Квадратна равенка

Во математиката, полиномната равенка од втор степен се вика квадратна равенка. Општиот облик на равенката е:

$a{x}^2+bx+c=0$

Графикони на реалните квадратни функции ax² + bx + c. Секој коефициент варира посебно

Во равенката a, b и c се коефициенти, при што a ≠ 0, додека самата равенка е равенка по променлива x. Името е дадено според степенот на водечкиот коефициент.

Квадратните равенки често се јавуваат во математиката, но и во другите природни и технички науки.

Решавање на квадратната равенка

Решението на квадратната равенка е целосно определено со изразот:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

што значи дека квадратната равенка има две решенија. Решението се добива на следниов начин:

Дадена ни е равенката:

$a{x}^2+bx+c=0$

Ја делиме равенката со a. Ова е дозволено бидејќи по услов a ≠ 0 и добиваме:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Согласно формулата за бином на квадрат:

$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

на левата страна на равенката додаваме и одземаме $\frac{b^2}{4a^2}$:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

$(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$

${(x^2+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0$

од каде се добива:

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Ја коренуваме равенката и конечно се добива:

$x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Дискриминанта и зависност на решенијата од дискриминантата

Во решението на квадратната равенка фигурира изразот:

$D=b^2-4ac$

кој се нарекува дискриминанта на квадратната равенка. Според нејзиниот знак може да се одреди природата на решенијата на равенката. Имено:

• ако D>0, равенката има две реални и различни решенија,
• ако D<0, равенката има комплексно-конјугирани решенија, и
• ако D=0, равенката има двојно реално решение, т.е. има две идентични решенија.

Факторизација на квадратната равенка

Ако е зададена квадратната равенка:

$a{x}^2+bx+c=0$

која има решенија условно означени со x₁ и x₂, тогаш равенката може да ја запишеме како:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Ваквото презапишување на равенката се вика факторизација на квадратната равенка или разложување на квадратната равенка на линеарни множители. Овој процес е честопати корисен при решавање на конкретни задачи и проблеми.

Виетови формули

За решенијата на квадратната равенка важат следниве равенства:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

кои се нарекуваат виетови формули за квадратна равенка (т.е. полином од втор степен) и претставуваат специјален случај на општата Виетова теорема.

Равенки кои се сведуваат на квадратни

Равенките од облик:

$a{x}^{2n}+b{x}^n+c=0$

може да се сведат на квадратни, ако се стави смената:

$y=x^n$

со која првичната равенка се сведува на равенка од облик:

$a{y}^2+by+c=0$

која се решава според погорните формули. Решенијата на почетната равенката се добиваат кога ќе се пресмета n-ти корен од обете решенија на трансформираната равенка. На овој начин се добиваат 2n решенија, онолку колку што и треба да има. Специјално, за n=2, равенката е од облик:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0$

и таа се нарекува биквадратна равенка, која јасно има четири решенија.

Примери

• Да се реши равенката: $2x^2+4x-6=0$

Според формулата имаме:

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4}$

$x_1=\frac{-4+8}{4}=\frac{4}{4}=1$

$x_2=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3$

Значи решенија на равенката се: x₁=1 и x₂=-3

• Да се реши равенката: $x^2-6x+13=0$

Имаме:

$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{16\cdot {\mathrm{i}}^2}}{2}=\frac{6\pm 4\mathrm{i}}{2}=3\pm 2\mathrm{i}$

$x_1=3+2\mathrm{i}$

$x_2=3-2\mathrm{i}$

Добиените решенија се комплексно конјугирани.

• Да се реши равенката: $x^4-24x^2-25=0$

Оваа равенка е биквадратна. Ставаме замена:

$y=x^2$

и равенката се сведува на квадратна равенка од облик:

$y^2-24y-25=0$

За решенијата на оваа равенка имаме:

$y_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{576+100}}{2}=\frac{24\pm 26}{2}$

$y_1=\frac{24+26}{2}=25$

$y_2=\frac{24-26}{2}=-1$

Ова се решенијата на квадратната равенка (т.е. на трансформацијата на биквадратната равенка). Но, бидејќи:

$y=x^2,$

тогаш:

$x=\sqrt{y}$

Така се добиваат четири решенија, и тоа:

$x_{1,2}=\sqrt{y_1}$

$x_{3,4}=\sqrt{y_2}$

Конечно, решенијата на биквадратната равенка се:

$x_1=+\sqrt{y_1}=\sqrt{25}=5$

$x_2=-\sqrt{y_1}=-\sqrt{25}=-5$

$x_3=+\sqrt{y_2}=\sqrt{-1}=\mathrm{i}$

$x_4=-\sqrt{y_2}=-\sqrt{-1}=-\mathrm{i}$

Поврзано

• Линеарна равенка
• Кубна равенка
• Равенка од четврти степен
• Квадратна функција
• Парабола