Бесконечна комбинаторика

Бесконечна комбинаторика или Комбинаторна теорија на множества — проширување на идеите за поврзување на комбинаториката со бесконечните множества. Работите коишто се проучуваат во рамки на бесконечната комбинаторика вклучуваат: континуелни графови и дрвја, проширувања на Ремзиевата теорема и Мартиновата аксиома. Скорешните проширувања се однесуваат на комбинаториката на континуум и комбинаториката на кардинални броеви.

Ремзиева теорија за бесконечни множества

Ако претпоставиме дека κ, λ се редни броеви, m е кардинален број и n е природен број, тогаш записот:

$\kappa \to (\lambda {)}_m^n$

претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството [κ]ⁿ од подмножества со n елементи од $\kappa$ на m делови има хомогено множество од ред λ. Хомогеното множество во овој случај е подмножество од κ, така што секое подмножество со n елементи е во истиот елемент на поделбата. Кога m е 2, тоа обично се избегнува.

Под претпоставка дека важи аксиомата на избор, тогаш нема редни броеви κ со κ→(ω)^ω, па така n обично се јавува како конечен број. Проширувањето во коешто n се јавува како бесконечен број може да се прикаже со записот:

$\kappa \to (\lambda {)}_m^{<\omega }$,

што претставува скратен облик на објаснувањето дека секоја поделба на множеството на конечни подмножества од κ на m делови има подмножество од ред λ, така што за секој конечен n, сите подмножества со големина n се во истиот елемент на поделба. Кога m е 2, тоа обично се избегнува.

Друга варијанта е записот:

$\kappa \to (\lambda ,\mu {)}^n$,

што е скратен облик на објаснувањето дека секое обојување на множеството [κ]ⁿ од подмножества со n елементи од κ со 2 бои има подмножество од ред λ, така што сите елементи од [λ]ⁿ се обоени со првата боја или подмножество од ред μ, така што сите елементи од [μ]ⁿ се обоени со втората боја.

Некои особини на теоријата, од каде што произлегува дека $\kappa$ е кардинален број, се следните:

${\mathrm{\aleph }}_0\to ({\mathrm{\aleph }}_0{)}_k^n$ за сите конечни n и k (Ремзиева теорема);

${\beth }_n^{+}\to ({\mathrm{\aleph }}_1{)}_{{\mathrm{\aleph }}_0}^{n+1}$ (Ердеш-Радоева теорема);

$2^{\kappa }\to ̸({\kappa }^{+}{)}^2$ (Сјерпинскиева теорема);

$2^{\kappa }\to ̸(3{)}_{\kappa }^2$; и

$\kappa \to (\kappa ,{\mathrm{\aleph }}_0{)}^2$ (Ердеш-Душник-Милерова теорема).

Во случаите без избор, особините на поделбата со бесконечни експоненти може да биде веродостојна и некои од нив се добиени како последица на аксиомата на одредување. Доналд Мартин докажал дека аксиомата на одредување укажува дека важи:

${\mathrm{\aleph }}_1\to ({\mathrm{\aleph }}_1{)}_2^{{\mathrm{\aleph }}_1}$.

Големи кардинални броеви

Како големи кардинални броеви и нивните особини може да се издвојат следните:

• слаби компактни кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)²;
• α-Ердешови кардинални броеви κ коишто се најмалите броеви што го задоволуваат условот κ→(α)^<ω; и
• Ремзиеви кардинални броеви κ коишто го задоволуваат условот κ→(κ)^<ω.

Поврзано

• Комбинаторина
• Теорија на множества
• Кардинален број

Литература

• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Citation
• Предлошка:Наведена книга
• Предлошка:Citation