Отсечка

Отсечка $\overline{AB}$ e дел од права $AB$

Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.

• Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со $\overline{AB}$ .
• Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
• Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

Дефиниција на отсечка

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката $\overline{AB}$ е множеството на сите точки   $C=A(1-t)+Bt$   каде што   $t\in [0,1]$ .

Средина (средна точка) на отсечка

С e средната точка на отсечката -
Оди на интерактивноста

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката   $\overline{AB}$   е точката   $C=\frac{A+B}{2}$  .

• Во 2-димензионален простор: $A=(x_1,y_1)$   $B=(x_2,y_2)$.

Средната точка е: $C=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ . 

Пример: Нека $A=(-1,3)$ и $B=(2,1)$. Средната точка на отсечката $\overline{AB}$   e:   $C=(\frac{-1+2}{2},\frac{3+1}{2})=(0,5;2)$.

• Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. На пример, се заменува t=Предлошка:Дропка за да се добие точката C на отсечката која е Предлошка:Дропка од патот од А до Во:   $C=\frac{2}{3}\cdot A+\frac{1}{3}\cdot B$  .

Должина на отсечка

Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема

Должината на $\overline{AB}$ e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со $|\overline{AB}|={\delta }_{A,B}$.

Во 2-димензионален простор:

• Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x₁,y) и B=(x₂,y) со истата у-координата и x₂>x₁ е:   ${\delta }_{A,B}=|\overline{AB}|=x_2-x_1$.
• Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y₁) и B=(x,y₂) со истата x-координата и y₂>y₁ е:   ${\delta }_{A,B}=|\overline{AB}|=y_2-y_1$.
• Точки:   $A=(x_1,y_1)$   $B=(x_2,y_2)$.   Должината на   $\overline{AB}$ е:  

${\delta }_{A,B}=|\overline{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$  

Пример: Нека $A=(-1,3)$ и $B=(2,1)$. Должината на отсечката $\overline{AB}$   e:   ${\delta }_{A,B}=|\overline{AB}|=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{13}\approx 3,6$.

Во 3-димензионален простор:

• Точки:   $A=(x_1,y_1,z_1)$   $B=(x_2,y_2,z_2)$.   Должината на   $\overline{AB}$ е:  

${\delta }_{A,B}=|\overline{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

Доказ: Се користи Питагорова теорема.

• Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x₂>x₁ и y₂>y₁. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x₂ - x₁| и |y₂ - y₁|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)²=x², знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
• Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка $B^{\prime }=(x_2,y_2,z_1)$ со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z₁. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што $|\overline{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека $|\overline{B{B}^{\prime }}|=\sqrt{(z_2-z_1{)}^2}$   за да се доби дадената формула.

Крајни точки

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

• крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
• крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

• затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
• отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.

Затворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]

Отворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]

Ориентирана отсечка

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

• Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
• Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.

Параметарски облик на отсечка

Нека се дадени две точки А(x₁,y₁,z₁) и B=(x₂,y₂,z₂).

• Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за t ∈ [0,1], односно

  $\{\begin{array}{c}x(t)=x_1+at\\ y(t)=y_1+bt\\ z(t)=z_1+ct\end{array}$ каде што $a=(x_2-x_1),b=(y_2-y_1),c=(z_2-z_1)$ ,   $t\in [0,1]$ 

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

Отсечка и векторски простори

Ако V е векторски простор над $ℝ$ или $ℂ$, и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:   $L=\{𝐮+t𝐯\mid t\in [0,1]\}$   за некои вектори $𝐮,𝐯\in V$. Во тој случај векторите u и Предлошка:Nowrap се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.)

Поврзани теми

• Права (геометрија)
• Полуправа
• Интервал
• Наклон
• Аналитичка геометрија
• Крива

Надворешни врски

• Геогебра наредба: Отсечка Предлошка:Семарх Предлошка:Mk
• http://www.youtube.com/watch?v=iA-kpdSz4mw видео за пресметување на должина на отсечка Предлошка:En
• http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment Предлошка:En