Решавање на триаголник

Решавање триаголник значи наоѓање на преостанатите агли и страни кога е даден минимум податоци. Основни елементи на триаголник се три агли и три страни, а минимум податоци се три од тие основни податоци, од кои најмалку еден е страна. Имено, кога се знаат два агли на триаголникот тогаш може да се смета дека се знае и третиот, бидејќи збирот на агли во триаголник е секогаш ист, 180°. Меѓутоа, триаголникот не е одреден само со своите основни елементи. Може да се конструира триаголник даден со тежишната линија и две страни, или страна, висина и агол, итн.

Остроаголен триаголник

Сите три агли кај остроаголен триаголник се помали од прав агол (90 степени). При решавање на остроаголен триаголени можни се четири случаи:

1. дадени се три страни (ССС);
2. дадени се две страни и аголот меѓу нив (САС);
3. дадена е страна и двата агли на неа (АСА);
4. дадени се две страни и аголот наспроти поголемата од нив (ССА).

Тоа се истите услови кои дефинираат складност на триаголници. Ќе бидат разгледани сите горенаведени задачи и наведена барем по една формула за проверка на добиеното решение.

Задача ССС

Дадени се три страни $a,b,c$ на триаголникот. Да се најдат неговите агли.

1. начин

Косинусната теорема $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$ го дава аголот А, бидејќи $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$ Синусната теорема $a:\sin A=b:\sin B$ го дава аголот B, бидејќи $\sin B=\frac{b\sin A}{a}.$ На крајот, третиот агол С може да се најде и како суплемент (суплементарни агли се дополнуваат до 180°) на претходните два, т.е. $C=180^o-(A+B).$ Формулата за проверка е $a:sinA=c:\sin C.$

2. начин

Прво се пресметува полуобемот $p=\frac{a+b+c}{2},$ потоа разликите $p-a,p-b,p-c,$ и тангенсната теорема ги дава аглите:

$\mathrm{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\mathrm{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\mathrm{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.$

Формулата за проверка е $A+B+C=180^o.$

Оваа задача има единствено решение единствено ако збировите по две од дадените страни на триаголникот се поголеми од третата страна, т.е. $a+b>c,b+c>a,c+a>b.$ Значи, ако важи т.н. нееднаквост на триаголникотот. Ако барем еден од овие услови не е исполнет, тогап воопшто нема решение.

Задача САС

Дадени се две страни $a,b(a>b)$ и аголот С. Да се најде стрната с и аглите A, B.

Решение

Косинусната теорема ја дава страната $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}.$ Синусната теорема ги дава аглите. Од a>b следи дека аголот B е остар, па согласно тоа прво се бара $\sin B=\frac{b\sin C}{c},$ па се бара аголот B, а потоа аголот А кој е суплементаren на аглите B, C, т.е. $A=180^o-(B+C).$ Формула за проверка: $a:\sin A=b:\sin B.$

Задачата има единствено решение ако $C<180^o.$

Задача АСА

Дадена е страната а и аглите B и C. Да се најдат страните b, c и аголот А.

Решение

Прво се наоѓа аголот $A=180^o-(B+C).$ Потоа, синусната теорема, дава: $b=\frac{a\sin B}{\sin A},c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$ Формулата за проверка е $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$ Задачата има единствено решение ако $B+C<180^o.$

Задача ССА

Дадени се две страни a, b и аголот А. Да се најде страната с и аглите B, C.

Решение

Синусната теорема $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ го дава аголот B. Потоа, аголот С се наоѓа како суплемент на аглите А и B, т.е. $C=180^o-(A+B).$ На крајот, уште еднаш, синусната теорема $c=\frac{a\sin C}{\sin A},$ ја дава страната с. Формулата за проверка е: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$

Кога a>b тогаш $a>b\sin A,$ па $\sin B=\frac{b\sin A}{a}<1.$ Според тоа задачата има единствено решение, бидејќи аголот В е остар независно од тоа каков е аголот А.

Кога a<b тогаш A<B. Триаголникот е правоаголен, или, ако $b\sin A<a,$ задачата има две решенија, бидејќи може да се добијат две вредности за аголот В, остар и тап агол. Третиот случај, $b\sin A>a,$ т.е. $\sin B>1,$ нема решение.

Кога a=b тогаш A<90° и B<90°. Тогаш задачата има единствено решение.

Поврзано

• Математика
• Геометрија
• Тригонометрија
• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Триаголник