Карактеристична функција

Карактеристична функција на униформа U(–1,1) случајна променлива. Оваа функција е реално проценета затоа што одговара на случајна променлива која е симетрична околу потеклото; сепак карактеристичните функции генерално можат да бидат комплексно вреднувани.

U(–1,1) Карактеристична функција на случајна променлива е функција која се среќава во Теоријата на веројатност.

Дефиниција

Нека $X$ е случајна променлива со веројатносна густина $f(x)$. Тогаш карактеристична функција $\mathrm{\Phi }(\omega )$ на случајната променлива $X$ е по дефиниција дадена со:

$\mathrm{\Phi }(\omega )=E\{e^{j\omega X}\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{j\omega x}dx.$

Својства

Се забележува дека $\mathrm{\Phi }(\omega )$ е Фуриеовата преобразба на функцијата $f(x)$, така што својствата кои важат за Фуриеовата преобразба ќе важат и за оваа функција.

Може да се забележи дека карактеристичната функција има максимум за $x=0$, бидејќи со оглед на ненегативноста на функцијата на густина на веројатност, $f(x)\ge 0$, важи:

$|{\mathrm{\Phi }}_X(\omega )|\le {\mathrm{\Phi }}_X(0)=1.$

Ако $j\omega$ во дефиницијата се замени со $s$, се добива моментотворната функција ${\mathrm{\Phi }}_X(s)$ на случајната променлива $X$.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Поврзано

• Фуриеова преобразба
• Случајна променлива
• Веројатносна густина
• Моментотворна функција
• Момент (математика)
• Кумуланта
• Теорема на моменти