на нула со неговото искористување во потенцијалот на брзината, користејќи ја трансформацијата

$\mathrm{\Phi }=\phi -\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau ,$

која резултира во

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}+\frac{1}{2}{v}^2+\frac{p}{\rho }+gz=0.$

Треба да се напомене дека односот од потенцијалата до брзината на протокот не е променета од оваа трансформација: Предлошка:Math.

Бернулиевата равенка за нестабилен потенцијален проток се чини дека игра централна улога во Луковиот варијационен принцип, a вариациониот опис на слободната површина тече користејќи ја Лагрангиановата механика (која не треба да се меша со Лагрангијанови координати).

Равенка за компресијабилен проток

Бернули ја развил својата равенка од неговите набљудувања на течности, и неговата равенка се однесува само на некомпресијабилни флуиди, и компресијабилни флуиди до околу Махов број 0.3. Можно е да се користат фундаменталните принципи на физиката да се развијат слични равенки кои можат да се искористат кај компресијабилни флуиди. Има голем број на равенки, секоја скроена за посебна примена, но сите се аналогни со Бернулиевата равенка и сите се потпираат на ништо повеќе од фундаменталните принципи на физиката како Њутновите закони за движење или првиот закон на термодинамика.

Компресијабилен проток во флуидна динамика

За компресијабилни флуиди, со баротопична равенка за сосотојба, и под дејство на конзервативна сила,

$\frac{v^2}{2}+\underset{p_1}{\overset{p}{\int }}\frac{\mathrm{d}\tilde{p}}{\rho (\tilde{p})}+\mathrm{\Psi }=\text{constant (along a streamline)}$

каде:

• Предлошка:Mvar е притисокот
• Предлошка:Mvar е густината
• Предлошка:Mvar е брзина на протокот
• Предлошка:Mvar е потенцијала поврзана со полетона конзервативна сила, најчесто гравитациска потенцијала

Во инжинерството, поткренувањата се обично мали во споредба со големината на земјата, и временските скали на флуидниот проток се доволно мали да равенкта за состојба да се разгледува како адијабатична. Во тој случај, равенкта горе станува

$\frac{v^2}{2}+gz+\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}\right)\frac{p}{\rho }=\text{constant (along a streamline)}$

каде:

• Предлошка:Mvar е однос на топлински капацитет на флуидот
• Предлошка:Mvar е Земјино забрзување
• Предлошка:Mvar е подигнувањето над референтната рамнина

Кај многу употреби на компресијабилен проток, промените во висината се занемарливи во однос на другите услови, значи условот gz може да се изостави. Тогаш многу корисна форма на равенката е:

$\frac{v^2}{2}+\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}\right)\frac{p}{\rho }=\left(\frac{\gamma }{\gamma -1}\right)\frac{p_0}{{\rho }_0}$

каде:

• Предлошка:Math е целосен притисок
• Предлошка:Math е целосната густина

Компресијабилен проток во термодинамика

Најопштата форма на равенката, соодветна за користење во термодинамиката во случај на (квази) стабилен проток, е:

$\frac{v^2}{2}+\mathrm{\Psi }+w=\text{constant}.$

Овде Предлошка:Mvar е енталпија во единица маса, што ечесто запишано како Предлошка:Mvar (кое не треба да се помеша со "висина").

Треба да се напомене дека Предлошка:Math каде Предлошка:Mvar е термодинамична енергија во единица маса, позната како специфична внатрешна енергија. Значи, за константнс внсатршна енергија Предлошка:Mvar равенката се враќа до нејзината форма за некомпресилабилен проток.

Константата на десната страна е често наречена Бернулиева константа и означена како Предлошка:Mvar. За стабилен невискозен адиабатичен проток без извори или губење на енергија, Предлошка:Mvar е константа по кое било течение. Обично, кога Предлошка:Mvar може да биде променлива, сè уште е корисен параметар, поврзано со "главата" на флуидот (види доле).

Каде промената на Предлошка:Mvar може да се игнорира, многу корисна форма на равенката е:

$\frac{v^2}{2}+w=w_0$

КадеПредлошка:Math е целосната енталпија. За калорично совршен гас, како идеален гас, енталпијата е правопропорционална со температурата, и ова води до концептот за целосна (или стагнациона) температура.

Каде ударните бранови се присутни, во референтна рамка во која шокот е стационарен и протокот е стабилен, многу од параметрите во Бернулиевата равенка патат од нагли промени кога се низ шокот. Самиот Бернулиев параметар, сепак, останува непроменет. Исклучок на ова правило се радиоактивните шокови, кои ги нарушуваат претпоставките кои водат до Бернулиевата равенка, имено недостатокот од дополнтелни загуби или извори на енергија.

Поврзано

• Навје-Стоксови равенки
• Хидраулика
• Торичелиев закон
• Даниел Бернули
• Коандаов ефект

Дополнителна литература

• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Наведена книга

Надворешни врски

• Bernoulli equation calculator
• Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement
• Millersville University – Applications of Euler's equation Предлошка:Семарх
• NASA – Beginner's guide to aerodynamics Предлошка:Семарх
• Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg Предлошка:Семарх