Лагерови полиноми

Лагеровите полиноми $L_n(x)$ претставуваат решенија на Лагеровата диференцијална равенка:

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

Придружените Лагерови полиноми $L_n^{(\alpha )}(x)$ претставуваат решенија од:

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+ny=0$

Прв пат ги дефинирал францускиот математичар Едмон Лагер. Се користат во квантна механикаквантната механика како решенија на радијалниот дел на Шредингеровата равенка на едноелектронски атом.

Првите шест Лагерови полиноми

Родригезова формула и полиноми

Лагеровите полиноми обично се означаваат како L₀, L₁, ..., а полиномната низа може да се дефинира со Родригезовата формула:

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right).$

Првите неколку полиноми:

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Генерирачка функција на Лагеровите полиноми е:

$\frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n$.

Рекурзивни релации

Едмон Лагер

Лагеровите полиноми може да се дефинираат рекурзивно со помош на првите два полинома кои се:

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

а рекурзивната релација е:

$(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Рекурзивната релација за изводи е:

$x{L_n}^{\prime }(x)=n{L}_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Генерализирани Лагерови полиноми

Генерализираните Лагерови полиноми или придружените Лагерови полиноми $L_n^{(\alpha )}(x)$ претставуваат решенија на диференцијалната равенка:

$x{y}^{″}+(\alpha +1-x)y^{\prime }+ny=0$

Родригезовата формула за генерализирани полиноми е:

$L_n^{(\alpha )}(x)=\frac{x^{-\alpha }{e}^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^{n+\alpha }\right).$

Врската меѓу обичните и генерализираните Лагерови полиноми е:

$L_n^k(x)=(-1{)}^k\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{L}_{n+k}(x)$.

Обичните Лагерови полиноми се еквивалентни на генерализираните полиноми ако е α = 0:

$L_n^{(0)}(x)=L_n(x).$

Неколку први генерализирани Легерови полиноми:

$L_0^k(x)=1$

$L_1^k(x)=-x+k+1$

$L_2^k(x)=\frac{1}{2}[x^2-2(k+2)x+(k+1)(k+2)]$

$L_3^k(x)=\frac{1}{6}[-x^3+3(k+3)x^2-3(k+2)(k+3)x+(k+1)(k+2)(k+3)]$

Ортогоналност

Придружените Лагерови полиноми се ортогонални во однос на тежинската функција $x^{\alpha }{e}^{-x}$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m},$

Врска со Ермитовите полиноми

Генерализираните Лагерови полиноми се поврзани со Ермитовите полиноми со следните релации:

$H_{2n}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n}n!L_n^{(-1/2)}(x^2)$

и

$H_{2n+1}(x)=(-1{)}^n{2}^{2n+1}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2)$

каде $H_n(x)$ се Ермитови полиноми.

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Предлошка:ISBN