Галилееви преобразби

Предлошка:Внимание Во физиката, Галилеевите преобразби се користат за преобразба меѓу координатите на двете референтни рамки што се разликуваат само по постојани односни движења во рамките на конструкциите на Њутновата физика, и се формира „Галилеева група“. Тоа е група движења на Галилеева релативност акција на четири димензии на просторот и времето, формирање на ' Галилеев геометрија ' . Ова е пасивна преобразба гледна точка. Равенките подолу, иако очигледно, се важи само при брзини многу помалку од брзината на светлината . Во специјална релативност Галилеевите преобразби се заменуваат со Поенкаре преобразба овие спротивно на тоа, група контракција во класична граница Предлошка:Nowrap → ∞ на Поенкаре трансформации приноси Галилеевите трансформации.

Галилео ги формулираал овие концепти во неговиот опис на униформа движење Темата беше мотивирана од Галилео 's опис на движење на топката се тркалаа по една рампата, со што тој мери бројчена вредност за забрзување на гравитација во близина на површината на земјата.

Транслација

Податотека:. Стандардна conf.png

Стандардна конфигурација на координатни системи за Галилеевите трансформации

Иако преобразбите се именувани за Галилео, тоа е апсолутен простор и време како замислен од страна на Исак Њутн, кој обезбедува нивниот домен на дефиниција. Во суштина, Галилеевите преобразби отелотворуваат интуитивен идејата за собирање и одземање на брзините, како вектори.

Оваа претпоставка е напуштена во Поенкаре преобразба. Овие релативистички преобразби се применуваат за сите брзина, додека Галилеец преобразба може да се смета за ниско брзина на приближување кон трансформација Поенкаре а.

Нотацијата подолу опишува односот под Галилеец преобразба меѓу координатите Предлошка:Nowrap и Предлошка:Nowrap на еден произволен настан, како што се мери во две координатни системи S и S ", во униформа релативно движење (брзина против ) во нивните заеднички x и x 'насоки, со просторни нивното потекло се совпаѓа во времето Предлошка:Nowrap:

$x^{\prime }=x-vt$

$y^{\prime }=y$

$z^{\prime }=z$

$t^{\prime }=t.$

Имајте на ум дека на последната равенка изразува претпоставката за универзалното време, независно од релативно движење на различни набљудувачи.

На јазикот на линеарна алгебра, оваа трансформација се смета за мапирање смолкнување, и е опишан со матрица постапувајќи по вектор. Со движење паралелно на x - оската, трансформацијата делува на само две компоненти:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ t^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -v\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ t\end{array}\right)$

Иако матрица репрезентации не се неопходни за трансформација Галилеец, тие ги обезбедуваат средства за непосредна споредба со методи на преобразба во специјална релативност.

Галилеевите преобразби

Галилеецот симетрии може да биде уникатно напишани како Состав на ротација, на преводот и униформа движење на време-просторот. x да го претставиме тридимензионално, а пак t еднодимензионално.А општата точка во време-просторот е дадена од страна на подредениот пар Предлошка:Nowrap.А непроменливо движење, со брзина на ' V', е дадена со$(𝐱,t)\mapsto (𝐱+t𝐯,t)$ каде v во R³. A translation is given by $(𝐱,t)\mapsto (𝐱+𝐚,t+b)$ каде a во R³ и b во R. Ротацијата е прикажана со $(𝐱,t)\mapsto (G𝐱,t)$ каде Предлошка:Nowrap е ортогонална трансформација. како лажна група, Галилеевите трансформации имаат 10 димензии..

Галилеева група

Две Галилеевите преобразби компонира за да формираат трета Галилеец трансформација. Множество на сите Галилеевите преобразби SGal (3) на простор форми на група со состав како операција на групата. Групата, понекогаш е претставена како матрица група со време-просторот настани (t, x, 1) како вектори каде t е вистинит а x е R³ позиција во простор.Матрицата SGal(3) се смета:

$(t,x,1)\left(\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ 0& R& 0\\ s& y& 1\end{array}\right)=(t+s,tv+xR+y,1),$

каде s е вистинит а v, x, y се во R³ а R е вртежна матрица. Составот на трансформации потоа се остварува преку матрица множење. SGal (3) има име подгрупи. Нека m претставува трансфомациона матрица со параметри v, R, s, y:

$G_1=\{m:s=0,y=0\},$ uniformly special transformations.

