Основна теорема на анализата

Црвената засенчана област е блиску до -{h}- патот -{f(x)}-. Атернативно кога функциите A(x) би биле познати, и двете површини би биле Предлошка:Nowrap Овие две вредности се апроксимативно еднакви, особено за малото -{h}-.

Во математиката, поточно во математичката анализа, алтернативен назив за формулата на Њутн-Лајбниц. Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл, односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.

Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц, првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638-1675.

Формулација на теоремата

Формално, теоремата е зададена на следниов начин:

• Нека $[a,b]\subseteq ℝ$ е затворен конечен интервал. Нека на овој интервал е определена функција $f:[a,b]\to ℝ$, нека оваа функција е интеграбилна на $[a,b]$ и нека функцијата $F$ е примитивна функција за $f$ на $[a,b]$. Тогаш важи равенството:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

или почесто запишано како:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(x){|}_a^b$

Доказ

Доказот на тврдењето е следниов:

Нека $ϵ>0$ е фиксен. Бидејќи функцијата $f(x)$ е интеграбилна на интервалот $[a,b]$, според Римановата дефиниција на определен интеграл, за тој $ϵ$, постои $\delta >0$ такво што за секоја поделба $T:a=x_0<x_1<...<x_n=b$ на интервалот и секој избор на точките ${\xi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$ важи:

$|\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|<\frac{ϵ}{2}$

Нека $F(x)$ е примитивна функција на функцијата $f(x)$ на дадениот интервал. Тогаш според теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки ${\psi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$ така што важи:

$F(x_{i+1})-F(x_i)=F^{\prime }({\psi }_i)(x_{i+1}-x_i)$

односно, бидејќи $F$ е примитивна на $f$, може да запишеме:

$F(x_{i+1})-F(x_i)=f({\psi }_i)(x_{i+1}-x_i)$

Тогаш, ако сумираме за $i=0,1,2,...,n-1$, следи:

$\sum _{i=0}^{n-1}f({\psi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=F(b)-F(a)$

Од друга страна и точките ${\psi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$ се „произволни“, исто како и точките ${\xi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$, па и за нив е исполнето неравенството:

$|\sum _{i=0}^{n-1}f({\psi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|<\frac{ϵ}{2}$

Тогаш, конечно, имаме:

$|\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-(F(b)-F(a))|=|\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\sum _{i=0}^{n-1}f({\psi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i|=$

$|\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\sum _{i=0}^{n-1}f({\psi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le$

$|\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|+|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\sum _{i=0}^{n-1}f({\psi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$

од каде следи:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$,

каде $F$ е една примитивна функција на $f$ на интервалот $[a,b]$. Со тоа доказот е завршен.