Екстремни вредности

Предлошка:Без извори Екстремни вредности на функција се одредуваат така што првиот извод се израмнува со 0.

Пример: Најди ги екстремните вредности на функцијата $f(x)=5x^3$

Првиот извод на функцијата е $f^{\prime }(x)=15x^2$

Сега го израмнуваме изводот на 0:

$15x^2=0$ → $x=0$

На оваа функција постои само една екстремна вредност и тоа A(0, f(0)).

Откако ги најдовме екстремните вредности можеме да ги одредиме минимумот и максимумот на функцијата со помош на вториот ивод.

Во вториот извод ја земаме екстремната вредност А како аргумент.

Ако вредноста на вториот извод во дадената екстремна вредност е:

1) Поголема од нула следи дека таа екстремна вредност е минимумот на функцијата

2) Помала од нула следи дека таа екстремна вредност е максимумот на функцијата

3) Еднаква на нула - функцијата има превој

$f^{″}(x)=30x$

$f^{″}(0)=0$

Превој во екстремната точка A(0, 0)

Втор пример: Одреди ги минимумот и максимумот на функцијата $f(x)=6x^2+3x$

Го наоѓаме првиот извод и го израмнуваме со 0:

$f^{\prime }(x)=12x+3=0$

$12x=-3$ → $x=-1/4$

Оваа екстремна точка има вредност A(-1/4, f(-1/4)) или A(-1/4, -3/8).

Сега со наоѓање на вториот извод можеме да ги одредиме минимумот и максимумот.

$f^{″}(x)=12$

$f^{″}(-1/4)=12$ → $12>0$ → A(-1/4, -3/8) е минимум на функцијата f(x).