$G_2=\{m:v=0,R=I_3\}\cong ({𝐑}^4,+),$ shifts of origin.

$G_3=\{m:s=0,y=0,v=0\}\cong \mathrm{S}\mathrm{O}(3),$ rotations of reference frame (see SO(3)).

$G_4=\{m:s=0,y=0,R=I_3\}\cong ({𝐑}^3,+),$ uniform frame motions.

Параметрите s, v, R, y зафакаат десет димензии.Откако трансформациите зависат постојано од s, v, R, y, SGal(3) е продолжувачка група, односно тополошка група.Структурата на SGal (3) може да биде разбрана од страна на реконструкција од подгрупи.полудиректниот продукт комбинација ($A⋊B$) од групи е портребно.

1. $G_2◃\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)$ (G₂ is a normal subgroup)
2. $\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)\cong G_2⋊G_1$
3. $G_4⊴G_1$
4. $G_1\cong G_4⋊G_3$
5. $\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)\cong {𝐑}^4⋊({𝐑}^3⋊\mathrm{S}\mathrm{O}(3)).$

Потекло во групата контракции

Тука, ние само ќе погледне за Лие алгебра на Галилеева група ; тогаш тоа е лесно да се прошири на резултатите од Лие група.

Релевантната Лие алгебра е траеја од страна на Предлошка:Math и Предлошка:Math(an антисиментрички тензор),предмет во комутациони односи,каде

$[H,P_i]=0$

$[P_i,P_j]=0$

$[L_{ij},H]=0$

$[C_i,C_j]=0$

$[L_{ij},L_{kl}]=i[{\delta }_{ik}{L}_{jl}-{\delta }_{il}{L}_{jk}-{\delta }_{jk}{L}_{il}+{\delta }_{jl}{L}_{ik}]$

$[L_{ij},P_k]=i[{\delta }_{ik}{P}_j-{\delta }_{jk}{P}_i]$

$[L_{ij},C_k]=i[{\delta }_{ik}{C}_j-{\delta }_{jk}{C}_i]$

$[C_i,H]=i{P}_i$

$[C_i,P_j]=0.$

Предлошка:Mvar е генератор на временските транслаии (Hamiltonian), P_i е генератор од транслаии (моментен оператор), C_i е генератор од Галилееви зголемувања, и L_ij генератор на ротации (нерегуларен моментен оператор). Оваа Лие Алгебра се смета за класичен лимит за алгебрата од Poincaré group, со лимит Предлошка:Math. Технички, Галилеевата група е наречена контракциона група од Poincaré group: преименувајки ги генераторите како Предлошка:Math,каде Предлошка:Math е брзината на светлината, или било која функција на истите разлики како Предлошка:Math, комутациони односи ( константи структури) на последната граница на онаа на поранешниот. Обележи ја групата Предлошка:Math, Предлошка:Math.

Централно продолжување на Галилеева група

Едно само, зголеми галилеевата група по central extension во Лие Алгебрата Предлошка:Math, како Предлошка:Math комутатив со сите (т.н Лие во центар), и

$[H^{\prime },P{\text{'}}_i]=0$

$[P{\text{'}}_i,P{\text{'}}_j]=0$

$[L{\text{'}}_{ij},H^{\prime }]=0$

$[C{\text{'}}_i,C{\text{'}}_j]=0$

$[L{\text{'}}_{ij},L{\text{'}}_{kl}]=i[{\delta }_{ik}L{\text{'}}_{jl}-{\delta }_{il}L{\text{'}}_{jk}-{\delta }_{jk}L{\text{'}}_{il}+{\delta }_{jl}L{\text{'}}_{ik}]$

$[L{\text{'}}_{ij},P{\text{'}}_k]=i[{\delta }_{ik}P{\text{'}}_j-{\delta }_{jk}P{\text{'}}_i]$

$[L{\text{'}}_{ij},C{\text{'}}_k]=i[{\delta }_{ik}C{\text{'}}_j-{\delta }_{jk}C{\text{'}}_i]$

$[C{\text{'}}_i,H^{\prime }]=iP{\text{'}}_i$

$[C{\text{'}}_i,P{\text{'}}_j]=iM{\delta }_{ij}.$

Погледни

• Representation theory of the Galilean group
• Lorentz group
• Poincaré group
• Lagrangian and Eulerian coordinates