Кејсиева теорема

Кејсиева теорема, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .

Формулација на теоремата

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

Нека $O$ е кружница со радиус $R$. Нека $O_1,O_2,O_3,O_4$ се (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на $O$ и ја допираат. Ја означуваме со $t_{ij}$ должината на надворешната заедничка битангента на кружниците $O_i,O_j$. Важи:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.

Доказ

Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата$O_i$ со $R_i$ и допирните точки со кружницата $O$ со $K_i$. Ќе ги означиме со $O,O_i$ центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи

$t_{ij}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2.$

Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките $K_i,K_j$ . Според косинусната теорема во триаголникот $O_{i}O{O}_j$ ,

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_i}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_j}}-2\overline{O{O}_i}\cdot \overline{O{O}_j}\cdot \cos \mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j$

Бидејќи кружниците $O$ и $O_i$ се тангентни една на друга, важи

$\overline{O{O}_i}=R-R_i,\mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j=\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j$

Нека $C$ е точка на кружницата $O$. Од синусната теорема во триаголникот $K_{i}C{K}_j$:

$\overline{K_i{K}_j}=2R\cdot \sin \mathrm{\angle }{K}_{i}C{K}_j=2R\cdot \sin \frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}$

Затоа,

$\cos \mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j=1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}=1-2\cdot {\left(\frac{\overline{K_i{K}_j}}{2R}\right)}^2=1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2}$

и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)(1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2})$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=((R-R_i)-(R-R_j){)}^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}$

И конечно, должината која ја бараме е

$t_{ij}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_i{K}_j}}{R}$

Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник $K_1{K}_2{K}_3{K}_4$ :

$\begin{array}{cc}& t_{12}{t}_{34}+t_{14}{t}_{23}\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_2}\cdot \overline{K_3{K}_4}+\overline{K_1{K}_4}\cdot \overline{K_2{K}_3})\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_3}\cdot \overline{K_2{K}_4})\\ =& t_{13}{t}_{24}\end{array}$

Понатамошни воопштувања

Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена:

Ако $O_i,O_j$ и двете ја допираат $O$ од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор), $t_{ij}$ е должината на надворешната заедничка тангента.

Ако $O_i,O_j$ се ја допираат $O$ од различни страни (едната однатре, а другата однадвор), $t_{ij}$ е должината на внатрешната заедничка тангента.

Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно. Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.

Примени

Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ Предлошка:Rp на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.

Надворешни врски

• Предлошка:MathWorld
• Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: Crux Mathematicorum, Vol. 22, No. 2, pp. 49–53