Неравенство на максимум и минимум

Во математиката, неравенството на максимум и минимум гласи: за која било функција $f:Z\times W\to ℝ$,

$\underset{z\in Z}{\sup }\underset{w\in W}{\inf }f(z,w)\le \underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w).$

Кога еднаквоста важи, тогаш се вели дека f, W и Z задоволуваат строго макс-мин својство. Како што илустрира функцијата f(z,w)=sin(z +w), ова равенство не секогаш е задоволено. Теорема што ги дава условите за f, W и Z со цел да се гарантира ова својство се нарекува минимакс теорема.

Доказ

Се дефинира $g(z)\triangleq \underset{w\in W}{\inf }f(z,w)$ .

$\mathrm{\forall }w\in W,\mathrm{\forall }z\in Z,g(z)\le f(z,w)$

$⟹\mathrm{\forall }w\in W,\underset{z\in Z}{\sup }g(z)\le \underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

$⟹\underset{z\in Z}{\sup }g(z)\le \underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

$⟹\underset{z\in Z}{\sup }\underset{w\in W}{\inf }f(z,w)\le \underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)◻$

Поврзано

• Минимакс теорема

Наводи

• Предлошка:Наведување