Гранична вредност на низа

Со сини точки е прикажан графиконот на конвергентната низа {a_n}. И визуелно може да се види дека низата тежи кон нула со растењето на n.

Гранична вредност на низа или лимес на низа на реални броеви $a_n$ - точка $a\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ при што за секоја нејзина околина $U$ постои природен број $n_0$, така што $a_n\in U$ за сите броеви $n>n_0$, т.е. така што почнувајќи од некој член, сите понатамошни членови на низата ѝ припаѓаат на таа околина.

Дефиниција

$a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\iff (\mathrm{\forall }U>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})n>n_0\Rightarrow a_n\in U$.

Гранична вредност на конвергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на конвергентните низи, т.е. за низи $a_n$ кои тежат кон некое $a$, каде $a$ е конечен број, може да се запише како:

$a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\iff (\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})n>n_0\Rightarrow |a_n-a|<ϵ.$

Гранична вредност на дивергентни низи

Покрај општата дефиниција, граничната вредност на дивергентните низи, т.е. за низи $a_n$ кои тежат кон некое $a=\pm \mathrm{\infty }$, може да се запише како:

$a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\iff (\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})n>n_0\Rightarrow |a_n-a|>ϵ.$

Кошиева низа

Сините точки го прикажуваат графиконот на Кошиева низа (x_n), чија вредност се отчитува на „y“-оската. И визуелно може да се види дека низата конвергира кон својата гранична вредност кога n расте. Во множеството на реални броеви секоја Кошиева низа е конвергентна.

Кошиевата низа, која го добила името по истакнатиот француски математичар Огистен Луј Коши, е низа на реални броеви x_n која е дефинирана на следниов начин:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N})(m,n>n_0\Rightarrow |x_m-x_n|<ϵ)$.

Кошиевата низа е тесно поврзана со поимот на гранична вредност на низа, бидејќи секоја Кошиева низа конвергира. Ако знаеме дека некоја низа е Кошиева, однапред знаеме дека таа има конечна гранична вредност.

Литература

• Наум Целакоски, Верица Бакева, Боривоје Миладиновиќ, Јово Стефановски: Математика за IV година средно стручно образование, Скопје, 2010, ISBN 978-608-226-048-8 Предлошка:Семарх

Поврзано

• Гранична вредност на функција
• Низа
• Конвергентност