Виетова формула

Виетова формула — формула во математиката именувана по францускиот математичар Франсоа Виет. Тоа е следнава претстава на математичката константа π во форма на бесконечен производ:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

Изразот од десната страна на равенката треба да се толкува како гранична вредност

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=1}^n\frac{a_i}{2}=\frac{2}{\pi }$

каде $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ со почетен услов $a_1=\sqrt{2}$ .

По средувањето, можно е да се добие формулата за <span typeof="mw:Entity" id="mwGA">π</span> во облик:

$\underset{𝐧\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^{𝐧+1}\sqrt{2-\underset{𝐧}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}}=\pi$ .

Доказ

Со користење на формулата за синус на двоен агол:

$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$

прво треба да се докаже еднаквоста:

$\frac{\sin (2^{n}x)}{2^n\sin x}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos (2^{i}x)$

што важи за сите позитивни цели броеви n. Ако претпоставиме дека x = y/2ⁿ и ако двете страни на равенката се поделени со cos (y/2) се добива:

$\frac{\sin y}{\cos (\frac{y}{2})}\cdot \frac{1}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Со повторна употреба на формулата за синус на двоен агол sin y = 2sin(y/2) cos(y/2) добиваме:

$\frac{2\sin (\frac{y}{2})}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Ако го замениме y со π ја добиваме еднаквоста:

$\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\prod _{i=2}^n\cos \left(\frac{\pi }{2^i}\right).$

Останува да се поврзат факторите од десната страна на оваа равенка со соодветниот a_n. Ако сега се користи формулата за косинус на половина агол,

$2\cos (x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

се добива дека $b_i=2\cos \left(\frac{\pi }{2^{i+1}}\right)$ ја задоволува рекурзивната врска $b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ со почетна состојба $b_1=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}=a_1$. Затоа a_n = b_n за сите позитивни цели броеви n.

Виетовата формула тогаш се добива кога ќе претпоставиме дека n → ∞. Овде треба да се забележи дека:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\frac{2}{\pi }$

како последица на фактот што $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$ (ова следи од Лопиталовото правило).

Надворешни врски

• Формули за бројот пи