Рамномерна непрекинатост

Дефиниција

Функцијата $f:X\to ℝ$, каде $X\subseteq ℝ$, а функцијата е непрекината во множеството $X$, се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое $\epsilon >0$, може да се најде позитивно $\delta$, така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од $\delta$, важи $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата $f$ во множеството $X$ може да се запише како:

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X)(|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon )$.

Дискусија на дефиницијата

Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен $X$, потребно е да се најде најмалото $\delta ={\delta }_0$ од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:

$(\mathrm{\forall }x,x_0\in X)(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon ).$

Ако множеството $X$ е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога $X$ не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало $\delta ={\delta }_0$. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.

Критериум за одредување рамномерна непрекинатост

Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.

Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.

Теорема

Ако функцијата $f:[a,b]\to ℝ$ е непрекината во интервалот $[a,b]$, таа е и рамномерно непрекината во него.

Доказ

Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата $f:[a,b]\to ℝ$ е непрекината во интервалот $[a,b]$ (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка $x$ од тој сегмент постои некоја околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за сите точки $x_1\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_1)|<\frac{\epsilon }{2})$.

Да избереме 2 точки, $x_1,x_2\in U(x)$. Тогаш имаме:

$|f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x)-f(x_1)|+|f(x)-f(x_2)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$

Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, $U^{\prime }(x)=(x-\frac{\delta }{2},x+\frac{\delta }{2})$. Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот $[a,b]$, ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент $[a,b]$, па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот $[a,b]$. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките $x_1,x_2,...,x_n$ така што нивните околини $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,...,U{\text{'}}_n$ образуваат потпокривач на сегментот $[a,b]$. Бидејќи точки $x_1,x_2,...,x_n$ има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата $\frac{{\delta }_i}{2}$ и ја означуваме со $\delta$.

Да избереме сега некоја точка $x^{\prime }$ од интервалот $[a,b]$ кој му припаѓа на некој од интервалите $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,...,U{\text{'}}_n$, кое го запишуваме: $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Да избереме и точка $x^{″}$ од интервалот $[a,b]$ која се наоѓа во $\delta$-околинат на точката $x^{\prime }$, т.е. $|x^{\prime }-x^{″}|<\delta$. Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е $\delta \le \frac{{\delta }_i}{2}$, тогаш сигурно е и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Сега од $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$ и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$ имаме дека:

$|x_i-x^{″}|\le |x^{\prime }-x_i|+|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}+\frac{{\delta }_i}{2}={\delta }_i,$

т.е. двете точки, и $x^{\prime }$ и $x^{″}$, припаѓаат на околината ${\delta }_i$-на точката ${\delta }_i$, односно, двете се наоѓаат во некоја околина $(x-{\delta }_i,x+{\delta }_i)$, па тогаш имаме дека $|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon$, што и требаше да се докаже.

Поврзано

• Непрекината функција
• Борел-Лебегова лема
• Канторов став за рамномерна непрекинатост

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.